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1第二章轴向拉压应力与材料的力学性能21试画图示各杆的轴力图。题21图解各杆的轴力图如图21所示。图2122试画图示各杆的轴力图,并指出轴力的最大值。图A与B所示分布载荷均沿杆轴均匀分布,集度为Q。题22图A解由图22A1可知,QXAF2N轴力图如图22A2所示,2QAF2MX,N图22AB解由图22B2可知,QAFRX1N22R2X轴力图如图22B2所示,QAFMXN,图22B23图示轴向受拉等截面杆,横截面面积A500MM2,载荷F50KN。试求图示斜截面MM上的正应力与切应力,以及杆内的最大正应力与最大切应力。题23图解该拉杆横截面上的正应力为10MPA01M50N8263、AF斜截面MM的方位角故有3MPA34150COSPA10COS229INM5IN杆内的最大正应力与最大切应力分别为PA10MAX5225某材料的应力应变曲线如图所示,图中还同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量E、比例极限、屈服极限、强度极限与伸长率,并判断该材料属PSB于何种类型(塑性或脆性材料)。题25解由题图可以近似确定所求各量。20GPA1200PA1296E,MP4S,PA4B729该材料属于塑性材料。27一圆截面杆,材料的应力应变曲线如题26图所示。若杆径D10MM,杆长L200MM,杆端承受轴向拉力F20KN作用,试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。4题26图解25MPA1052M01N483AF查上述曲线,知此时的轴向应变为9轴向变形为M7801870324L拉力卸去后,有,64E26P故残留轴向变形为05M1502MPL29图示含圆孔板件,承受轴向载荷F作用。已知载荷F32KN,板宽B100MM,板厚15MM,孔径D20MM。试求板件横截面上的最大拉应力(考虑应力集中)。题29图解根据20M1/02/BD查应力集中因数曲线,得4K根据,DBFNNMAX得5645MPA1045601M201N3472NMAX、DBKF210图示板件,承受轴向载荷F作用。已知载荷F36KN,板宽B190MM,B260MM,板厚10MM,孔径D10MM,圆角半径R12MM。试求板件横截面上的最大拉应力(考虑应力集中)。题210图解1在圆孔处根据109M1BD查圆孔应力集中因数曲线,得621K故有17MPA071M0109N3821N1MAX、DBFK2在圆角处根据1506921BDD2M2R查圆角应力集中因数曲线,得7412K故有104MPA01M06N3822NMAXBFK3结论(在圆孔边缘处)MPA7MAX214图示桁架,承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A,许用应力均为,试确定载荷F的许用值F。6题214图解先后以节点C与B为研究对象,求得各杆的轴力分别为F2N13根据强度条件,要求2AF由此得2215图示桁架,承受载荷F作用,已知杆的许用应力为。若在节点B和C的位置保持不变的条件下,试确定使结构重量最轻的值(即确定节点A的最佳位置)。题215图解1求各杆轴力设杆和的轴力分别为和,由节点B的平衡条件求得ABCN1F2FCTANSIN、2求重量最轻的值由强度条件得AACTANSIN21、7结构的总体积为CTANSI2CTANOSIN21FLLFLAV由0DV得1COS32由此得使结构体积最小或重量最轻的值为45OPT216图示桁架,承受载荷F作用,已知杆的许用应力为。若节点A和C间的指定距离为L,为使结构重量最轻,试确定的最佳值。题216图解1求各杆轴力由于结构及受载左右对称,故有FSIN2N12求的最佳值由强度条件可得ASIN21结构总体积为FLLFLVSI2COSI21由0DV得COS2由此得的最佳值为45OPT8217图示杆件,承受轴向载荷F作用。已知许用应力120MPA,许用切应力90MPA,许用挤压应力BS240MPA,试从强度方面考虑,建立杆径D、墩头直径D及其高度H间的合理比值。题217图解根据杆件拉伸、挤压与剪切强度,得载荷F的许用值分别为A42TDBBSBDFCSDH理想的情况下,SBTF在上述条件下,由式(A)与(C)以及式(A)与(B),分别得DH4DBS1于是得141BSDH由此得3025D218图示摇臂,承受载荷F1与F2作用。已知载荷F150KN,F2354KN,许用切应力100MPA,许用挤压应力240MPA。试确定轴销B的直径D。BS9题218图解1求轴销处的支反力由平衡方程与,分别得0XFYKN25COS421FBXINY由此得轴销处的总支反力为K43525FB2确定轴销的直径由轴销的剪切强度条件(这里是双面剪)2SDAB得M01510435263FDB由轴销的挤压强度条件BSBSDB得M0147524013563BSFDB结论取轴销直径。M219图示木榫接头,承受轴向载荷F50KN作用,试求接头的剪切与挤压应力。题219图10解剪应力与挤压应力分别为MPA5M10N53243BS220图示铆接接头,铆钉与板件的材料相同,许用应力160MPA,许用切应力120MPA,许用挤压应力BS340MPA,载荷F230KN。