线性代数试题及答案

1（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分）1排列7623451的逆序数是15。_2若，则3121A160321A3已知阶矩阵、和满足，其中为NABCEABE阶单位矩阵，则。N14若为矩阵，则非齐次线性方程组NM有唯一解的充分要条件是AXBRARA,BN_5设为的矩阵，已知它的秩为4，则以86为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间A维数为_2_。6设A为三阶可逆阵，则12301AA7若A为矩阵，则齐次线性方程组NM有非零解的充分必要条件是R（A）0XN28已知五阶行列式，则12345015432D04543241AA9向量的模（范数）。,12T_10若与正交，则1KT1K12K10二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1向量组线性相关且秩为S，则DR,21SRRSS2若A为三阶方阵，且，则A043,02,EEA883343设向量组A能由向量组B线性表示，则DRBARB3ARBARB4设阶矩阵的行列式等于，则等NDK于。C_AKBAKNCAKN1D5设阶矩阵，和，则下列说法正确的NAC是B。_则,则或ACBB0A0TTBD2B三、计算题（本题总计60分。13每小题8分,47每小题9分）1计算阶行列式。N221D2321N222设A为三阶矩阵，为A的伴随矩阵，且，求1A313求矩阵的逆4120A4讨论为何值时，非齐次线性方程组21231X有唯一解；有无穷多解；无解。5求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。521341X6已知向量组、T201T、，求此T31394415向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示7求矩阵的特征值和特征向量20134A四、证明题（本题总计10分）设为的一个解，为对应BAX012,NR齐次线性方程组的基础解系，证明线性无关。12,NR5（答案一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分）115；2、3；3、；4、；5、2；6、CANBAR,；7、；8、0；9、3；10、1。二、选1302NR择题（本题总计10分，每小题2分1、D；2、A；3、D；4、C；5、B三、计算题（本题总计60分，13每小题8分，47他每小题9分）1、解D,432NIRI021032N23分6分12R0021032N28分2321N（此题的方法不唯一，可以酌情给分。）6解（1）1分12412312AB5260402分（2A162878分3设A为三阶矩阵，为A的伴随矩阵，且，2A求因A，故3分231E2141N5分1A8分2716434232314、解3分101,EA132R1006分23R2032R21故8分（利用11A公式求得结果也正确。）A175、解；21,BA13R322102R3分2012（1）唯一解3,BAR21且5分（2）无穷多解7,分（3）无解9,BAR2分（利用其他方法求得结果也正确。）6、解3分520113,BAR003152基础解系为，24321X0121026分令，得一特解7分3524321X043X035故原方程组的通解为，其中9分（此题结102035121KKRK21,果表示不唯一，只要正确可以给分。）87、解特征方程从而2104312AE4分123,1当时，由得基础解系，即对应于120AEX10,T的全部特征向量为7分21K0当时，由得基础解系，即对应32,1T于的全部特征向量为212K四、证明题（本题总计10分）证由为对应齐次线性方程组的基础12,NR0AX解系，则线性无关。3分12,NR反证法设线性相关，则可由12,NR线性表示，即6分12,NRR1因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故必是的解。这与已知条件为0AXBAX的一个解相矛盾。9分有上可知，0B线性无关。10分12,NR试卷二一、填空题（本题总计20分，每小题92分）1排列6573412的逆序数是2函数中的系数是FX21X3X3设三阶方阵A的行列式,则A/33A14N元齐次线性方程组AX0有非零解的充要条件是R（A）N5设向量，正交，则21,2T26三阶方阵A的特征值为1，2，则A27设，则1203_8设为的矩阵，已知它的秩为4，则A86以为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_2_9设A为N阶方阵，且2则A13A21N）（1010已知相似于，则2031AX12BYX，Y二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1设N阶矩阵A的行列式等于，则等DA5于AAB5C55NDDD1N2阶方阵与对角矩阵相似的充分必要条A件是A矩阵有个线性无关的特征向N量B矩阵有个特征值AC矩阵的行列式0AD矩阵的特征方程没有重根3A为矩阵，则非齐次线性方程组MN有唯一解的充要条件是CXBAB,RAB11RAMCD,RABN,BN4设向量组A能由向量组B线性表示，则DABRBARBCDA5向量组线性相关且秩为R，则12,SBABCRSRSRSDS三、计算题（本题总计60分，每小题10分）1计算N阶行列式221D2321N222已知矩阵方程，求矩阵,其中AXX122013A3设阶方阵满足,证明可逆，NA042EA3AE并求13E4求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系1234234895XX5求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示12341234,506已知二次型，3231212321321845,XXXXF用正交变换化为标准形，并求出,F其正交变换矩阵Q四、证明题（本题总计10分，每小题10分）13设,且向量组1BA212A12RRBA线性无关，证明向量组线性RA,21RB,21无关答案二一、填空题（本题总计20分，每小题2分）11722345621ARN7或829、10、16A1032N）（2,0YX二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1A2A3C4D5B三、计算题（本题总计60分，每小题10分）1、解D,432NIRI021032N24分7分12R0021032N210分（此2321N14题的方法不唯一，可以酌情给分。）