数字信号处理习题集附答案a

第一章数字信号处理概述简答题1在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用答在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。判断说明题2模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（）答错。需要增加采样和量化两道工序。3一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（）答受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。第二章离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题1过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T表示采样周期（假设T足够小，足以防止混迭效应），把从的整个系统等效为一个模拟滤波器。TYX到（A）如果，求整个系统的截止频率。KHZTRADNH10,8截止于（B）对于，重复（A）的计算。KHZT201采样（T）NHXTXYD/A理想低通TCTY解（A）因为当，在数模变换中08JEHRAD时1TXJTEYAJ所以得截止频率对应于模拟信号的角频率为NHCC8C因此HZTFC62512由于最后一级的低通滤波器的截止频率为，因此对没有影响，故整个系统的截止T8频率由决定，是625HZ。JEH（B）采用同样的方法求得，整个系统的截止频率为KHZT201FC56二、离散时间信号与系统频域分析计算题1设序列的傅氏变换为，试求下列序列的傅里叶变换。NXJEX（1）（2）（共轭）NXNX解（1）由序列傅氏变换公式DTFTNNJJEXEXNX可以得到DTFT222NJNNJEXEXX为偶数212121222JJJJNJNNJJNEXEXEX（2）（共轭）NX解DTFTJNNJNJEXEXEX2计算下列各信号的傅里叶变换。（A）（B）UN241UN（C）（D）24N解（A）02NNJJNEEUXJNJE120（B）24124NNJJNNEEUX）（JJMMJEE41641202（C）22JNNJJNEXX（D）12121JJJNNEE）（利用频率微分特性，可得22112JJJJEEDX3序列的傅里叶变换为，求下列各序列的傅里叶变换。NXJWX（1）（2）3RENXNX解（1）JWNJWNJWEXEX（2）NJWJJNNJEXX2121R（3）DJEXDWJEDJEXJNJWNNJNNJW4序列的傅里叶变换为，求下列各序列的傅里叶变换。JWX（1）（2）3XIMXJ2X解（1）JWNNWJNWJNJWEXEEE（2）212121JWJWNNJJNJWNJWJWNNEXXEXEXEX（3）21212JWJJJNNNWJJNJWEXDEXEEX5令和表示一个序列及其傅立叶变换，利用表示下面各序列的傅立NXJJWEX叶变换。（1）2G（2）为奇数为偶数NXN0解（1）为偶数KWKJNJNWNJWJWEXEXEGEG222121122222222WJWJJJKWJKWJJKJKJKKJEXEEXXEX（2）222WJRJRRWJNJNWJWEXXGEGEG6设序列傅立叶变换为，求下列序列的傅立叶变换。XJX（1）为任意实整数0NX0（2）为奇数为偶数G2（3）NX解（1）0JWNJEX（2）N为偶数2XNG2WJEX0N为奇数（3）22JWEXX7计算下列各信号的傅立叶变换。（1）232NUN（2）SI78COS（3）其它0413NNX【解】（1）NKNNJEUKX23222311NKNJNKNJEKNJJKNJJEE221418KNJJKNJE252318（2）假定和的变换分别为和，则71COSNSI1X2KKKKNKNX2718271821KJ2所以21KXXKKNJKNJKNN222718782（3）423COSNKJNEX42321NKNJNJNJ90233249023341NNNJKNJNNKJKNJEEEE233242332411199KNJJKNJKNJJKNJEEEE8求下列序列的时域离散傅里叶变换，NXRX0N解JJEXE2121EJEJJNJXXNXIM0JNJJEXEN三、离散时间系统系统函数填空题1设是线性相位FIR系统，已知中的3个零点分别为1，08，1J，该系统阶ZHZH数至少为（）。解由线性相位系统零点的特性可知，的零点可单独出现，的零点需成对出1Z80Z现，的零点需4个1组，所以系统至少为7阶。JZ1简答题2何谓最小相位系统最小相位系统的系统函数有何特点MINZH解一个稳定的因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式，他的所有极点都应在单位圆内，即。