试校核接头的强度。题220图解最大拉应力为MPA315M02170N32MAX最大挤压与剪切应力则分别为A2301523BSMP46MN423221图示两根矩形截面木杆,用两块钢板连接在一起,承受轴向载荷F45KN作用。已知木杆的截面宽度B250MM,沿木纹方向的许用拉应力6MPA,许用挤压应力10MPA,许用切应力1MPA。试确定钢板的尺寸与L以及木杆的高度H。BS题221图解由拉伸强度条件112HBF得(A)03M1650423H由挤压强度条件2BSBSF得(B)M901504263BSF由剪切强度条件2BLF得M901054263BFL取代入式(A),得M094890H结论取,。9MLH222图示接头,承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径D20MM,许用应力160MPA,许用切应力120MPA,许用挤压应力340MPA。板件与铆钉的材料相同。BS试计算接头的许用载荷。题222图解1考虑板件的拉伸强度由图222所示之轴力图可知,4/3N21FF、1DBA12432KN104N10650205DBF432NDBFA512K0510650034234DBF图2222考虑铆钉的剪切强度8SF42DA302KN13N1002562DF3考虑铆钉的挤压强度4BSBSDFKN4081N1030215456BSDF结论比较以上四个F值,得K223图A所示钢带AB,用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接,钢带承受轴向载荷F作用。已知载荷F6KN,带宽B40MM,带厚2MM,铆钉直径D8MM,孔的边距A20MM,钢带材料的许用切应力100MPA,许用挤压应力BS300MPA,许用拉应力160MPA。试校核钢带的强度。13题223图解1钢带受力分析分析表明,当各铆钉的材料与直径均相同,且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影,通过该面的形心时,通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。铆钉孔所受挤压力FB等于铆钉剪切面上的剪力,因此,各铆钉孔边所受的挤压力FB相同,钢带的受力如图B所示,挤压力则为N102363B孔表面的最大挤压应力为MPA55M082N1BS8BSDF在挤压力作用下,钢带左段虚线所示纵截面受剪(图B),切应力为A2510202173BA钢带的轴力图如图C所示。由图B与C可以看出,截面11削弱最严重,而截面22的轴力最大,因此,应对此二截面进行拉伸强度校核。截面11与22的正应力分别为MPA38M028204M3N162331NDBFA93214第三章轴向拉压变形32一外径D60MM、内径D20MM的空心圆截面杆,杆长L400MM,两端承受轴向拉力F200KN作用。若弹性模量E80GPA,泊松比030。试计算该杆外径的改变量D及体积改变量V。解1计算D由于EAFDEAF、故有0179M791M0261083445932)DD2计算V变形后该杆的体积为2114222VALDDLAL故有337393M401040M0841EFLV34图示螺栓,拧紧时产生010MM的轴向变形。已知D180MM,D2L68MM,D370MM;L160MM,L229MM,L38MM;E210GPA,500MPA。试求预紧力F,并校核螺栓的强度。15题34图解1求预紧力F各段轴力数值上均等于,因此,42321321DLLEFALLE由此得KN65180865N0768290444232321DLLF2校核螺栓的强度514MPA145M068148232MINAXDFA此值虽然超过,但超过的百分数仅为26,在5以内,故仍符合强度要求。35图示桁架,在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为40104与20104。已知杆1与杆2的横截面面积A1A2200MM2,弹12性模量E1E2200GPA。试确定载荷F及其方位角之值。题35图解1求各杆轴力1616KN0N12041024691N1AEF83422确定及之值由节点的平衡方程和得0XFY0SIN3ISIN3N1N2FCOCO021化简后,成为AFSINN21及BCOS321联立求解方程A与B,得1925081633TAN3N21F由此得90KN210281SIN26SI43N1F36图示变宽度平板,承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为,长度为L,左、右端的宽度分别为B1与B2,弹性模量为E。试计算板的轴向变形。题36图解对于常轴力变截面的拉压平板,其轴向变形的一般公式为AXBEFXALLDD00由图可知,若自左向右取坐标,则该截面的宽度为XLB121代入式A,于是得171220121LNDBEFXLBEFLL37图示杆件,长为L,横截面面积为A,材料密度为,弹性模量为E,试求自重下杆端截面B的位移。题37图解自截面B向上取坐标,处的轴力为YGAYFN该处微段DY的轴向变形为EYDD于是得截面B的位移为GLLCY2038图示为打入土中的混凝土地桩,顶端承受载荷F,并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为F,且FKY2,式中,K为常数。