数项级数习题课解答.doc

习题课3数项级数一、概念题11nna的收敛性和1212)(nnnaa的收敛性之间的关系；相当于数列（和序列Sn）和子列（S2n）的关系:Sn收敛S2n收敛；反之不然。如果有an0则S2n收敛Sn收敛。21nna的收敛性和12nna的收敛性之间的关系：没有关系3.若1nna收敛，0limnnnab，那么1nnb是否收敛？不一定收敛4绝对收敛级数与条件收敛级数有哪些不同的的性质？5设0a，讨论级数1npnna的收敛性；（a>1发散；a<1收敛；a=1p>1收敛）6设0,qp，讨论级数1)(lnnpqnn的收敛性.（p>1收敛）二、研究下列级数的收敛性1)0()1(1pnpnn，（1p收敛，提示：nenln）；2212)1(2nnnnn（4/e）n/2发散）；31031d1sinnnxxx（</n2收敛）；411dsinnnnxxx（莱布尼茨判别法）；5)0()1sin1(1pnnnpp(p>1/3收敛)62)1()1(npnnn（ppppppnnppnnnnnaan2112212)2()12()2()12()(0p收敛）7121)1(nnnnaaa其中n为单调减少趋向于零的数列（莱布尼茨判别法）三、证明题1.设xf在0x有二阶导数，且0lim0xxfx，证明级数1)1(nnf绝对收敛（泰勒公式）2.研究级数qpqpqpnn)2(1)12(141312111的收敛性（0,0qp）（1,1qP绝对收敛；10qp条件收敛；qp,不相等且至少有一个不超过时发散）3.设)(xf在),0满足0)(xfnnnxxfnfa1d)()(若)(xf在),0有界，求证1kka收敛（提示：nnnxxfnfa1d)()(0)1()()()(nfnffnfn)1()(1fnfankk）4设na为数列nnkknaaaaA211如果0limlim1AaAnkknnn存在，则称无穷乘积1kka收敛并且称极限A为数列na的无穷乘积（）若1kku绝对收敛，求证1)1(kku收敛（）设1kku为正项级数求证：1)1(kku收敛的充分必要条件是1kku收敛（提示：利用不等式0)1ln(12,05.0；)1ln(0,0xxxxxxxxx分别考虑ln(1+x)的正部和负部即可）5.判别收敛性：1ln1sinlnnnn解：)(61)611ln(sinln1lnsinln222xoxxxxxx)1(61)611ln(11sinlnln1sinln222nonnnnnn6（）2)1()1(nnnn，（）2)1()1(nnnn解：（）两项结合：)112)(12(2)212(1121121nnnnnn)112)(12(2)112)(12()212(nnnnnn（发散）（）（）两项结合：nnnnnn21212221121（收敛）