但零NKKMRRZABQPZH101K点可以位于Z平面的任何地方。有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统也是稳定因果的。这就需要的零点也位于单位圆内，即。1GZH1R一个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的，我们有如下定义。【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值唯一确定。从求的JWEJWEZH过程如下给定，先求，它是的函数。然后，用替代JWE2JWCOSK21K，我们得到。最后，最小相位系统由单位圆内的的COSK1ZHGG极、零点形成。一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即MINZAP完成这个因式分解的过程如下首先，把的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆ZH内的共轭倒数点，这样形成的系统函数是最小相位的。然后，选择全通滤波器MIN，把与之对应的中的零点映射回单位圆外。ZHAPMIN3何谓全通系统全通系统的系统函数有何特点ZAP解一个稳定的因果全通系统，其系统函数对应的傅里叶变换幅值，H1JWEH该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即。因而，如果在处有一个极点，NKKNKMRRAPZZABQPZH1110KZ则在其共轭倒数点处必须有一个零点。KZ14有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。NHXNY解频率响应JJEEH系统函数NZH差分方程1XYZ卷积关系NXHNY第三章离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数计算题1如果是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期序列。把NX看作周期为N的周期序列有（周期为N）；把看作周期为2N的1KXNXNX周期序列有（周期为2N）；试用表示。2KXX）（）（KX2解101021NNNNKNNJKEXWKNKNJNNNKJKNEXXX212120102对后一项令，则1010222NNNNNNKJKJEXEXK21102KXEJNKNJJK所以012KX为奇数为偶数K二、离散傅立叶变换定义填空题2某DFT的表达式是，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之10NKKLMWXLX间的间隔是（）。解M3某序列DFT的表达式是，由此可看出，该序列的时域长度是（10NKKLMXLX），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（）。解NM24如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（）。解纯实数、偶对称5采样频率为的数字系统中，系统函数表达式中代表的物理意义是（HZFS1Z），其中时域数字序列的序号代表的样值实际位置是（）；的N点NXNXDFT中，序号代表的样值实际位置又是（）。KX（解延时一个采样周期，FT1NKNK26用8KHZ的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT。则频域抽样点之间的频率间隔为_,数字角频率间隔为_和模拟角频率间隔FW_。解15625，00123RAD，984RAD/S判断说明题7一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT对它进行分析。（）解错。如果序列是有限长的，就能做DFT对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。计算题8令表示N点的序列的N点离散傅里叶变换，本身也是一个N点的序KXNXKX列。如果计算的离散傅里叶变换得到一序列，试用求。1NXX1N解0010101NNKNKNKNNNNKNWWXNX因为10NKNW其他L所以11NNNNRXLXX9序列，其4点DFT如下图所示。现将按下列（1），（2），0,KX（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT（尽量利用DFT的特性）NXNKXK（1）4NXY730（2）0（3）2NXY奇数偶数解（1）013,KYKX（2）30,7,2,2111K（3）4MOD,30,71141KKXY10设是一个2N点的序列，具有如下性质NXNXNNX另设，它的N点DFT为，求的2N点DFT和1RX1KXNXKX的关系。