已知地桩的横截面面积为A,弹性模量为E,埋入土中的长度为L。试求地桩的缩短量。题38图18解1轴力分析摩擦力的合力为3D02KLYFFLLY根据地桩的轴向平衡,KL3由此得(A)3LF截面处的轴力为YD3020NKYYFF2地桩缩短量计算截面Y处微段DY的缩短量为EAYDN积分得KLYKFLL123400将式A代入上式,于是得EAL439图示刚性横梁AB,由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度(即产生单位轴向变形所需之力)为K,试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。题39图解载荷作用后,刚性梁倾斜如图见图39。设钢丝绳中的轴力为,其总伸FABNF长为。L图39以刚性梁为研究对象,由平衡方程得0AM192NBAFAF由此得由图39可以看出,2BAY21BLY可见,BLY根据的定义,有KYKLFN于是得KY310图示各桁架,各杆各截面的拉压刚度均为EA,试计算节点A的水平与铅垂位移。题310图(A)解利用截面法,求得各杆的轴力分别为、N21F40N3于是得各杆的变形分别为21、EAFLL2024、EAFLL03L如图3101所示,根据变形L1与L4确定节点B的新位置B,然后,过该点作长为LL2的垂线,并过其下端点作水平直线,与过A点的铅垂线相交于A,此即结构变形后节点A的新位置。于是可以看出,节点A的水平与铅垂位移分别为0AXEAFLLEFLLLAY2122241图310(B)解显然,杆1与杆2的轴力分别为、N1F02于是由图3102可以看出,节点A的水平与铅垂位移分别为EAFLX1LAY311图示桁架ABC,在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为E,横截面面积分别为A1320MM2与A22580MM2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下,为使节点B的铅垂位移最小,应取何值(即确定节点A的最佳位置)。21题311图解1求各杆轴力由图311A得FFCTANSINN2N1、图3112求变形和位移由图311B得22N12N1CTANSINEAFLLEAFLLL、及CTANSIN2TANSI2121LLBY3求的最佳值由,得0D/BY0CSTAN2SIN2COC21AA由此得COS31COS223122将的已知数据代入并化简,得21A与031254COS0937512COS23解此三次方程,舍去增根,得6由此得的最佳值为5OPT312图示桁架,承受载荷F作用。设各杆的长度为L,横截面面积均为A,材料的应力应变关系为NB,其中N与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。题312图解两杆的轴力均为COS2NF轴向变形则均为BLALBLNNS于是得节点C的铅垂位移为1COS2COSNNCYLFL313图示结构,梁BD为刚体,杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F20KN,各杆的横截面面积均为A100MM2,弹性模量E200GPA,梁长L1000MM。试计算该点的水平与铅垂位移。23题313图解1求各杆轴力由,得0XF0N2F由,得0YK102N312求各杆变形2L34693N105M15M1020LEALFL3求中点的位移C由图313易知,图313M50M5011LLYX、314图A所示桁架,承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA,试求节点B与C间的相对位移B/C。24题314图解1内力与变形分析利用截面法,求得各杆的轴力分别为、24N32N1FF、5于是得各杆得变形分别为24321、EAFLLL5L2位移分析如图B所示,过D与G分别作杆2与杆3的平行线,并分别与节点C的铅垂线相交于E与H,然后,在DE与GH延长线取线段L3与L2,并在其端点M与N分别作垂线,得交点C,即为节点C的新位置。可以看出,EAFLLEAFLLLICB2222235/315如图所示桁架,设各杆各截面的拉压刚度均为EA,试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。25题315图A解各杆编号示如图315A,各杆轴力依次为FF2122N3NN1、该桁架的应变能为442231EALLLEALFVII图315依据能量守恒定律,VF2最后得EALEAL412B解各杆编号示如图B列表计算如下IIFNILILF2N120L03L24L5FLF2326于是,5122N3IIEALFLFV依据能量守恒定律,2可得3EAFL316图示桁架,承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA,试用能量法求节点B与C间的相对位移B/C。