微积分3期中考试答案.doc
清华大学本科生考试试题专用纸微积分期中考试2006年11月11日姓名学号班级一、填空题(每小题分,共6分)1设0,00,sin)(2222222yxyxyxbyxaxxf在原点)0,0(可微,则a1,b0222003ecos2lim2yxxyyx13设)(tf可导,xyyxfz)(2,则yzyxzx2xy4xyyxz32,则)1,1(dzdx)-dy45(5设yxuarctan,则yxu222222)(yxyx6设)(32xyyxz,其中)(t有连续的二阶偏导数若2)3(,1)3(则)3,1(2yxz17)1ln(),(yxyxf在点)0,0(带有佩亚诺余项的二阶泰勒公式为)(22222yxoxyyxyx8设)(tf连续,),(yxzz由方程1d)(0xyzttf确定xz2)(xyzxyzf9曲面223:yxzS平行于平面04zyx的切平面为:)31()61()21(zyx10设sin0,0|),(xyxyxD,则Dyxxdd11交换积分顺序:22221d),(dxxxyyxfx211210d),(dyyxyxfy12设10,10|),(yxyxD,则Dyxyxdd,max.3213曲线2cos22r)44(围成的面积等于114设L是平面上不包含原点的圆周,)4,3(0P是L上距离原点最近的一点,则L在该点的切线方程为.5243yx15D是曲线22222tbyax围成的区域)0(dd)(2tyxytFtD则)(tF33tab二、解答题(共40分)16假设函数)(tf有二阶连续导数,)(22yxfyz求yxz2)10.(.)()(8)()(4)(28.()()(22)()(2)()()(2)4.(.)3.(.)()(2.322222222222222222232222222222222222222分分)分分解yxfyxfxyyxfyxfxyyxfxyyxfyxfxyyxfyyxfxyyxfyxfyxfxyyxyzyxzyxfyxfxyxz17计算Dyxyxadd4222.其中)0(0,)(|),(222ayayaxyxD解.区域D在极坐标下可表示为.cos20,20ar(3分)于是重积分可以化为累次积分:Dyxyxadd4222cos20220d4d2arrra(6分)10.(.91634dsin138)8.(.)4(31(d33033cos202202232分分aaaraa18计算积分Dyxyxdd)(其中22|),(22yxyxyxD解.令1,1vyux则分)(3.1),(),(vuyx变成:下,而在新坐标Dvu),(分)(5.2|),(22vuvu所以分)8(.dd)(4dd)(dd2dd)2(dd)(vuvuvuvuvuvuvuyxyxD的奇函数,所以是轴对称关于由vvvuhu),(,.0ddvuv同理.0ddvuu最终有分)10(.4dd)(Dyxyx19设)0(|),(222aayxyxD),(yxf在D上连续,在D的内部处处有连续偏导数,并且满足方程)0(),(kyxkfyfxf若在D的边界上0),(yxf,求证在D的内部0),(yxf反证:假设),(yxf在D内部不恒等于零。则存在点Dyx),(11,使得0),(11yxf不妨设0),(11yxf(2分)这时),(yxf在D内部某点),(00yx达到D上的正的最大值由于该点在D内部,所以),(00yx为极值点于是在点),(00yx有0,0yfxf.(5分)但是由条件)0(),(kyxkfyfxf又推出0),(00yxf,于是由这个冲突推出在D的内部0),(yxf(10分)第2页/共2页