KX解推导过程略21K11试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）（1）（2）NRAXNNRXN解（1）因为，所以KNJNNNKNJAEEAKX21021（2）由，得NRXN10NKWKX10NNNKNKR1010NNKNKKNRX112232131KRWKRNWWNNKKKKKKKNKNKN所以1KRWKXN12计算下列序列的N点DFT16P（1）0,NAX（2），MN2COSNM0解（1），KNKNKNKAWAWKX11101（2）0222102COSNNKNJMJNJNNKEEM2211MKNJJMKNJJEE112MKNJKJMKNJJJKJMKNJKNJJJEEE11SINSIN21MKNJMKNJEKEK,KM或KMN0,其它13已知一个有限长序列52NNX（1）求它的10点离散傅里叶变换KX（2）已知序列的10点离散傅立叶变换为，求序列Y210KXWYNY（3）已知序列的10点离散傅立叶变换为，求序列NMMM解；（1）10901052NNNNKKWXKX1212K51KJE51212，9,（2）由可以知道，是向右循环移位2的结果，即210KXKYNYX72NXY（3）由可以知道，KYKM点循环卷积。的与是10NYXM一种方法是先计算的线性卷积与NYXLLNU4,0,01然后由下式得到10点循环卷积74250,4,5,10NNRLUNML另一种方法是先计算的10点离散傅立叶变换YKKNNKNNKWWYKY710210901072再计算乘积KKKXM7102105K77102104KW45由上式得到72NNM14（1）已知序列，求的N点DFT。10SINX，NX（2）已知序列，则的9点DFT是2,10N，其它正确否用演算来证明你的结论。8,9SIN32KEKXKJ，345P解（1）KKNNJNNE210I1022NKNJNJNJ10122NNNKNJNKJE,J12K0，其它（2）KJKJJKJKJJKJJNKNJEEEKX993392620918,109SIN32KKEKJ，可见，题给答案是正确的。15一个8点序列的8点离散傅里叶变换如图529所示。在的每两个取XKXNX样值之间插入一个零值，得到一个16点序列，即NY，为偶数2NXY0，为奇数N（1）求的16点离散傅里叶变换，并画出的图形。KYK（2）设的长度N为偶数，且有，求。KX12,0,1NNXX012345671K1234解（1）因N为奇数时，故Y14,20161506NNKNKWXKY，708MKX5K另一方面其它,0778KWXKXMK因此其它,0158,878KWMXKXK其它,01578KXMK所以KY其它,01578KWXMK其它,01587,KKX按照上式可画出的图形，如图534所示。Y16计算下列有限长序列的DFT，假设长度为N。NX（1）A10（2）1,32X解（1）010NNNKNNKAWKXKNKNA110NK2304NNKXKX10123456789K2KYKKW342401JJ130K17长度为8的有限长序列的8点DFT为，长度为16的一个新序列定义为NXX24,20NY015,3N试用来表示。KXYDFTKY解15016NNWY7012670216RKRRKY708RRKX5,而708NNKWKX7,10因此，当时，；当时，令，,1XY15,98K7,108LK得到8708708LRXRXLYLL即KX于是有7,1KKY8X5,9K18试计算的离散傅里叶变换的值304,21NNX若NXKX。,K【解】140KKNNWXNX所以5012030NKKNJJJJNNKKNEEWXX2242210302124203002JJKKN32630301JJNNKKNEXX证明题19设表示长度为N的有限长序列的DFT。KNX（1）证明如果满足关系式NX1则0X（2）证明当N为偶数时，如果1NXN则0解（1）12120101010NNNNNNNNNNKNXXWXXK令MNN1012120NNNNMXX显然可得（2）（将N分为奇数和偶数两部分表示）1010NNNNNJKXEXX12012120RRR120120NRNRXX1212110120KRNRXNXNRR令1202RNKXX显然可得X简答题21在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么怎样才能减小这种效应解因为为采样时没有满足采样定理减小这种效应的方法采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤去高于折叠频率的频率成分。2SF22试说明离散傅里叶变换与Z变换之间的关系。