题316图解依据题意,列表计算如下IIFNILILF2N12/23L2L4/5FFL2由表中结果可得EALFLVII2512N依据W得27EAFLCB2/317图示变宽度平板,承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为,长度为L,左、右端的宽度分别为B1与B2,弹性模量为E,试用能量法计算板的轴向变形。题317图解对于变截面拉压板件,应变能的表达式为AXBEFXAVLLD2D20N0N由图可知,若自左向右取坐标,则该截面的宽度为XXLB121将上式代入式(A),并考虑到,于是得FN1221210LNDBEFXLBEVL设板的轴向变形为L,则根据能量守恒定律可知,VL2或122LNBEFL由此得122LNBL319图示各杆,承受集中载荷F或均布载荷Q作用。各杆各截面的的拉压刚度均为EA,试求支反力与最大轴力。28题319图A解杆的受力如图319A1所示,平衡方程为0,0BXAXFF一个平衡方程,两个未知支反力,故为一度静不定。图319AAC,CD与DB段的轴力分别为2,3N2N1NFFFAXAXAX由于杆的总长不变,故补充方程为0EAAEALXXX得0FAX由此得AXFFB2杆的轴力图如319A2所示,最大轴力为MAXN,B解杆的受力如图319B1所示,平衡方程为0,0BXAXFQF一个平衡方程,两个未知支反力,故为一度静不定。29图319BAC与CB段的轴力分别为,2N1NQXFFAAX由于杆的总长不变,故补充方程为0D0EALAAXX得21QAFAX由此得4AX3QAFB杆的轴力图如319B2所示,最大轴力为4MAXN320图示结构,杆1与杆2的横截面面积相同,弹性模量均为E,梁BC为刚体,载荷F20KN,许用拉应力T160MPA,许用压应力C110MPA,试确定各杆的横截面面积。题320图解容易看出,在载荷F作用下,杆2伸长,杆1缩短,且轴向变形相同,故FN2为拉力,FN1为压力,且大小相同,即30N12F以刚性梁BC为研究对象,铰支点为矩心,由平衡方程02,012AAM由上述二方程,解得FN12根据强度条件,2463CN1M08PA0FA2463T2151取221M8A321图示桁架,承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同,试求各杆轴力。题321图A解此为一度静不定桁架。设以压为正,其余各段轴力以拉力为正。先取杆为研究对象,由,得ABF,NAB0YFAFABC,N,后取节点为研究对象,由和依次得到0XFYBAGD,N,及31CABADF,N,NCOS452在节点处有变形协调关系(节点铅垂向下)ADADABCLLL2CS物理关系为EAGADABBCLEFLEFLEFL,N,N,N、将式E代入式D,化简后得ABC,N,N2D联解方程和,得CA、D(拉),(压),(拉)FBC2,NFAB2,NFAGDN21,B解此为一度静不定问题。考虑小轮的平衡,由,得A0Y0SIN451NF由此得21在作用下,小轮沿刚性墙面向下有一微小位移,在小变形条件下,故有FA02L02NF的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。N1322图示桁架,杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成,许用应力分别为140MPA,60MPA,120MPA,弹性模量分别为3E1160GPA,E2100GPA,E3200GPA。若载荷F160KN,A1A22A3,试确定各杆的横截面面积。32题322图解此为一度静不定结构。节点处的受力图和变形图分别示如图322A和B。C图322由图A可得平衡方程AN2130FFX、BY32由图B得变形协调方程为C321SIN0CTA3LL根据胡克定律,有31N3321N231N12AELFLLAELFLLAELFLL、D将式D代入式C,化简后得补充方程为N32N185C联解方程A,B和C,并代入数据,得压,(拉),(拉)K62N1FK62FK91463F根据强度要求,计算各杆横截面面积如下2242631NM505M04A224263231F332232633NM14041M0194FA根据题意要求,最后取23215A323图A所示支架,由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上,刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同,分别为L100MM,A100MM2,E200GPA。设由千分表测得C点的铅垂位移YMM,试确定载荷F与各杆轴力。题323图解1求解静不定在载荷F作用下,刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动,刚体的位移、杆件的变形与受力如图B所示。显然,本问题具有一度静不定。由平衡方程,得0AMA02N1F由变形图中可以看出,变形协调条件为B21L根据胡克定律,CEALFLLLN2N1,将上述关系式代入式(B),得补充方程为21联立求解平衡方程(A)与上述补充方程,得D5,54N2N1FF2由位移Y确定载荷F与各杆轴力变形后,C点位移至CCCAC(图B),且直线AC与AB具有相同的角位移,因此,34C点的总位移为12LLABC又由于Y由此得YL1将式(C)与(D)的第一式代入上式,于是得N10875M1041075PA10254433269LEAFY并从而得1057,N5324N1FF324图示钢杆,横截面面积A2500MM2,弹性模量E210GPA,轴向载荷F200KN。