2求解，其中AX2013A解由得AX31XAE分6分120,31AE8分102613R所以26031X10分3解利用由可得042EA03EA5分即7分故可逆且EA3310分314求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系151234123895XX解2分123289504AB123040R4分则有12100R6分14230X取为自由未知量，令，则通解为4X4XC1234102XC8分CR对应齐次线性方程组的基础解系为2110分5求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示解12341234,5016123412312312350001022分为一个极大无关组4分设12,，312X412Y解得，2X12Y8分则有，314126解33212322185,XXXXF的矩阵2分的特42AA征多项式4分10的两个正交的特征向量,12110P142P的特征向量03213P正交矩阵8分正32140Q交变换标准形YX3210YYF四、证明题（本题总计10分）若设且向量组线性无关，,212121,RRAABABRA,21证明向量组线性无关证明设存在R,17，使得也即12,RR12RBB0化简得12120RRAA12122RRRA又因为线性无关，则12,R120RR8分解得120R所以，线性无关12RB,（试卷三）一、填空题（本题总计20分，每小题2分）1、按自然数从小到大为标准次序，则排列的逆序数为22N2、设4阶行列式，则04ABCDD12314A3、已知，则10327A1A4、已知N阶矩阵A、B满足，则BA1EB5、若A为矩阵，则齐次线性方程组M只有零解的充分必要条件是X0186、若A为矩阵，且，则齐次NM3MIN,RA线性方程组的基础解系中包含解向AX0量的个数为7、若向量与向量正交，则123T1T8、若三阶方阵A的特征多项式为，则21AE9、设三阶方阵、，已知，12312B6A，则1BAB10、设向量组线性无关，则当常数123,满足时，向量组L线性无关213213,二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1、以下等式正确的是DCBAKDCBAKAB2、4阶行列式中的项和的DETIJA1342A24312符号分别为（）19正、正正、负负、负负、正3、设A是矩阵，C是N阶可逆阵，MN满足BAC若A和B的秩分别为和AR，则有BRABRABR以上都不正确4、设A是矩阵，且，则非齐MNRAMN次线性方程组AXB有无穷多解有唯一解无解无法判断解的情况5、已知向量组线性无关，则以下1234,线性无关的向量组是（）12341,12341,三、计算题（本题总计60分，每小题1020分）1求矩阵的特征值和特征向量124A2计算阶行列式N011100NNADA3已知矩阵，1A，且满足，求矩10B4320CAXBC阵X4求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解12345123451605XX5已知矩阵，求矩阵A的126397A列向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示216已知A为三阶矩阵，且，求2A132四、证明题（本题总计10分）设向量组中前个向量线性相12,N1关，后个向量线性无关，试证1N（1）可由向量组线性表示；1231,N（2）不能由向量组线性表示N2,（试卷四）一、填空题（本题总计16分，每小题2分）1、按自然数从小到大为标准次序，则排列的逆序数为32142NN2、4阶行列式4816452D3、已知，为A的伴随矩阵，则1029A14、已知N阶方阵A和B满足，则AB1EB5、已知A为矩阵，且，则以MNMIN,RR22A为系数矩阵的齐次线性方程组的AX0基础解系中包含解向量的个数为6、已知四维列向量、T31521、，且T105243，则XX2137、把向量单位化得2T8、若三阶方阵A的特征多项式为，则21FE二、选择题（本题总计14分，每小题2分）1、已知，则以下等式正确的是,ABCDKRKDCBAKDCBACBAAB2、设A和B为N阶方阵，下列说法正确的是（）若，则若，C0AB则或0AB若，则或若，0ABE则E3、设A是矩阵，且，则非齐MNRMN23次线性方程组AXB有唯一解有无穷多解无解无法判断解的情况4、向量组的秩就是向量组的（）极大无关组中的向量线性无关组中的向量极大无关组中的向量的个数线性无关组中的向量的个数5、已知N阶方阵A、B和C满足ABCE，其中E为N阶单位矩阵，则1B1ACAC16、设A为三阶方阵，为A的伴随矩阵，且，则（）41A341276127、已知N元齐次线性方程组的系数AX024矩阵的秩等于N3，且是的三123,AX0个线性无关的解向量，则的基础解系可为（）1231,312123,31三、计算题（本题总计60分，13每小题8分，47每小题9分）1计算阶