解离散傅立叶变换是Z变换在单位圆上的等间隔采样。三、离散傅立叶变换性质填空题1已知序列，序列长度，写出序列3,210,32KKX4N的值（）。24RXN解3,210,23,103,1,224KKXXKRXN2已知，则和4,40,31NHNNX的5点循环卷积为（）。H解32KKXKX4,3210,55KX3已知则的1,4,3102,3NHKNXNHX和4点循环卷积为（）。解7346201423201230XHH证明题4试证N点序列的离散傅立叶变换满足PARSEVAL恒等式NXKX210210NMNK证10210MXX210101010NKNKMMKKNKKNXXWX5是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性NXKX和1N证明略。6长为N的有限长序列，分别为的圆周共轭偶部及奇部，也NX,NXOENX即21NNXNNXNEEOO证明IMREKXJNXDFTOE证2121NEENXNNXNNXREKXKX2121NOONXNNXNNXNIMKXJKX7若NXNDFTKXNXDFT,求证证（1）10NKNNW（2）10KKNXX由（2），将互换，则有10NKKNN与（这应该是反变换公式）10NKNWXX（用，且求和取主值区）10NKKNNK代替10KNKX与（1）比较所以NX8若，求证。KXIDFTNX1NRXNKXIDFTN证10NKKNWXS10102NRRNRKNKKRRX而L（为整数）10NKNRWL0LNNR所以112NXLXXIDFS于是RRNKTNN9令表示N点序列的N点DFT，试证明XNX（A）如果满足关系式，则。1NX0X（B）当N为偶数时，如果，则。2证10NNKWXKX1,0N（A）10NNN为偶数120120NNNXX01120120NNNXN为奇数211210120NXNXNN21021121110NXXNXXNNN而中间的一项应当满足NX2112NXXN因此必然有0NX这就是说，当N为奇数时，也有。（B）当N为偶数101022NNNNNXWX120120120110NNNNNNNNNXX当N为偶数时，为奇数，故；又由于故有1N,1N012200NNNNXXX10设，求证。KXDFTNKXDFT【解】因为NKNNW根据题意10KNKX10NKNNKX因为NNKNW所以10KXDFTWKXNNXNN11证明若为实偶对称，即，则也为实偶对称。X【解】根据题意10NNNKK的周期性质再利用NKNNNKNWX1010NKN下面我们令进行变量代换，则MN1NMMKXX又因为为实偶对称,所以，所以NX0X0KNMKNKNWXW可将上式写为01KKMXXNMKX0NKMKNWX010NMKX所以10XWKXMKN即证。注意若为奇对称，即，则为纯虚数并且奇对称，证明方法NXNXK同上。计算题12已知，用圆周卷积法求和301,301NNYNXNX的线性卷积。NYNZ解，4,321X301,NY30N因为的长度为,的长度为1N42N所以的长度为,故应求周期的圆周卷YNXZ717N积的值，即YNX10NRMNYXNZNNM所以60,43,2YX13序列，序列。3,21为NA1,为NB（1）求线性卷积（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT至少应取多少点解（1）NMBABANW所以，3,81440（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性卷积运算，因为的长度为；所以得长度为。NA31NNBA5121N故FFT至少应取点。8214有限长为N100的两序列01NX910N10NY980N做出示意图，并求圆周卷积及做图。,YYXF解示意图略，圆周卷积NXN9010,2,83974,65,9738,210NNNF15已知是长度为N的有限长序列，现将的每两XNXDFTKXNX点之间补进个零值，得到一个长为的有限1RR长序列NY0RX1,0,NIRN求DFT与的关系。NYKX解因为01NLLWX1令KNRNNRLRNNKNRXYKY12,010LR1012,0RMRLLKNNKXXX1012RNKK其他16已知是N点有限长序列，。现将长度变成点的有限长NXNXDFTKXRN序列Y0XN1RNN试求点DFT与的关系。RNYKX解由10,102KENXXDFTKXNNNJ可得1010NNNKRNRNNKRWXYYKY,102LRXEXNNRKNJ所以在一个周期内，的抽样点数是倍，相当于在的每两个值之间插YRK的KX入个其他的数值（不一定为零），而当的整数倍时，相等。1R为LRY与17已知是N点有限长序列，。现将的每两点之间补进NXNXDFTKXX个零值点，得到一个点的有限长序列1RRY0NXYNNIR其他1,0,试求点DFT与的关系。