数学与应用数学本科毕业论文____关于几种插值多项式的比较分析

TONGRENUNIVERSITY学号2009043012本科毕业论文关于几种插值多项式的比较分析王晔系别数学与计算机科学系系学科理学专业数学与应用数学专业指导教师夏林丽贵州铜仁2013年5月数学与应用数学本科毕业论文贵州铜仁2013年6月TONGRENUNIVERSITY目录（理科）摘要IABSTRACTII引言11、几种常见的插值公式及其构造111LAGRANGE插值法212NEWTON插值法313HERMITE插值法514分段低次插值法615三次样条插值法72、例题83、结束语124、参考文献13附录114附录214附录3155、致谢15数学与应用数学专业2013届本科毕业论文关于几种插值多项式的比较分析数学与计算机科学系数学与应用数学专业王晔摘要插值法是数值算法的最基本方法之一，同时也是函数逼近、数值积分、数值微分、微分方程数值解的基础。许多实际问题都需要运用插值法来解决，所以通过介绍几种常见的插值公式及其误差估计，如LAGRANGE插值公式、NEWTON插值公式、HERMITE插值公式、分段低次插值公式、三次样条插值公式。讨论和比较它们的实用范围和优缺点关键词数值分析插值法插值公式误差MATLAB数学与应用数学专业2013届本科毕业论文ICOMPARISONANDANALYSISONSEVERALKINDSOFINTERPOLATIONPOLYNOMIALSMATHEMATICSANDCOMPUTERSCIENCEDEPARTMENTMATHEMATICSANDAPPLIEDMATHEMATICSWANGYEABSTRACTINTERPOLATIONISONEOFTHEMOSTBASICMETHODOFNUMERICALALGORITHM,BUTALSOTHEFUNCTIONAPPROXIMATION,NUMERICALINTEGRATION,NUMERICALDIFFERENTIATION,NUMERICALSOLUTIONOFDIFFERENTIALEQUATIONBASEDMANYPRACTICALPROBLEMSNEEDTOSOLVEBYUSINGTHEINTERPOLATIONMETHOD,SOTHEINTRODUCTIONOFSEVERALCOMMONINTERPOLATIONFORMULAANDERRORESTIMATE,SUCHASLAGRANGEINTERPOLATIONFORMULA,NEWTONFORMULA,HERMITEFORMULAOFINTERPOLATION,PIECEWISELOWORDERINTERPOLATIONFORMULA,THREESPLINEINTERPOLATIONFORMULADISCUSSANDCOMPARETHEIRAPPLICATIONRANGEANDADVANTAGESANDDISADVANTAGESKEYWORDSNUMERICALANALYSISMETHODOFINTERPOLATIONFORMULAOFINTERPOLATIONERRORMATLAB数学与应用数学专业2013届本科毕业论文0引言在全球化、信息化浪潮大力推动下，计算机技术得到了迅速的发展。插值法也在生活、工程和科学研究中得到了更为广泛的应用。比如在计算断面的面积、漏磁探伤和曲线拟和等诸多实际问题中，有的函数虽然给出了解析表XF达式，但往往过于复杂而难以计算，使用不方便；有的函数只能给出它在平面上一些离散的点和这些点的函数值，而函数的具体解析表达式则XF不能给出，在这样的情况下，选用近似函数来逼近函数。在数学XF上有多种方法逼近函数，本文主要讨论怎样运用插值法去逼近函数，比较插值法的优缺点，并讨论插值法的适用范围。1、几种常见的插值公式及其构造插值法是函数插值法的简称，它的基本思想是构造一个简单便于计算的函数去逼近原函数，通过计算逼近函数在某一点的值从而得到原XXFX函数在这一点的近似值，而求的方法就称为插值法。下面给出插值FX函数的一般定义定义已知（可能未知或表达式非常复杂）是定义在区间432,1，XF上的函数，在这个区间上有个彼此不相同的点,BA1NXN,210且对应的函数值为。寻找一个简单、便于计算的,210XNFFF函数，使满足X,10,KFK通常称为插值区间，为被插值函数，为插值函数，,BAXFX为插值节点。其中当是多项式时，称为代数插值方法，XN210数学与应用数学专业2013届本科毕业论文1即多项式插值。若设为误差函数或余项，则有而且XRXFXR满足关系式XR,210,NK11LAGRANGE插值法已知LAGRANGE插值是为次多项式插值，首先考察低次的插值多项式。N当时，要构造出过两点与的多项式（次数不超过1N,0YX,11XL1次且），使得。则可以写成X1001L15,11X01X01它是两个线性函数0L，X1LX01的线性组合，所以称为线性插值多项式1当时，相应的构造出过三点的多项式2N,0Y,12Y（次数不超过2且），使得2XLX2100L,11X。