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习题解答3.doc

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习题解答3.doc

习题解答无穷积分的柯西收敛原理:AaAaxxfxxfd)(limd)(收敛的充分必要条件是:0,aN,只要XAXA21,,就有|d)(|21AAxxf.推论:若axxfd)(收敛,则对于任意正数b,有0d)(limbAAAxxf.习题1:设)(xf在),[a一致连续,无穷积分axxfd)(收敛.求证0)(limxfx.证明:反证:若0)(limxfx不成立,则存在某个正数0,以及一个单调增加趋向于的点列}{nx,使得),2,1(2|)(|0nxfn.不妨设),2,1(2)(0nxfn.因为)(xf在),[a一致连续,所以对于正数0,存在正数,使得对于任意的),[,avu,只要||vu,就有0|)()(|vfuf.于是在区间],[nnnxxI上恒有0)(xf.因此对任意的nx,有0|d)(|nnxxxxf,不趋向于零.于是由柯西收敛原理推出axxfd)(发散.这个冲突说明0)(limxfx.证毕.习题2:假设0d)(xxf收敛,则存在单调非减趋向于正无穷的函数)(xg,使得无穷积分0d)()(xxgxf收敛.证明:①构造函数)(xg:由柯西收敛原理推出:存在0nA,使得对于任意正数b,有31|d)(|nxxfbAAnn.(不妨设121nnAAAA.)定义函数),2,1,()(1nAxAnxgnn,则)(xg单调非减趋向于正无穷.②证明nAnxxgxf0d)()(lim存在:考察数列nAnxxgxfa0d)()(),2,1n.|d)(||d)()(||d)()(|||11pnnkAApnnkAAAAnpnkkkkpnnxxfkxxgxfxxgxfaa)(01|d)(|231nkkkxxfkpnnkpnnkpnnkAAkk.因此数列nAnxxgxfa0d)()(),2,1n是柯西列,从而nAnxxgxf0d)()(lim存在.③证明Anxxgxf0d)()(lim存在(从而0d)()(xxgxf收敛):设1nnAAA,则2001|d)(||d)()(|

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