RNKX解由10,10NKWNXDFTKXN可得10RNNNKRNYYKY1,1010RWIXRIXNIKNIIKN而RXKYR所以是将（周期为N）延拓次形成的，即周期为。KYXRKYRN18已知序列和它的6点离散傅立叶变换32134NNNX。K（1）若有限长序列的6点离散傅立叶变换为，求。Y46KXWKYNY（2）若有限长序列的6点离散傅立叶变换为的实部，即NU，求。REKXU（3）若有限长序列的3点离散傅立叶变换，求。V2KXV,10NV解（1）由知，是向右循环移位4的结果，即46KWKYNYXNXY12534（2）50631NNKWNKXKKW362634K21REKXXKKKKW36263626434KKW458KKKK566362621由上式得到52343134NNNNU（3）53205050326NKNKNNKKWXXXXKX2,10,3320230203KWNXNXNXNNNKKKK由于2203XVKVNNK2,10,203KXNN所以,V即252341XV或NN19令表示N点的序列的N点离散傅里叶变换，本身也是一个N点的KXXKX序列。如果计算的离散傅里叶变换得到一序列，试用求。1XNX1解101010101NNKNNKNKNNNNKNWWXXNX因为10NKNW其他L所以11NNNNRXLXX20为了说明循环卷积计算（用DFT算法），分别计算两矩形序列的卷积，NRXN如果，求6RX（1）两个长度为6点的6点循环卷积。（2）两个长度为6点的12点循环卷积。【解】这是循环卷积的另一个例子。令其他01121LNXN图36中，N定义为DFT长度。若，则N点DFT为6L其他01021KWKXNNKN1XNA如果我们将和直接相乘，得1KX2其他02213K由此可得NNX31N这个结果绘在图36中。显然，由于序列是对于旋转，则乘积NMNX21X的和始终等于N。NMX21当然也可以把和看作是2L点循环卷积，只要给他们增补L个零即可。若我们1N2X计算增长序列的2L点循环卷积，就得到图37所示序列。可以看出它等于有限长序列和的线性卷积。注意如图37所，时1X2L2KNLWXK121所以图37（E）中矩形序列的DFT为（）3NXL2231KNLKX循环卷积的性质可以表示为2121KXNXDFT考虑到DFT关系的对偶性，自然两个N点序列乘积的DFT等于他们对英的离散傅里叶变换的循环卷积。具体地说，若，则213NX1023NLNLKXKX或2121NXDFT21设是一个2N点序列，具有如下性质XN0NN另设，它的N点DFT为。1NRX1KX求得2N点DFT和的关系。NKX1【答案】21DFT22已知某信号序列，试计算,3KF2,43KH（1）和的循环卷积和；KFHF（2）和的线性卷积和；K（3）写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。【答案】（1）3210136KHHKY（2）6450421KHK（3）略23如图表示一个5点序列。NX（1）试画出X（2）试画出5N01234123X解01234123NNX5678142104136901234513101105NX简答题24试述用DFT计算离散线性卷积的方法。解计算长度为M,N两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为MN1,而后求补零后两序列的DFT，并求其乘积，最后求乘积后序列的IDFT，可得原两序列的线性卷积。25已知是两个N点实序列的DFT值，今需要从,KYX,NYX求的值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。,KNYX解依据题意,KYNYKX取序列JZ对作N点IFFT可得序列。KZZ又根据DFT性质由原题可知，NJYXKYJIDFTKXIFTKJYXIDFT都是实序列。再根据，可得,NYXNJYXNZIMREZ四、频域取样填空题1从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。采用的方法，从时域角度看是（）；从频域角度看是（）。解采样值对相应的内插函数的加权求和加低通，频域截断2由频域采样恢复时可利用内插公式，它是用（）值对（KXJE）函数加权后求和。解内插3频域N点采样造成时域的周期延拓，其周期是（）。解（频域采样点数时域采样周期）TNT简答题4已知有限长序列的变换为，若对在单位圆上等间隔抽样点，NXZZXZM且，试分析此个样点序列对应的IDFT与序列的关系。M1NXX解如果,0,21MZXMMJE即是在单位圆上点等间隔抽样，根据频域抽样定理，则存在1XZLMKRLKXIDFTKX11上式表明，将序列以为周期进行周期延拓，取其主值区间上的值，KX10，即得序列。由于，故在对以为周期进行周期延拓时，必然存在重叠。1NMKX5FFT算法的基本思想是什么解答案略。