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清华大学本科生考试试题专用纸考试课程微积分2A2005年6月20日姓名学号班级一、选择题(每小题4分,共20分)1.设正项级数1NNA收敛,则111NANNN[B]A绝对收敛;B条件收敛;C发散;D不能确定2.设幂级数02NNNXA在点30X收敛,则级数0NNA[A]A绝对收敛;B条件收敛;C发散;D不能确定3.设}{NX是一个数列,PN,是任意自然数.下列哪一个条件可以推出}{NX是柯西列[C]A2||NPNXXNPN;B2LN||NPXXNPN;CPNXXNPN1||;D22||PNNPXXNPN.4.若瑕积分10DLN1XXXX收敛,则和的取值范围是[D]A0,1;B0,0;C1,2;D2,15.设XF在,0存在二阶导数,且10F,00F,0CXF(其中C是一个正数).则XF在,0的零点个数为[B]A2;B1;C0;D3二、填空题(每小题4分,共20分)6.若幂级数0NNNXA的收敛域为2,2,则幂级数021NNNXA的收敛域为[21,21]7.设ΠΠ2XXXF,10SINCOS2NNNNXBNXAA是XF的傅立叶级数.则2006A[0]8.设XF是周期等于2的函数,在区间1,1的表达式为22XXFX.其傅里叶级数为00ΠSINΠCOS2NNNXNBXNAA的和函数为XS,则1S等于499.已知11DE2XPX,收敛,则正数P的取值范围是21P]10.设XF为可导函数,1AF,1BF.若函数列1XFNXFNXN在区间,BA一致收敛,则BANNXXDLIM[2]三、解答题(共60分)11.12分用比阶判别法证明反常积分0D1LNXXXX收敛,然后计算.解0D1LNXXXX10D1LNXXXX211D1LNIIXXXX对于1I,1LIM0XFXX,所以收敛;对于2I,0LIM34XFXX,所以收敛;结论原积分收敛。0D1LNXXXX00D1121LN2XXXXX2D114D1121LN20200TTXXXXX12.10分写出21LN2X的马克劳林级数(即21LN2X在点00X的泰勒级数),求这个幂级数的收敛域.解1LNX111NNNNX21LN2X12NNNX幂级数的收敛半径等于1.当1X时,幂级数均发散,所以幂级数为.13.10分求幂级数21NNXNN的收敛域,并求该幂级数的和函数.解幂级数21NNXNN的收敛半径为1,收敛区间和收敛域均为1,1.求和方法1110NNXX,223112NNXNNX.于是21NNXNN32222121XXXNNXNN.求和方法2令222211NNNNXNNXXNN2XSX,则1D1D11212020XSXNNXTTNNTTSNNNNNXNXXXXXTTNTTSNNNNNXNX1D1D202111001XX111.于是312111XXXXS,122XSXXNNNN3212XXXS.14.12分设A为任意正数.(1)求函数级数1221NNNXX的收敛域;(2)对任意正数A,证明1221NNNXX在区间,AA一致收敛,指出该函数级数和函数的连续区间.解1,X,1221NNNXX是正项级数,根据比值判别法得到11LIM221XXUUNNN,所以级数收敛域为,2011212121222NNNNNXXNXXX.所以XUN在,0A单调增加,在0,A单调减少于是}|MAX{AXAXUN1122NNNAAAU.正项级数1221NNNAA收敛,于是根据比较判别法推出1221NNNXX在区间,AA一致收敛.和函数在,AA连续,由于正数A的任意性,推出函数在,连续。15.8分假设XF在区间,BA存在黎曼可积的导数XF.求证DAFBFXXFBA.解由微分中值定理,,,2,111NIXXFXFXFIIIII.(其中,1IIIXX).于是NIIIXFXFAFBF11NIIIIXXF11当N时,BANIIIIXXFXXFD11,所以由上式得到BAXXFAFBFD.16.8分假设正值函数XF以为周期,XF在区间,0黎曼可积.令NNNXXXXFA1D1SIN(,2,1N),求证级数1NNA是收敛的交错级数.解注意到XXFSIN在1,NN可积不变号,11X在1,NN连续.由推广的积分中值定理得到NNNNNNNNNXXXFXXXFXXXXFA111D|SIN|11|DSIN|11|D1SIN|||.由函数周期性推出0DSIN11||XXXFANN
编号:201311180857130016    类型:共享资源    大小:292.50KB    格式:DOC    上传时间:2013-11-18
  
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