压电层合圆板驻波振动的非线性动力学分析.doc

-专业文档，值得下载!-专业文档，值得珍藏！-压电层合圆板驻波振动的非线性动力学分析王蕴（白城师范学院机械电子工程系，吉林白城137000）摘要：考虑压电材料二次非线性本构关系，应用广义Hamilton原理和Rayleigh-Ritz假设模态方法建立了表面粘帖压电陶瓷片薄圆板的非线性动力学模型，使用多尺度法计算压电层合板驻波振动的二阶主共振响应，给出解的特性与系统参数的关系。结果表明，驻波振动的二次近似解包含二次超谐成分和由于二次非线性引起的直流分量；当激励频率变化时，二阶主共振响应存在多解和跳跃现象，主共振解的真正实现取决于其初始条件。数值积分的结果验证了解析解的正确性。关键词：压电材料，非线性，二次非线性本构关系，主共振，稳定性中图分类号：O322TM331文献标识码：ANonlinearDynamicAnalysisofPiezoelectricLaminatedDiskforStandingWaveVibrationWANGYun（DepartmentofMechanical&ElectricalEngineering,BaiChengNormalCollege,BaiCheng,JiLin137000China）Abstract:Consideringthequadraticstiffnessinnonlinearconstitutiverelationsofpiezoelectricmaterials,anonlineardynamicmodeloflaminateddiskaffixedwithpiezoelectricmaterialsisestablishedusingHamiltonsprincipleandtheRayleigh-Ritzmethod.Applyingthemethodofmultiplescales,thesecond-orderapproximationoftheprimaryresonanceforstandingwavevibrationofthelaminateddiskisinvestigated.Theresultsshowthatthesecond-orderprimaryresonanceincludesnotonlythequadraticharmonicbutalsothedirectcurrentcomponents.Thesecond-orderapproximationcanbesingleormultiplewhentheexcitationfrequencychanges,therealizationofprimaryresonanceliesonthestabilityconditionsandinitialconditions.Theresultsgivetherelationbetweentheresponsesandsystemparameters.Numericalanalysisverifiesthefeasibilityoftheanalyticalanalysis.Keywords:piezoelectricmaterials；nonlinear；quadraticnonlinearconstitutiverelation；primaryresonance；stability引言大量实验证明，压电材料在强电场作用或高应变状态下表现出较强的非线性特性，这些非线性特性对作动器或传感器的输出特性、定位和控制具有不可忽略的影响。一些学者在压电材料非线性本构关系及非线性特性的研究方面取得一定进展。GuyomaD考虑电致伸缩和电致弹性效应，通过理论分析和实验观察，研究了Langevin振子中的滞后、共振频率漂移及饱和现象1；JiangW应用谐波平衡法和实验方法研究了压电共振器中的二次谐波响应2；HomCL应用提出的电致伸缩模型3，研究了PMN-PT杆的高次谐波响应4；YaoLQ5应用渐近理论研究了双晶片和单晶片层合悬臂梁的共振频率漂移和机械品质系数损失特性，但共振线-专业文档，值得下载!-专业文档，值得珍藏！-中未表现出明显的振幅跳跃。近年来，已有学者在考虑压电材料非线性本构关系的压电层合结构的动力学建模和机理分析方面进行了有益的探索。WoodRJ6建立的变截面压电悬臂梁的等效集中质量模型，应用数值模拟的方法研究了共振响应和机械品质系数的变化规律；LiXH7应用多尺度法研究了矩形压电薄板的主共振及参数共振响应，响应中存在基频和倍频成分，但未给出多解、振幅跳跃和滞后等现象；姚林泉8考虑电致弹性和电致伸缩效应，研究了矩形压电层合板的静态问题。上述研究成果更多基于实验分析得出的结论，尚缺乏基于压电材料非线性本构关系系统的动力学建模和机理分析方法。本文考虑压电材料二次非线性本构关系，应用广义Hamilton原理和Rayleigh-Ritz假设模态方法建立了表面粘帖压电陶瓷片薄圆板的非线性动力学模型，使用多尺度法9计算压电层合板驻波振动的二阶主共振响应，给出解的特性与系统参数的关系，揭示压电材料非线性对层合圆板主共振响应的影响，数值积分验证解析解的正确性。本文结果为大功率条件下压电智能结构控制系统设计提供理论基础。1非线性动力学建模图1给出压电层合圆板结构示意图。图中选取具有4个波长的模态为工作模态。（a）压电层合板示意图（b）压电陶瓷片的布局和极化方向图1压电层合板结构和压电陶瓷片极化方向Fig.1StructureandpolingdirectionofLaminateddisk1.1材料的本构关系在弹性体内，应力应变本构关系如下：ScTs(1)其中，T是应力向量，S是应变向量。