6简述时域取样定理和频域取样定理的基本内容。解答案略。计算题7设是长度为M的有限长序列，其Z变换为NX10MNNZXX今欲求在单位圆上N个等距离点上的采样值，其中XK解答下列问题（用一个N点的FFT来算出全部的值）,1,0,2KEZJK（1）当时，写出用一个N点FFT分别算出的过程；MN和KZX2若求的IDFT，说明哪一个结果和等效，为什么KZXNX解（1），对序列末尾补零至N个点得序列，计算的N点NXNXFFT即可得到。K时，对序列以N为周期进行周期延拓得到一个新的序列，求序列MNXX的前M点的FFT即可得。NXKZX（2）时得到的结果与等效，因为其满足频域取样定理。NX8已知，今对其Z变换在单位圆上等分采样，采样值10,AUXNX为，求有限长序列IDFTKNWZXKK解方法一1AZKNNKWZWZAWAAXKKNKN111KNNNNKA010IDFTRKXN方法二10AZZNLKLNLWZLLWZUAXKKNKN0交换求和次序10101KLNKLLNKNKUANXLKNLNLUA10（因为，）10WNKNLML2,10所以MNNX110N00MNNNAUA1N1RNN9研究一个长度为M点的有限长序列。NXMNX其他,01我们希望计算求Z变换在单位圆上N个等间隔点上的抽样，即在10NNZXX上的抽样。当时，试找出只用一个N点DFT1,0,2NKEZNJM就能计算的N个抽样的方法，并证明之。ZX解若，可将补零到N点，即MNX1,00NX则10,1022KENXEXNNJKJ10对有限长序列的Z变换在单位圆上进行5等份取样，得到取,ZX样值，即K4,32105KZW求的逆傅里叶变换。X1NX解KWZNNXKZZZ553250405135232NKNXW0,121NX11设如图所示的序列的Z变换为，对在单位圆上等间隔的4点上取样NXZX得到，即KX3,210,42KZJE试求的4点离散傅里叶逆变换，并画出的图形。1NX1NX379P01234567121NX解因为对在单位圆上等间隔的4点上取样，将使以4为周期进行周期延拓，ZXNX所以，根据上式可画出的图形，如下图所示。RRNX411012345671212N1四、用离散傅立叶变换对连续时间信号逼近问题简答题1理解DFT分析信号频谱中出现的现象以及改善这些现象的方法解答案略2补零和增加信号长度对谱分析有何影响是否都可以提高频谱分辨率解时域补零和增加信号长度，可以使频谱谱线加密，但不能提高频谱分辨率。3试说明连续傅里叶变换采样点的幅值和离散傅里叶变换幅值存在什么FXKX关系解两个幅值一样。4解释DFT中频谱混迭和频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱解如果采样频率过低，再DFT计算中再频域出现混迭线性，形成频谱失真；需提高采样频率来克服或减弱这种失真。泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是尽量用旁瓣小主瓣窄的窗函数。计算题5用某台FFT仪做谱分析。使用该仪器时，选用的抽样点数N必须是2的整数次幂。已知待分析的信号中，上限频率KHZ。要求谱分辨率HZ。试确定下列参数110255一个记录中的最少抽样点数；2相邻样点间的最大时间间隔；3信号的最小记录时间。解因为待分析的信号中上限频率KHZFM所以抽样频率应满足FS52因为要求谱分辨率，所以KZNS501因为选用的抽样点数N必须是2的整数次幂，所以一个记录中的最少抽样点数512N相邻样点间的最大时间间隔MSFFTSS452MIN信号的最小记录时间P801IN6（1）模拟数据以1024千赫速率取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。求频谱取样之间的频率间隔。（2）以上数字数据经处理以后又进行了离散傅里叶反变换，求离散傅里叶反变换后抽样点的间隔为多少整个1024点的时宽为多少解（1）频率间隔（赫）1024F（2）抽样点的间隔ST697整个1024点的时宽T97661024100MS7频谱分析的模拟信号以8KHZ被抽样，计算了512个抽样的DFT，试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明你的回答。证明由2,0FFS得0S其中是以角频率为变量的频谱的周期，是频谱抽样之间的频谱间隔。S0又NFFS0则NFFS0对于本题有512,8KHZFS所以Z608设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力，如果采用的抽样时间间隔为01MS，试确HZ10定（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数。