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数项级数习题课解答.doc

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数项级数习题课解答.doc

习题课3数项级数一、概念题1.1nna的收敛性和1212nnnaa的收敛性之间的关系相当于数列(和序列Sn)和子列(S2n)的关系Sn收敛→S2n收敛反之不然。如果有an→0则S2n收敛→Sn收敛。2.1nna的收敛性和12nna的收敛性之间的关系没有关系3.若1nna收敛,0limnnnab,那么1nnb是否收敛不一定收敛4.绝对收敛级数与条件收敛级数有哪些不同的的性质5.设0a,讨论级数1npnna的收敛性(a1发散a1收敛)6.设0,qp,讨论级数1lnnpqnn的收敛性.(p1收敛)二、研究下列级数的收敛性1.011pnpnn,(1p收敛,提示nenln)2.21212nnnnn((4/e)n/2发散)3.1031d1sinnnxxx(1/3收敛6.211npnnn(ppppppnnppnnnnnaan2112212212212.0p收敛.)7.1211nnnnaaa.其中}{n为单调减少趋向于零的数列.(莱布尼茨判别法)三、证明题1.设xf在0x有二阶导数,且0lim0xxfx,证明级数11nnf绝对收敛.(泰勒公式)2.研究级数qpqpqpnn2112141312111的收敛性(0,0qp).(1,1qP绝对收敛10qp条件收敛qp,不相等且至少有一个不超过1时发散)3.设xf在,0满足0xf.nnnxxfnfa1d.若xf在,0有界,求证1kka收敛.(提示nnnxxfnfa1d01nfnffnfn.11fnfankk.)4.设}{na为数列.nnkknaaaaA211.如果0limlim1AaAnkknnn存在,则称无穷乘积1kka收敛.并且称极限A为数列}{na的无穷乘积.(1)若1kku绝对收敛,求证11kku收敛.(2)设1kku为正项级数.求证11kku收敛的充分必要条件是1kku收敛.(提示利用不等式01ln12,05.01ln0,0xxxxxxxxx分别考虑ln1x的正部和负部即可.)5.判别收敛性1ln1sinlnnnn.解61611lnsinln1lnsinln222xoxxxxxx161611ln11sinlnln1sinln222nonnnnnn6.(1)211nnnn,(2)211nnnn解(1)两项结合1121222121121121nnnnnn11212211212212nnnnnn(发散)(2)(2)两项结合nnnnnn21212221121(收敛)

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