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微积分习题2.doc

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微积分习题2.doc

积分习题课题目及解答积分概念一、有关可积性的练习我们知道,在区间,ba连续的函数有原函数,并且有牛顿-莱布尼茨公式.下述定理说明函数的连续性并不是牛顿-莱布尼茨公式成立的必要条件.定理假设xf区间,ba可积且有原函数xF(注释在区间,ba可积的函数未必有原函数)则有daFbFxxfba.提示对于区间,ba任意分割bxxxaTn10.注意到niiiniiixFxFxF111.2.求证假设xf在,ba可积,则0,存在区间,ba上的阶梯函数xg,使得baxxgxfd||.3.设xf在,ba可积,求证函数cosxf在,ba可积.二、求和1.nnnnnn12211lim.(e4)2.1022dsinlimxxnxn.(31).3.设其它,010,nxnxxn.10nknnnkxxg.求极限10dlimxxgenxn.4.用极限定义计算10d2xx.三、定积分10dxxf是和式niiixf1的极限,这个定义为定积分的近似计算提供了依据.假定积分10dxxf存在,则当n时,两个和式ninnifnS111和ninnifn12121都趋向于10dxxf.不过收敛速度有所不同.研究下面的问题假设xf在1,0连续,试证①MnSxxfn21|d|10,②Mnxxfn41|d|10.其中M是与xf有关的正数.反常积分一、收敛判别1.1dln1收敛pxxxp,2.0dln0pxxxp(发散),3.0d1ln0pxxxp.(1p收敛)4.0d11ln1pxxxp(1p收敛).5.20dsinlnxx(收敛),20dsinln1xx(发散),6.032d421xxxx(收敛).7.1d1coslnxxx.(发散.换元xtln)8.1d21sin1cos1xxx(收敛,泰勒公式,比阶判别法)二、反常积分计算1.03d2xexx,(21,换元法)2.12darctanxxx(4ln41,分部积分法),3.022d1lnxxxx(0,分部积分计算,或者换元法)三、证明题1.(1)举例说明axxfd收敛未必有0limxfx.即使非负函数也是如此.(2)求证如果xf在,a非负且一致连续,axxfd收敛,则0limxfx.2.求证1dsinxxx收敛,但是12dsinxxx发散.积分习题课题目及解答积分概念1.定理假设xf区间,ba可积且有原函数xF(注释在区间,ba可积的函数未必有原函数)则有daFbFxxfba.证明对于区间,ba任意分割bxxxaTn10.由微分中值定理得到aFbFniiiniiixFxFxF111.,1iiixx当分割的直径趋向于零时,等式右端有极限baxxfd.2.求证假设xf在,ba可积,则0,存在区间,ba上的阶梯函数xg,使得baxxgxfd||.解0,由黎曼定理(定理2.1.4)推出,存在0,使得直径任意分割方式},,,{21nxxxT,都有nkkkkxmM1.今取一个满足直径的确定的分割},,,{21nxxxT。并取阶梯函数,,2,1,,1nkxxxmxgkkk,则有babaxxgxfxxgxfdd||nkxxkkkxmxf11dnkxxkkkkxmM11d.3.设xf在,ba可积,求证函数expxf在,ba可积.证明xf在,ba,设}|sup{|bxaxfM.对于区间,ba的任意分割},,,{21nxxxT,}|sup{1iiixxxxfM,}|inf{1iiixxxxfm,iiimM.,,1iixxvu,有||exp|expexp|vfufvfufiiM1.(其中介于,vfuf之间,exp1MM).对于上述任意分割},,,{21nxxxT,命}|sup{exp1iiixxxxfM,}|inf{exp1iiixxxxfm,iiimM.则有niiiiniiiiniiixxxxvfufxmMx1111}expsup{exp1111}sup{niiiixxxxvfufMniiixM11.由于xf可积,当分割直径趋向于于零时,01niiix,于是01niiix.二、求和1.nnnnnn12211lim.解令nSnnnnn12211nnnnn1121111ln21ln11ln1lnnnnnnSAnn12ln2d1ln10xx.于是eSnn4lim.2.61dsinlim1022xxnxn.解nknknkxxnxxxnx11221022dsindsinnknknkkxxn1122dsinnkkkkttn1122dsin161d212110212xxnnkk.3.设其它,010,nxnxxn.10nknnnkxxg.求极限10dlimxxgenxn.解nkxnxnknkxnkxexxge1101d1d101101d2121dd111xeenxxexnkxexnknknnkknknknkk.

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