解（1）因为，所以ZFT10,0而S0即最小记录长度为01S（2）因为，而KHZTFS10013HSFF2所以KZFFSH51即允许处理的信号最高频率为5KHZ。（3），又因N必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少1003TN点数为。241第四章快速傅立叶变换一、计算DFT效率及其改善途径填空题1如果一台通用机算计的速度为平均每次复乘需100，每次复加需20，今用来计SS算N1024点的DFT。问直接运算需（）时间，用FFT运算需要（）时间。NX解（1）直接运算需复数乘法次，复数加法次。2N）（1N直接运算所用计算时间为1TSSNT8064251258064021）（2）基2FFT运算需复数乘法次，复数加法次。NLOGNLOG用FFT计算1024点DTF所需计算时间为2TSSNT7168071680LOG10LOG222N点FFT的运算量大约是（）。解次复乘和次复加2L2L3快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换_和利用旋转因子的KNJE2_来减少计算量，其特点是_,_和_。解快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换长度逐次变短和利用旋转因子的KJ2周期性来减少计算量，其特点是蝶形计算、原位计算和码位倒置。简答题4FFT主要利用了DFT定义中的正交完备基函数的周期性和对称1,0NNWN性，通过将大点数的DFT运算转换为多个小数点的DFT运算，实现计算量的降低。请写出的周期性和对称性表达式。NW答周期性NNKNKNN对称性25基2FFT快速计算的原理是什么它所需的复乘、复加次数各是多少解原理利用的特性，将N点序列分解为较短的序列，计算短序列的DFT，最后再KNNW组合起来。复乘次数，复加次数N2LOGN2LOG二、按时间抽取FFT算法简答题1简略推导按时间抽取基2FFT算法的蝶形公式，并画出N8时算法的流图，说明该算法的同址运算特点。解答案略。作图题3画出基2时间抽取的FFT流图，并利用该流图计算序列8N的DFT。0,1,KX解答案略。4对于长度为8点的实序列，试问如何利用长度为4点的FFT计算的8点DFT写NXNX出其表达式，并画出简略流程图。解708NNKWKX3,210,283430401288KHKGRHRGXXKKRKRK04483041RKRRRWX2,1,8304304KHWKGHGKRKRR按照式和式可画出如下图所示的流程图。2X461X3571G208WH12381X2345X67100034点DFT4点DFT三、按频率抽取FFT算法计算题1是N点序列的DFT，N为偶数。两个点序列定义为KXNX2N1211NX120,2NNXNX和分别表示序列和的点DFT，试由和确定1KX212NX1KX2的点DFT。NXN解DFT（为偶数）1021202NLMLNKMKWXXX210NXLLNNLDFT（为奇数）10211202LLMNKMKNXXX）（MNMNLLNLWXW210120,14141NMXWMXMXMNN,22解上述方程可得10,1121NMXWMXMXMNN2,221简答题2简略推导按频率抽取基2FFT算法的蝶形公式，并画出时算法的流图，说明该算8N法的同址运算特点。【答案】其同址运算特点为输入按自然顺序存放，输出序列按码位颠倒顺序存放。作图题3画出基2时域抽取4点FFT的信号流图。解答案略。四、其它FFT算法简答题1已知两个N点实序列和得DFT分别为和，现在需要求出序列NXYKXY和，试用一次N点IFFT运算来实现。NXY解依据题意,KNYKXX取序列JYZ对作N点IFFT可得序列。KZZ又根据DFT性质由原题可知，NJYXKYJIDFTKXITKJYXIDFT都是实序列。再根据，可得,NYXJYNXZIMREZ2已知长度为2N的实序列的DFT的各个数值，现在需要NXKX12,0NK由计算，为了提高效率，请设计用一次N点IFFT来完成。KXNX解如果将按奇偶分为两组，即令2XU1,0NN1XNV那么就有2KVWUKXN1,0N2KKN其中、分别是实序列、的N点DFT，、可以由上式解出UVNUVKUV21KXK1,0K2NKWKVKN由于是已知的，因此可以将前后分半按上式那样组合起来，1,0XKX于是就得到了和。到此，就可以像49题那样来处理了，也即令KUVNJVUNY根据、，做一次N点IFFT运算，就可以同时得到和KNUV，它们分别是的偶数点和奇数点序列，于是序列1,0NXX也就求出了。2五、快速傅立叶变换应用简答题1采用FFT算法，可用快速卷积完成线性卷积。现预计算线性卷积，试NHX写采用快速卷积的计算步骤（注意说明点数）。答如果，的长度分别为,那么用长度的圆周卷积可NXH1N2121N计算线性卷积。