试在下列两种情况下确定杆端的支反力。A间隙06MM;B间隙03MM。题324图解当杆右端不存在约束时,在载荷F作用下,杆右端截面的轴向位移为M5701250PA120N2693EAAF当间隙06MM时,由于,仅在杆C端存在支反力,其值则为K20FX当间隙03MM时,由于,杆两端将存在支反力,杆的受力如图324所示。F图324杆的平衡方程为350CXBF补充方程为EAAX2由此得KN547M51210PA0032N102693AEAFBX而C端的支反力则为2KN47BXCXF325图示两端固定的等截面杆AB,杆长为L。在非均匀加热的条件下,距A端X处的温度增量为,式中的为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线2/LXTBT膨胀系数分别为E与。试求杆件横截面上的应力。L题325图解1求温度增高引起的杆件伸长此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉,则在处的杆微段就会因温升而有一XXD个微伸长LTXLBLDD2T全杆伸长为302TLXLLBLB2求约束反力设固定端的约束反力为,杆件因作用而引起的缩短量为FEAFLLFN由变形协调条件TLF36可得3BLBLTEAF3求杆件横截面上的应力NBL326图示桁架,杆BC的实际长度比设计尺寸稍短,误差为。如使杆端B与节点G强制地连接在一起,试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。题326图解此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号15。由强制装配容易判断,杆13受拉,杆4和5受压。装配后节点和的受力图分别示如图326A和B。GC图326根据平衡条件,由图A可得AN321F由图B可得BN443N54COS0F、变形协调关系为参看原题图C341CSO60LL依据胡克定律,有DEALFIIN5将式D代入式C,得补充方程37EEALFEALFN34N12联立求解补充方程E、平衡方程A与B,最后得LL23,239N4N3即(拉)LEAFGEDBC9,(压)23N,327图A所示钢螺栓,其外套一长度为L的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分别为AB与AT,弹性模量分别为EB与ET,螺栓的螺距为P。现将螺母旋紧1/5圈,试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。题327图解首先设想套管未套上,而将螺母由距螺帽L处旋转1/5圈,即旋进P/5的距离。然后,再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度,故套合后的螺栓将受拉,而套管则受压。设螺栓所受拉力为FNB,伸长为LB,套管所受压力为FNT,缩短为LT,则由图B与C可知,平衡方程为A0NTB而变形协调方程则为TBL利用胡克定律,得补充方程为BTNBEALFL最后,联立求解平衡方程(A)与补充方程(B),得螺栓与套管所受之力即预紧力为KL1BNTB0式中,38TBEAK328图示组合杆,由直径为30MM的钢杆套以外径为50MM、内径为30MM的铜管组成,二者由两个直径为10MM的铆钉连接在一起。铆接后,温度升高40,试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为ES200GPA与EC100GPA,线膨胀系数分别为1251061与161061。SLCL题328图解设温度升高时钢杆和铜管自由伸长量分别为和,由于二者被铆钉连在一TTSC起,变形要一致,即变形协调条件为CTSTLL或写成TSCSL这里,伸长量和缩短量均设为正值。SLCL引入物理关系,得TLAELFLLSCCNS将静力平衡条件代入上式,得FCNSTAELLSCS注意到每个铆钉有两个剪切面,故其切应力为2CSSCSSFLL由此得593MPA10935M03510012N412635272926299329图示结构,杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA,梁BD为刚体,试在下列39两种情况下,画变形图,建立补充方程。1若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短,误差为;2若杆1的温度升高T,材料的热膨胀系数为L。题329图1解如图3291A所示,当杆2未与刚性杆BD连接时,下端点位于,即。D当杆2与刚性杆BD连接后,下端点铅垂位移至,同时,杆1的下端点则铅垂位移至。DC过作直线CE垂直于杆1的轴线,显然,即代表杆1的弹性变形,同时,C1LCE,即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应,杆1受压,杆2受拉,刚性杆BD2LD的受力如图3291B所示。