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函数级数 幂级数解答与提示.doc

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函数级数 幂级数解答与提示.doc

函数级数习题课习题一、函数序列和函数级数的一致收敛判别1.证明下列函数级数在指定区间上一致收敛:(1)),(,1125nxnnx,(2)]10,0[,)ln1ln(22nnnx,(3)1sin)1(nnxn解:(1)232521|||2||1|25nxnnxxnnx,用比较判别法.(2)在],[ll一致收敛.因为1)1ln(lim0ttt,所以当n充分大时有nnxnnx22ln||2|)ln1ln(|.当lxl时,nnlnnx22ln2|)ln1ln(|.于是由比较判别法推出一致收敛.(3)莱布尼茨级数,nxnxkrnkkn1sin11|sin)1(|||1.2.设)(xf在区间),(有连续导数.)]()1([)(xfnxfnxgn.求证:(1)在任意闭区间],[ba上,)}({xgn一致收敛于)(xf;(2))()()(limafbfdxxgbann.解:(1))1),(0()),(()]()1([)(nxnnxxfxfnxfnxgn由)(xf在]1,[ba一致连续可以推出)(xgn一致收敛于)(xf;(2)积分号下取极限,用牛顿-莱布尼茨公式.3.求证对于任意正数1q,函数级数1)1(nnnx在区间],[qq一致收敛.求该级数的和函数连续的区间.解:由比值或根植判别法可以推出正项级数1)1(nnnq收敛.对于任意的],[qqx,nnnqnx)1(|)1(|.该级数的和函数连续的区间)1,1(.二、幂级数1.nnnxa)1(0的收敛域是]3,1[,则nnnxa20的收敛域是[]2,2[]2.设幂级数1)(nnnax在点2x收敛,则实数a的取值范围是[31a]3.设幂级数nnnxa0的收敛半径为1R,nnnxb0的收敛半径为2R.讨论幂级数nnnnxba0)(的收敛半径.(},min{21RRR).4.证明0120)12()!12()1(dsinnnnxxnnttt)(x.5.将函数21x展开成幂级数nnnxa)1(0.解:)1(12xx.0)1()1()1(111nnnxxx.6.求和

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