则可写成Y21X2X0L1L2LY0201X1210XXY1202XX式被称为抛物线插值多项式。21同理，当为插值节点时，有N210,则可写成,IYXLINXLN0XNIIL1100XYNIIIIIINIX数学与应用数学专业2013届本科毕业论文2式被称为LAGRANGE插值多项式31在，式子中，均为插值基函数，且满足213XLIK，即得XLIK0KIK,2100NNKII误差估计由定理形式给出定理111设为区间上互不相同的节点，7,6XN,210,BA，且在内存在，满足的插值,BAXFCNXFNBALYXIIN多项式，则对，使得,XFRNN11XNNF还可写成其截断误差其中，1XNNMMA11XFNBXN01NIINXXLAGRANGE插值多项式的优点是表达式简单明确、便于推导、格式整齐规范；缺点是没有承上启下性和计算量大，即当需要增加、减少新的节点或节点位置变化时，就得从新计算所以的函数。XLIK12NEWTON插值法在介绍NEWTON插值法之前，先来了解一下什么是差商给定了函数在节点处的函数值。那么有形如XG10,10XG，称为函数关于节点处的一阶差XG0110,10，10商。同理给出在节点处的函数值。则XN,21,10NGG被称XONNGG,110数学与应用数学专业2013届本科毕业论文3为函数关于节点的阶差商。所以可得到差商表如下所XGXN,210示1表1差商表XKKG一阶差商二阶差商三阶差商0011,10XGX22G2,210XG33,33,3210XG由差商的定义可以得出75,1，,0101011000XXXNNNNGGGXX所以有X00,110,2101NX,1NG,0NNXFNNRN其中XN0G0X,1G10X,210G。即是过N1个插值点的N110NNNN数学与应用数学专业2013届本科毕业论文4阶NEWTON插值多项式，为插值多项式误差。XRN由于次NEWTON插值多项式与次LAGRANGE插值多项式是恒等的，只是表达方式不同，即NEWTON插值多项式的余项和LAGRANGE插值多项式的余项相同XGXNN11XNNF,10N1X当用NEWTON插值多项式计算较高次的插值时，只需添加一项对应的节点和在这节点处的计算即可，而表达式前面的计算仍然有效，从而节省了计算量。但是用LAGRANGE插值多项式计算较高次的插值时，在添加一项对应的节点和其计算时，表达式也要经过重新计算，计算量明显的增大。所以NEWTON插值多项式在这一点上克服了承上启下的问题。但随着次数N的增大，其误差不是很稳定，所以NEWTON插值对高次插值是不可取的。13HERMITE插值法定义设在个不同的插值节点上，给定,3211NXN,210，。要求一个次数不超过的多项式XYIIFNIFMI,20,1，使得满足条件12HN，YIIN12NIMXHIN,210,12则称满足这种条件的多项式为HERMITE插值多项式。由于HERMITE插值是带有导数的插值法，所以在运用HERMITE插值法时就必须知道在节点处的函数值和其导数值，且还要求它们相等如表2所示，知道了节点处的函数值和其导数值表2节点数据表XI0X12XNIYYYIB01B2BN数学与应用数学专业2013届本科毕业论文5由表2可构造出一个次数不高于的多项式，则称12N12XHN为HERMITE插值多项式，即。其12XN12XN0IINIBY中，为插值基函数，则对，使得误差函数II,AB或余项1XRZNY12XN1221XNFNHERMITE插值多项式能够克服插值函数在节点处不光滑、不可导的缺点但是在运用HERMITE插值公式计算不但要求在节点处的导数值相等，甚至高阶导数也要求相等，条件太高14分段低次插值法在实际运用函数作插值多项式时，并不是插值多项式的次数越高，插值余项就越小，值就越精确。这时就出现了计算出来的值与真实值相差很大的问题，比如说常见的龙格现象针对这类问题，通常采用分段低次多项式去分段被插函数。以下介绍常用的分段线性插值81，设有N1个节点，对应的函数值为BAXN0若记，有满足Y,10IINIH1MI（1）属于；XIN,BC（2）；II（3）在任一个小区间上，是线性多项式,1XIXIN则称为分段线性插值函数（其中）所以在每个小区间XIN,20上，可表示为,1IXINXYIIII11误差估计由定理给出数学与应用数学专业2013届本科毕业论文6定理141若，记，则对6,XF,2BACMAX2FBM,BAX有误差函数或余项估计INHIRXFXNN28分段低次插值函数有很好的一致收敛性和稳定性，它计算量小，在实际生活中用到是最广的但它的光滑性太差15三次样条插值法三次样条插值法也是一种分段插值法。由于在许多实际问题中，用分段低次插值法去逼近函数，不仅要求被插函数的一阶导数存在且连续，而且二阶导数也是一样。所以引人三次样条插值法就是为了克服这个缺点。设区间上有个节点，节点为，且这些,BA1NBAXN10节点的函数值分别为。