图3291可以看出,CD2即变形协调条件为12LL而补充方程则为0412EALF或12L2解如图3292A所示,当杆1未与刚性杆BD连接时,由于其温度升高,下端点位于,即。当杆1与刚性杆BD连接后,下端点C铅垂位移至,而杆2CTL240的下端点D则铅垂位移至。过作直线CE垂直于直线,显然,即代表杆CC1LE1的弹性变形,同时,代表杆2的弹性变形。与上述变形相应,杆1受压,杆22L受拉,刚性杆BD的受力如图3292B所示。图3292可以看出,CD2故变形协调条件为12LTLL而补充方程则为EALFLEALF212或0412TL330图示桁架,三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同,并分别为A,E与,试确定该桁架的许用载荷F。为了提高许用载荷之值,现将杆3的设计长度L变为。试问当为何值时许用载荷最大,其值FMAX为何。L题330图解此为一度静不定问题。节点处的受力及变形示如图330A和B。C41图330由图A得平衡方程为AFFN3N12N1COS0、由图B得变形协调条件为B31L依据胡克定律,有CEALFIIN2,将式C代入式B,化简后得补充方程为B134将方程B与方程A联解,得N1N3N2144FFF、3MAXA由此得43,4FAF为了提高值,可将杆3做长,由图B得变形协调条件为COS3013LL式中,均为受载后的伸长,依题意,有了后,应使三根杆同时达到,即13L、LEL34由此得L1此时,各杆的强度均充分发挥出来,故有AAF31COS302MAX42第四章扭转45一受扭薄壁圆管,外径D42MM,内径D40MM,扭力偶矩M500NM,切变模量G75GPA。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力,并计算管表面纵线的倾斜角。解该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为M1252010DDR、于是,该圆管横截面上的扭转切应力为894MPAA08941N2220T依据切应力互等定理,纵截面上的扭转切应力为P该圆管表面纵线的倾斜角为RAD10253RAD10754896G47试证明,在线弹性范围内,且当R0/10时,薄壁圆管的扭转切应力公式的最大误差不超过453。解薄壁圆管的扭转切应力公式为T20设,按上述公式计算的扭转切应力为R/0A3220R按照一般空心圆轴考虑,轴的内、外直径分别为DD00、极惯性矩为42232322040404PRRDI由此得B144230200PMAXTTRIT比较式A与式B,得121223MAXT当时,10R43954801204MAX可见,当时,按薄壁圆管的扭转切应力公式计算的最大误差不超过453。10/R48图A所示受扭圆截面轴,材料的曲线如图B所示,并可用表示,MC/1式中的C与M为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式,并画横截面上的切应力分布图。题48图解所研究的轴是圆截面轴,平面假设仍然成立。据此,从几何方面可以得到AXD根据题设,轴横截面上距圆心为处的切应力为BMC/1由静力学可知,CAATXDD/1/1取径向宽度为的环形微面积作为,即DD2将式D代入式C,得2/0/11DD2MMTXC由此得EM/13/12将式E代入式B,并注意到TM,最后得扭转切应力公式为MDM1/3/2横截面上的切应力的径向分布图示如图48。44图4849在图A所示受扭圆截面轴内,用横截面ABC和DEF与径向纵截面ADFC切出单元体ABCDEF(图B)。试绘各截面上的应力分布图,并说明该单元体是如何平衡的。题49图解单元体ABCDEF各截面上的应力分布图如图49A所示。图49根据图A,不难算出截面上分布内力的合力为DAO12MAX421DTLFX同理,得截面上分布内力的合力为1CF242DLX方向示如图C。设作用线到轴线的距离为,容易求出21XF、1ZE321DZ根据图B,可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为45DTITFDZ382COS02/P2同理,左端面上的合力为DZ381方向亦示如图C。设作用线到水平直径的距离为(见图B),由2ZFDFYE02/032P4DCOS2TITEYZ得TDEY295384同理,作用线到水平直径的距离也同此值。1ZFAC根据图B,还可算出半个右端面上竖向分布内力的合力为EDO12/0P34DSIN3TITFDY设作用线到竖向半径的距离为(见图B),由3YFE12ZE/0/03P8DCOS23ZYTITEF得TDEZ2953482同理,可算出另半个右端面以及左端面上的竖向分布内力的合力为FEO1OCBA、DFYY3214方向均示如图C。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为。2ZE由图C可以看得很清楚,该单元体在四对力的作用下处于平衡状态,这四对力构成四个力偶,显然,这是一个空间力偶系的平衡问题。022012124TEFEFMYZYZYX、38112DLTLZXZ、46034034DTLLFMYZ、既然是力偶系,力的平衡方程(共三个)自然满足,这是不言而喻的。