用FFT运算来求值（快速卷积）的步骤如下NHX（1）对序列，补零至长为N，使，并且M为整X21M数，即,1,0N,2NH（2）用FFT计算，的离散傅立叶变换NX（N点）KXFT（N点）HH（3）计算KKY（4）用IFFT计算的离散傅立叶变换得（N点）KIFTNHX第五章数字滤波器一、数字滤波器结构填空题1FIR滤波器是否一定为线性相位系统（）。解不一定计算题2设某FIR数字滤波器的冲激响应，,361,70HH，其他值时。试求的幅频响应和643,5HHN0JEH相频响应的表示式，并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。解70,1,6N10NNNJJEHEH212723272527272764363653JJJJJJJJJJJJJJJJJJJEEEEEE27COS2CS63COS102CSJJH所以的幅频响应为JEH27COS25CS623COS10CS2JE的相频响应为JE27作图题3有人设计了一只数字滤波器，得到其系统函数为211211369045286940278ZZZZZH211570920638ZZ请采用并联型结构实现该系统。解答案略4用级联型结构和并联型结构实现一下传递函数（1）501232ZZH（2）70148223Z解（1）501235123122ZZZZH3211211125053ZZ（级联型结构及并联型结构图略（2）7148223ZZH12112127058430587ZZ级联型结构及并联型结构图略5用横截型结构实现以下系统函数162162111ZZZZZH解1621621ZZZZ1212154321121805386725ZZZZ结构图略。6设某FIR数字滤波器的系统函数为35315421ZZZH试画出此滤波器的线性相位结构。解由题中所给的条件可知4513521531NNNNH则12605340HH即是偶对称，对称中心在处，N为奇数（N5）。NH21N线性相位结构如下图示X1Z1Z1Z1Z02061NY图P577画出由下列差分方程定义的因果线性离散时间系统的直接型、直接型、级联型和并联型结构的信号流程图，级联型和并联型只用1阶节，1328143NXNYYN解（1）直接型1Z34/8/11ZNYNX（2）直接型4/3/1ZNY8NX（3）级联型3/1Z1Z2/4/NYNX将系统函数写成1124ZZH（4）并联型2/14/13/01Z1ZNY3/7NX8用级联型及并联型结构实现系统函数1232ZZH解用级联型结构实现121221ZZZZH信号流图如图（A）所示。用并联型结构实现134216722ZZZZ12134信号流图如图（B）所示。1Z212XZY（A）231Z1Z14YX（B）9已知滤波器单位抽样响应为画出横截型结构。其它052NNH解50502KKNXNXHXY横截型结构如图所示。1Z1Z248632NYNX10用卷积型和级联型网络实现系统函数2141ZZZH解8321341ZZH843606由（83）式得到级联型结构如图T811（A）所示，由（84）式得到卷积型结构如图T811（B）所示。Y1Z1Z1Z234602NYNXXAB图T81二、IIR数字滤波器设计填空题1已知一IIR滤波器的，试判断滤波器的类型为（）。190ZZH（解全通系统2脉冲响应不变法的基本思路是（）。解11ZHNHTTHSLAAL抽样3写出设计原型模拟低通的三种方法（1）（），（2）（），（3）（）。解（1）巴特沃兹逼近，（2）切比雪夫逼近，（3）椭圆滤波器4设计数字滤波器的方法之一是先设计模拟滤波器，然后通过模拟S域（拉氏变换域）到数字Z域的变换，将模拟滤波器转换成数字滤波器，其中常用的双线性变换的关系式是（）。解答案略5设计IIRDF时采用的双线性变换法，将S域轴上的模拟抽样角频率变换到JSF2Z域单位圆上的数字频率（）处。解2ARCTG简答题6试分析脉冲响应不变法设计数字滤波器的基本思想、方法及其局限性。解答案略7从以下几个方面比较脉冲响应不变法和双线性变换法的特点基本思路，如何从S平面映射到Z平面，频域变换的线性关系。解答案略。判断说明题8将模拟滤波器转换成数字滤波器，除了双线性变换法外，脉冲响应不变法也是常用方法之一，它可以用来将模拟低通，带通和高通滤波器转换成相应的数字滤波器。（）答由于采用脉冲响应不变法转换时，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。所以当模拟滤波器的频响是限带于半抽样频率之内时，周期延拓不会造成频谱混叠，变换得到的数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响。故脉冲响应不变法只适用于设计频率严格有限的低通、带通滤波器，不适用于设计高通滤波器。9采用双线性变换法设计IIRDF时，如果设计出的模拟滤波器具有线性频响特性，那么转换后的数字滤波器也具有线性