现在假如存在一个分段函数，,20NKYXS且XS21N,1210XNX使得在以下条件（1）；XSYK（2）的二阶导数在上连续；XS,BA（3）在每个小区间为三次多项式1XK恒成立，其中（），则称为三次样条插值函数NK,10X误差估计由定理给出定理151设，且记6,4BAXFC,44MAXFMBX,则对，都有的误差估计式KNKH10MAS数学与应用数学专业2013届本科毕业论文72,10,4IXMHCSFIIKI三次样条插值函数它同样具有良好的收敛性和逼近性，它在内节点处的二阶导数是连续的，即曲线光滑。2、例题例1给出自然对数和它的导数的数表如下0,9INXINX表3数据表X040050070080IN0916291250069314720003566751430223144125（1）利用LAGRANGE插值公式求的近似值并估计误差；IN（2）利用NEWTON插值公式求的近似值并估计误差；6（3）利用HERMITE插值公式求的近似值并估计误差0I分析本题有多种解法，除了要求的几种方法外，还可以用待定系数法、逐次线性插值法求解解（1）利用LAGRANGE插值公式，得用和作3次LAGRANGE插X4051702X83值多项式，33XLYII0302010XX312101XYX321202Y231303则把代入中得60X3XL59760数学与应用数学专业2013届本科毕业论文8由于4234804MAXMF即有43XR0（2）利用NEWTON插值公式，得差商表如下表4差商表XIX一阶差商二阶差商三阶差商040091629105006931472231440700356675168235751830275080022314413353111568251684375所以XN0G,0X0,10XG10X32132把代入中得60X3X59763GR,3210XG48475180646756（3）利用HERMITE插值公式得12XN0XIINIBY7X3021IIIIIILLFXFX2230XFFFIIIIII其中6L16703601L670285407572L833L数学与应用数学专业2013届本科毕业论文9把代入中得60X7XH51089607则7RF607482XF由于1254397804MAMFX016624所以17注本题的真解，由于相同次数的LAGRANGE插值5082636IN多项式和NEWTON插值多项式是恒等关系，只是它们的表达形式不同，所以用它们算出来的结果也应该相同。然而从例题中可以发现分别用LAGRANGE插值公式和NEWTON插值公式计算出来的结果了出现差异，那是因为计算的次数不同，舍入的误差不同造成的。同时从例题中还可以看出用HERMITE插值公式计算得出的结果远比运用LAGRANGE插值公式和NEWTON插值公式得到的结果精确例2给定一个函1,，XF215X现在给出等距离的插值节点，其中分别试用NII05NI,21LAGRANGE插值法、分段低次插值法、三次样条插值法作出其图像，并与原图像相比较，再分析其差异解首先用LAGRANGE插值法进行计算，当时，在MATLAB的中10N输入命令见附录1，得到以下图像数学与应用数学专业2013届本科毕业论文10图1由图1可以知道在运用高次LAGRANGE插值多项式逼近被插函数时，并不是插值多项式的次数越高越好，随着节点的增多，用LAGRANGE插值法计算出来的结果与真实值相差就越大，其误差也就越大，也就出现了发散的现象，这就是我们常说的龙格现象。然后再在图1的基础上用分段插值法计算，并在MATLAB上实现见附录2，得出图像如下图2数学与应用数学专业2013届本科毕业论文11由图2中可以看出，用分段插值法计算出来的结果与真实值相差很小，所以分段插值法克服了高次LAGRANGE插值法的缺点，不但不会出现龙格的现象，也不会出现不收敛的现象。但是它还是具有插值精度低、节点处不光滑的缺点。同理运用三次样条插值法计算，由MATLAB得到以下图像见附录3图3同样由图3中可以看出，三次样条插值法不仅克服了高次LAGRANGE插值法的不收敛性，同时也克服了分段插值法的插值精度低、在节点处不光滑的缺点，即提高节点处的光滑性。3、结束语本文讨论了数值分析中几种常见的插值法，知道了插值法在数值分析中的重要地位。分别介绍了各种插值法实用范围和优缺点，并通过例题论证了其结果，加深其印象让读者能够很好的估计误差，使其最小文中同时运用了MATLAB解决问题，使其计算量大大的减少也为人们在以后遇到需要用插值法解决的诸多实际问题的时候，提供一点参考资料。数学与应用数学专业2013届本科毕业论文124、参考文献1韩旭里数值计算方法M复旦大学出版社，20082关治,陆金甫数值分析基础M北京高等教育出版社，19983黄友谦,李岳生数值逼近M北京高等教育出版社，19874李庆扬,关治,白峰杉数值计算原理M北京清华大学出版社，20005马东升,雷勇军数值计算方法（第二版）M机械工业出版社，20066姜启源,谢金星,叶俊数学模型（第三版）M北京高等教育出版社，20057王德人,杨