大一《高等数学》期末考试题(精编汇总题)

一、单项选择题本大题有4小题,每小题4分,共16分10SINCOXXF（A）02（B）01F（C）F（D）FX不可导2131（A）X与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）与是等价无穷小；（C）是比高阶的无穷小；（D）X是比高阶的无穷小3若02XFTFTD，其中FX在区间上1,二阶可导且F，则（）（A）函数必在处取得极大值；（B）函数X必在处取得极小值；（C）函数在0处没有极值，但点0,F为曲线YFX的拐点；（D）函数F在处没有极值，点,也不是曲线的拐点。4,210XFDTFXFXF（A）2（B）2X（C）（D）二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5XXSIN2031LIM6,COFXFDCOS7LISCOSCS2221NNN82121ARIDXX三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9设函数Y由方程SIN1XYE确定，求YX以及0Y10D17X111320DXFXEFX12设函数XF连续，10GXFTD，且0LIMXFA，为常数求G并讨论在处的连续性13求微分方程2LNYX满足19Y的解四、解答题（本大题10分）14已知上半平面内一曲线0Y，过点,1，且曲线上任一点MXY,0处切线斜率数值上等于此曲线与X轴、Y轴、直线X0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程五、解答题（本大题10分）15过坐标原点作曲线XYLN的切线，该切线与曲线LN及X轴围成平面图形D1求D的面积A；2求D绕直线XE旋转一周所得旋转体的体积V六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16设函数XF在0,1上连续且单调递减，证明对任意的,01Q，00QDQFDX17设函数XF在,上连续，且00XDF，COS0D证明在,内至少存在两个不同的点21,，使021FF（提示设XDFF0）一、单项选择题本大题有4小题,每小题4分,共16分1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）56E6CX2OS1783三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9解方程两边求导1COS0XYYXE0,，110解76UXDU112DLN|2L|7C71|1|XXC11解012330FDEXD010X23COSSINE321412解由0F，知0G。100XTUFDGXFD0X02X020ALIMLI2XXXFUDFG0200LILIXXFU，GX在0处连续。13解NDY2LXDEXC21L39,0YC，1LN39Y四、解答题（本大题10分）14解由已知且02DX，将此方程关于求导得Y特征方程R解出特征根2,1R其通解为XXECY21代入初始条件Y01，得31,21C故所求曲线方程为XXE32五、解答题（本大题10分）15解（1）根据题意，先设切点为LN,0，切线方程LN00XXY由于切线过原点，解出E，从而切线方程为XEY1则平面图形面积1012DYAY（2）三角形绕直线XE一周所得圆锥体体积记为V1，则23E曲线YLN与X轴及直线XE所围成的图形绕直线XE一周所得旋转体体积为V21022DYD绕直线XE旋转一周所得旋转体的体积3125621EV六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16证明100QFDXFDX100QQQFXFDXF101QQFF1212,1120QFFFQ故有100QFXDFXD证毕。17证构造辅助函数XTFFX0,0。其满足在,0上连续，在,0上可导。，且F由题设，有000SINCOCOSS|DXFDXF，有0SINXDF，由积分中值定理，存在,，使I即综上可知,0,0F在区间,0上分别应用罗尔定理，知存在,1和,2，使1及2F，即021F高等数学I解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）本大题有4小题,每小题4分,共16分1当0X时，,X都是无穷小，则当0X时（D）不一定是无穷小AB22C1LNXDX2极限AAXSIM的值是（C）（A）1（B）E（C）AECOT（D）AETN301SIN2XAXFA在处连续，则A（D）（A）1（B）0（C）E（D）14设XF在点处可导，那么HFFH2LIM0（A）（A）3A（B）2ACF（D）31F二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5极限0LNLIM0AXX的值是A6由YE2COS确定函数YX，则导函数YXEYYLN2SI7直线过点M,13且与两平面ZXYZ20356,都平行，则直线L的方程为1321ZYX8求函数24LNY的单调递增区间为（，0）和（1，）三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）9计算极限10LIMXXE解11LN2000LN1LIIIMXXXXXEE10已知|3A，|26B，3AB，求|AB。解13COSSIN,15COS2，72BA11设XF在A，B上连续，且,XDTFXFA，试求出F。解XAXADTFTFXAXATFFFDTFF12求3COSINX解21SINDX221SISINCOTXDXC四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）13求231XD令T213221DTT原式DT2123ARCSINT123614求函数21XY的极值与拐点解函数的定义域（，）23214XY令0Y得X11,X21X11是极大值点，0X21是极小值点极大值，极小值Y令得X30,X43,X53X,00,3,Y故拐点（3，2），（0，0）（3，2）15求由曲线4XY与2X所围成的平面图形的面积解,X32341X,6060223SXDXD320344360202161652716设抛物线24XY上有两点,3A，,5B，在弧AB上，求一点,PX使AB的面积最大解XYXXABP连线方程点到的距离的面积1042523513SX12422当XSX10当时取得极大值也是最大值X01此时所求点为，Y33另解由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线的切线与平行时高可达到最大值问题转为求，使解得所求点为ABCCXFX,00200042531213六、证明题（本大题4分）17设，试证XEX2证明设0,1F12EXF，XEF2，0,F，因此在（0，）内递减。在（0，）内，,FX在（0，）内递减，在（0，）内，FF即12XX亦即当X0时，EX12。高等数学IA一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）本大题有4小题,每小题4分,共16分18函数0,SIN12TA,LNXXXF的全体连续点的集合是（）A,B,11,C,00,D,00,11,19设01LIM2BAXX，则常数A,B的值所组成的数组（A,B）为（）（A）（1，0）（B）（0，1）（C）（1，1）（D）（1，1）20设在0，1上XF二阶可导且0XF，则（）（A）0FFB101FFFC（D）21,1COSIN224DXM243COSSINDXXN243COSSINDXXP则（）（A）M0,故驻点为极小值点。5设FXXLNX在X0处可导，且FX02,则FX0。解,1L0EFEFLIM620XFX则FX在X0取得（填极大值或极小值）。解0,000,1LI22XFXXFXFF二、0,01XXF是否连续是否可导并求FX的导函数。解当X0及X0F1F11012，并求NLIM。证2111502511,0012,101,0000211121XXNXXXXXFXNXFFNFFNNNNNN解出取极限两边由方程有有极限，设极限为故由极限存在准则知其因此是单调下降数列，而知由上有唯一实根。单调增加，故在知函数又使点定理知至少有一点由闭区间上连续函数零知函数在端点异号。由上连续。其在设七七（10分）确定常数A、B,使极限40COS21LIMXBAX存在，并求出其值。解要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或