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微积分3期中考试答案.doc

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微积分3期中考试答案.doc

清华大学本科生考试试题专用纸微积分Ⅲ期中考试2006年11月11日姓名学号班级一、填空题(每小题4分,共60分)1.设0,00,sin2222222yxyxyxbyxaxxf在原点0,0可微,则a1,b0.2.22003ecos2lim2yxxyyx–13.设tf可导,xyyxfz2,则yzyxzx2–xy4.xyyxz32,则1,1dzdxdy45(5.设yxuarctan,则yxu222222yxyx6.设32xyyxz,其中t有连续的二阶偏导数.若23,13.则3,12yxz–17.1ln,yxyxf在点0,0带有佩亚诺余项的二阶泰勒公式为22222yxoxyyxyx8.设tf连续,,yxzz由方程1d0xyzttf确定.xz2xyzxyzf9.曲面223yxzS平行于平面04zyx的切平面为316121zyx10.设}sin0,π0|,{xyxyxD,则Dyxxddπ11.交换积分顺序22221d,dxxxyyxfx211210d,dyyxyxfy12.设}10,10|,{yxyxD,则Dyxyxdd},max{.3213.曲线2cos22r4π4π围成的面积等于114.设L是平面上不包含原点的圆周,4,30P是L上距离原点最近的一点,则L在该点的切线方程为.5243yx15.D是曲线22222tbyax围成的区域.0dd2tyxytFtD.则tF=33tab二、解答题(共40分)16.假设函数tf有二阶连续导数,22yxfyz.求yxz2.10.........................................8428.........22224.......................................................................3....................................................2.322222222222222222232222222222222222222分分)分分解yxfyxfxyyxfyxfxyyxfxyyxfyxfxyyxfyyxfxyyxfyxfyxfxyyxyzyxzyxfyxfxyxz17.计算Dyxyxadd4222.其中0}0,|,{222ayayaxyxD.解.区域D在极坐标下可表示为.cos20,20ar(3分)于是重积分可以化为累次积分Dyxyxadd4222cos20220d4d2πarrra6分10.............91634dsin1388...............................431d33033cos202202π232π分分aaaraa18.计算积分Dyxyxdd.其中}22|,{22yxyxyxD解.令1,1vyux则分)(3..................................................1,,vuyx变成下,而在新坐标Dvu,分)(5..........................}.........2|,{22vuvu所以分)8..................................................dd4dddd2dd2ddvuvuvuvuvuvuvuyxyxD的奇函数,所以是轴对称关于由vvvuhu,,.0ddvuv同理.0ddvuu最终有分)10..................................................4ddDyxyx19.设0}|,{222aayxyxD.,yxf在D上连续,在D的内部处处有连续偏导数,并且满足方程0,kyxkfyfxf.若在D的边界上0,yxf,求证在D的内部0,yxf.反证假设,yxf在D内部不恒等于零。则存在点Dyx,11,使得0,11yxf.不妨设0,11yxf.2分这时,yxf在D内部某点,00yx达到D上的正的最大值.由于该点在D内部,所以,00yx为极值点.于是在点,00yx有0,0yfxf...5分但是由条件0,kyxkfyfxf又推出0,00yxf,于是由这个冲突推出在D的内部0,yxf.10分第2页/共2页

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