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极限例题1--极限概念证明中的问题.doc极限例题1--极限概念证明中的问题.doc

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数列极限概念典型例题分析1用极限定义证明021LIM2NNN我们分析以下各种证明过程证明10,为了使2102122NNNN,即122NN,只需使2212NN解此不等式得到N12112122或者12112122N.因此,如果令N12112122整数部分,那么,只要NN,就有2102122NNNN.于是02LIM2NNN证毕这个证明是正确的,但是太繁琐.造成繁琐的原因是没有进行适当放大.试与下述证明相比较证明2注意到NNNNN12102122.0,取自然数N,使其满足不等式1N.只要NN,就有NNNNN12102122N1因此021LIM2NNN证毕为什么可以使证明过程如此简明是因为做了适当放大NNN1212.对于初学者,在这类题目中,不善于、或者不敢于进行充分但适当的放大,是常见问题之一例2设0LIMAANN求证AANNLIM.分析以下各种证明过程证明1注意到AAAAAANNN||||由于AANNLIM,所以对于任意正数,能够找到自然数N,只要NN,就有||AAAANN.于是只要NN,就有AAAAAAAAAANNNNN||||证毕这个证明过程中包含了一个错误“只要NN,就有||AAAANN.”其实这是不正确的,因为AAN是随N变化的一个量.根据条件AANNLIM,我们只能做到这样的事情“对于任意事先给定的正数,都能找到自然数N,只要NN,就有||AAN”这里的一旦给定,就是一个常数,与N无关.但是对于与N有关的变量||AAN,则不能指望找到自然数N,使得只要NN,就有||AAAANN.因为AAN不是常数在这个题目的证明过程中,还经常有读者这样做令1AAN,这显然是错误的,因为前者是一个常数,后者是一个变量.下面的证明是正确的证明2由于AANNLIM,0A,所以根据极限的保号性,对于充分大的N,有0NA.由于数列收敛性与前有限项无关,所以不妨设对于所有的N都有0NA.于是AAAN11成立.由于AANNLIM,所以对于任意正数,能够找到自然数N,只要NN,就有
编号:201311180904070054    类型:共享资源    大小:107.50KB    格式:DOC    上传时间:2013-11-18
  
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