上述讨论中,所有的在数值上均等于。T411如图所示,圆轴AB与套管CD用刚性突缘E焊接成一体,并在截面A承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径D56MM,许用切应力80MPA,套管的外径D80MM,1壁厚6MM,许用切应力40MPA。试求扭力偶矩M的许用值。2题411图解由题图知,圆轴与套管的扭矩均等于M。1由圆轴求的许用值ABM1613PMAX1DW由此得的许用值为M276KN0276N160850163633D2由套管求的许用值CDM1M200RR、此管不是薄壁圆管。850680、12432P2MAXDMW由此得的许用值为M192KN0921MN1610085636434D可见,扭力偶矩M的许用值为247413图示阶梯形轴,由AB与BC两段等截面圆轴组成,并承受集度为M的均匀分布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻,试确定AB与BC段的长度L1与L2以及直径D1与D2。已知轴总长为L,许用切应力为。题413图解1轴的强度条件在截面处的扭矩最大,其值为AMLTAX1由该截面的扭转强度条件631PAXM1DLW得A361L段上的最大扭矩在截面处,其值为BCB2MAXLT由该截面的扭转强度条件得31622LD2最轻重量设计轴的总体积为16164423/23/221LMLLLDLDV根据极值条件02LV得3516M/2/3LL由此得BLLL4053/2从而得48CLLL53013/221D13/23/2276M6DMLLD该轴取式AD所给尺寸,可使轴的体积最小,重量自然也最轻。414一圆柱形密圈螺旋弹簧,承受轴向压缩载荷F1KN作用。设弹簧的平均直径D40MM,弹簧丝的直径D7MM,许用切应力480MPA,试校核弹簧的强度。解由于10754DM故需考虑曲率的影响,此时,372MPA10723M371540N28483MAXDF、结论,该弹簧满足强度要求。AX420图示圆锥形薄壁轴AB,两端承受扭力偶矩M作用。设壁厚为,横截面A与B的平均直径分别为DA与DB,轴长为L,切变模量为G。试证明截面A和B间的扭转角为2/BAAD、题420图证明自左端向右取坐标,轴在处的平均半径为AX21210CXDXLDRAABA式中,LDCAB截面的极惯性矩为X3330P4212CXDCXDRIAA49依据3P4DCXDGMIXTA得截面和间的扭转角为AB220203/D12|CC4BAABABLALABAGLDGLXM421图示两端固定的圆截面轴,承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。题421图A解此为静不定轴,但有对称条件可以利用。设A与B端的支反力偶矩分别为,它们的转向与扭力偶矩相反。由于左右BAM、M对称,故知BA由可得0XMMABA2即BAB解此为静不定轴,可解除右端约束,代之以支反力偶矩,示如图421B。B图421B50变形协调条件为A0B利用叠加法,得BPBPBGIAMIA32将式B代入式A,可得B31进而求得(转向与相反)MABC解此为静不定轴,与A类似,利用左右对称条件,容易得到2MABA的转向与相反。BAM、MD解此为静不定轴,可解除右端约束,代之以支反力偶矩,从变形趋势不难判断,BM的转向与相反。B变形协调条件为C0B利用叠加法,得到(从左端向右取)XDP2P0P,DGIAMMIAXGIAMBBMBMB将式D代入式C,可得4B进而求得3MAMBA的转向亦与相反。AMM422图示轴,承受扭力偶矩M1400NM与M2600NM作用。已知许用切应力40MPA,单位长度的许用扭转角025/M,切变模量G80GPA。试确定轴径。51题422图解1内力分析此为静不定轴,设端支反力偶矩为,该轴的相当系统示如图422A。BBM图422利用叠加法,得502160541PBBMGI将其代入变形协调条件,得0MN20M502416BM该轴的扭矩图示如图422B。2由扭转强度条件求D由扭矩图易见,380MAXT将其代入扭转强度条件,163AXPAXADW由此得M436014M8613363MAXTD3由扭转刚度条件求D将最大扭矩值代入52324MAXPAXDGTI得M750251083324494MAXGTD结论最后确定该轴的直径。75D423图示两端固定阶梯形圆轴AB,承受扭力偶矩M作用。已知许用切应力为,为使轴的重量最轻,试确定轴径D1与D2。题423图解1求解静不定设A与B端的支反力偶矩分别为MA与MB,则轴的平衡方程为A0,0XAC与CB段的扭矩分别为,AT1B2代入式(A),得B021M设AC与CB段的扭转角分别为AC与CB,则变形协调条件为CCBA利用扭转角与扭矩间的物理关系,分别有,P1GIATACP2IATCB代入式(C),得补充方程为D02241TD最后,联立求解平衡方程(B)与补充方程(D),得,E4121DMT412D2最轻重量设计从强度方面考虑,要使轴的重量最轻,应使AC与CB段的最大扭转切应力的数值相等,53且当扭力偶矩M作用时,最大扭转切应力均等于许用切应力,即要求P2P1WT、由此得321P21DT将式(E)代入上式,得12并从而得,91MT982根据圆轴扭转强度条件,于是得轴的直径为331621D424图示二平行圆轴,通过刚性摇臂承受载荷F作用。