考虑板只受面内应力，柱坐标系内应力与应变向量T、S都只有三个元素：rrSSS621S，rrTTT621T(2)cs为弹性刚度矩阵，表示为s66s22s12s12s11s0000cccccc(3)考虑压电材料的非线性性质，压电陶瓷片的本构关系由压电矩阵、介电矩阵与机械刚度矩阵共同构成10：2EE2TTT2121ESESCSeEScTvESESSSeEDS(4)其中，上标T代表转置，电场E与电位移D都只有一个元素：3EE，3DD(5)其中，S为93的矩阵，表示为TdiagSS(6)Ec为平面刚度系数矩阵，e为压电系数向量，S为介电系数向量，为电致弹性系数矩阵，为电致伸缩系数矩阵：E66E22E12E12E11E0000cccccc，03131Teee，32166221212110000，SS33，333vv(7)EC为39的二次刚度系数矩阵，令E66E11E12E12E11E0000iiiiiiCCCCCC（i=1,2,3），则TE3E2E1ECCCC(8)设压电层合圆板中面的位移向量为：/4/23/4rz压电陶瓷片弹性体-专业文档，值得下载!-3tPrwvuw),(000000u(9)其中，位移模态坐标tP为时间的函数，rw,为层合圆板的弯曲振型。应变向量同样可以以位移模态坐标表示：tPrw),(00mechLS(10)式中，mechL是算子矩阵rzrrzrrrrzrrzrrrzr2222222mech2211110L(11)激励信号为单相时，压电陶瓷片内的电势形态为：tVzv),(12)式中，tV是电压向量，),(zv为电势分布函数，由陶瓷片的布局和电场施加方式决定。将电场向量按对应得电场模态Nelec展开：tVzLtVNv),(elecelecE(13)elecL是在压电陶瓷内把每相电极上施加的电压转换为电场的算子：pelec/1tL(14)式中，pt是压电陶瓷片的厚度。1.2圆板的振动方程压电层合圆板非线性动力学方程的推导必须使用适于机电耦合系统修正后的广义Hamilton变分原理11，即0dd)(2121EtWtWUTtttt(15)在薄板假设下，电场只存在于垂直于板平面的方向，同时板只受面内应力。式（15）中并没有包含阻尼耗散掉的能量，阻尼的影响将在以后补充进去。系统的动能T定义为psp0T0ps0T0sd21d21VVVVTuuuu(16)其中，是材料密度，V代表材料体积。0u是包含了r、z三个方向的三维速度向量，下标“s”和“p”分别对应弹性体和压电陶瓷片。系统的势能U定义为pspTsTd21d21VVVVUTSTS(17)压电振子的电能WE定义为ppTEd21VVWDE(18)在不考虑摩擦界面力的情况下，作用在压电陶瓷片上的电场力做功即是对应内部电荷所做功的负值12，其变分为)()(tVtqWWq，得到ttVtqtWttttqd)()(d2121(19)其中，SStqd)(，为压电陶瓷表面的电荷密度向量，S为压电陶瓷表面面积。考虑式（9）、（10）、（12）和（13），将T、U、WE、W的变分表达式代入方程（15），对P(t)和V(t)进行模态分离，并引入模态阻尼，得到如下两个方程)()()()()(21tPFtVDtPDtPCtPMkkkkk0)()()(221tVFtVtPFkk(20)tVNtVtPFtPFtPDkkkk212211)()(2)(2)()()(tqtVNk(21)方程中各系数以附录形式给出。2主共振响应2.1主共振的二阶近似解设外加激励电压tVtVcos)(0(22)将式（22）代入方程（20），有)(cos)()()(2tPFtEtPDtPCtPMkkkkk0coscos)(221tEttPEkk(23)其中01VDEkk，011VFEkk，022VFEkk(24)kC为模态阻尼系数，kE和2kE为外部激励项系数，1kE为参数激励项系数，与压电层合结构和激励有关。在进行压电层合圆板动力学方程的主共振分析之前，定义无量纲时间13-专业文档，值得下载!-4tMDkk(25)引入无量纲小量，考虑非线性刚度项为一阶小量，阻尼项和激励项为二阶小量，则动力学方程（23）表示为PPPffPPcoscos21222224cosf(26)其中，kkkDMC22，kkDF2，kkDEf2kkDEf211，kkDEf422，kkDM(27)且满足如下条件：1O,1O,1O1O,1O,12122fff(28)其中为激励频率调谐参数。研究解的二次近似时要用三个时间尺度，故设2102221012100,；TTTPTTTPTTTPP(29)其中2,1,0rTrr。将式（29）代入式（26），考虑21，利用导算子表达式，比较同次幂后得到一组线性偏微分方程0D0020PP(30)2020101120DD2DPPPP(31)0210201102220DDD2DD2DPPPPP102002D2PPP200120coscosTTPfTTf(32)这里，221100D,D,DTTT。方程（30）的解为210212100,cos,TTTTTaTTTPccTTAT0j21e,(33)其中cc表示表达式前面各项的复共轭。将式（33）代入式（31）得ccAAAAPPTT00j222j11120eejD2D(34)由此得消除1P中永年项的条件0jD21A(35)得出0D1A或2TAA，因而（34）的解为00j22j2222101e31e312,TTAAAATTTP(36)将2100,TTTP和2101,TTTP代入（32），可得2220DPP02jj2222ee2310j2TTfAAAADNSTcc(37)其中，NST代表比例于0j3eT的那些项。由此得消除2P中永年项的条件0e2310j22j2222TfAAAAD(38)设2j22e21TTaTA(39)将式（39）代入（38），并引入2T，分离其实部和虚部得到cos2125Dsin2D32222faaafaa(40)相应的二次近似解成为cos；aP222O22cos31121a(41)分析式（41）可以看出，式中包含二次超谐成分和由于二次非线性引起的直流分量。事实上，压电层合圆板驻波振动的二次主共振响应（41）中包含直流分量和两个频率成分（和2）。通过频谱分析，可以发现二次主共振解中的各个频率成分。图2给出积分达到稳定后，无量纲激励频率取1时，系统响应P的频谱图。从图中可以看出，系统响应包含二次超谐成分，验证了解析分析得到解（41）结果的正确性。图2f=1,µ=1,2=8时系统响应P频谱图Fig.2FrequencyspectrumofP(f=1,µ=1,2=8)为确定对应稳态运动的定常解振幅a和相位dimensionlessfrequencyP二次超谐成分