已知载荷F750N,轴1和轴2的直径分别为D112MM和D215MM,轴长均为L500MM,摇臂长度A300MM,切变模量G80GPA,试求轴端的扭转角。题424图解这是一度静不定问题。变形协调条件为或A2121这里,和分别为刚性摇臂1和2在接触点处的竖向位移。设二摇臂间的接触力为,则轴1和2承受的扭矩分别为FBAFTAT2、物理关系为54C21PPGILTIL、将式C代入式A,并注意到式B,得241DF由此得|75RAD104M015208375661449421P2GLILT426如图所示,圆轴AB与套管CD借刚性突缘E焊接成一体,并在突缘E承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径D38MM,许用切应力80MPA,切变模量G180GPA;套1管的外径D76MM,壁厚6MM,许用切应力40MPA,切变模量G240GPA。试求2扭力偶矩M的许用值。题426图解1解静不定此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件分别为AMT21B物理关系为C21PPIGLTIL、将式C代入式B,并注意到32384207614P4P12DIDI、得55D22442421P11670801763TTDDTLIG将方程A与D联解,得M85012、2由圆轴的强度条件定的许用值M4613P1MAXDWT由此得扭力偶据的许用值为MKN95095N14068314063631D3由套管的强度条件定的许用值M2432PMAX2DMWT由此得扭力偶据的许用值为MN85601107856016432432DK2N3结论扭力偶矩的许用值为M02M427图示组合轴,由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体,并承受扭力偶矩M100NM作用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为S80MPA与C20MPA,切变模量分别为GS80GPA与GC40GPA,试校核组合轴强度。题427图解1求解静不定56如图B所示,在钢轴与刚性平板交接处(即横截面B),假想地将组合轴切开,并设钢轴与铜管的扭矩分别为TS与TC,则由平衡方程可知,0XMACST两个未知扭力矩,一个平衡方程,故为一度静不定问题。在横截面B处,钢轴与铜管的角位移相同,即BCS设轴段AB的长度为L,则PSSIGLTPCPCPCC22ILTMLILIM将上述关系式代入式(B),并注意到GS/GC2,得补充方程为CPCPSIIT联立求解平衡方程(A)与补充方程(C),于是得DPSCS2IMT2强度校核484PSM105730I4744PC12M将相关数据代入式(D),得N6CST对于钢轴,MPA387A10387M0216S6PSMAXS,WT对于铜管,A017A7010435104N66C3PCAX,MAXC,57428将截面尺寸分别为100MM90MM与90MM80MM的两钢管相套合,并在内管两端施加扭力偶矩M02KNM后,将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力偶矩M0后,内、外管横截面上的最大扭转切应力。解1求解静不定此为静不定问题。在内管两端施加后,产生的扭转角为0APIGIL去掉后,有静力学关系0MBEIT几何关系为C0EI物理关系为DPEPIIGILTIL、将式D和式A代入式C,得PI0EPIILMLIT或写成PI0EI由此得E3951I0I0PIETMTI联立求解方程E与B,得MKN6820EI2计算最大扭转切应力内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为MPA72101729/8106543PIMAX,IWT58MPA2517A07251M901N6543PEMAX,EWT429图示二轴,用突缘与螺栓相连接,各螺栓的材料、直径相同,并均匀地排列在直径为D100MM的圆周上,突缘的厚度为10MM,轴所承受的扭力偶矩为M50KNM,螺栓的许用切应力100MPA,许用挤压应力BS300MPA。试确定螺栓的直径D。题429图解1求每个螺栓所受的剪力由MDFX260S、得3S2由螺栓的剪切强度条件求D42SDDAF由此得M5714045710013M542623DMD3由螺栓的挤压强度条件求DD3BSBSDMF由此得M5610560103M53BSDMD结论最后确定螺栓的直径。74D430图示二轴,用突缘与螺栓相连接,其中六个螺栓均匀排列在直径为D1的圆周上,另外四个螺栓则均匀排列在直径为D2的圆周上。设扭力偶矩为M,各螺栓的材料相同、59直径均为D,试计算螺栓剪切面上的切应力。题430图解突缘刚度远大于螺栓刚度,因而可将突缘视为刚体。于是可以认为螺栓I剪切面上的平均切应变I与该截面的形心至旋转中心O的距离RI成正比,即IK式中,K为比例常数。利用剪切胡克定律,得螺栓I剪切面上的切应力为IIGKR而剪力则为IISARF,最后,根据

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