第二章 力的故事物体缘何会运动？

第二章 力的故事物体缘何会运动？亚里士多德给出的回答是，因为它受力的驱使。由此派生出一系列的推论，比如：大球与小球同时从高处落下，大球必定先着地，因为它质量重，拖着它往下坠的力自然就比较多；因此，它将更迅速地奔向地面。再如：如果忽然撤除力的作用，物体将立刻停止运动。这个答案在世间流行了千年之久，因为它实在太显然。现实生活中，除非我们用力去推一只轮子，否则它绝不会向前滚动；除非我们使劲儿抛掷一个球，它绝不会自动飞上天给物体施加一个力，它才能动起来；万事万物，莫不如此。不需要思考，人人都能得出同样的答案；所以，人人都对此深信不疑。然而， “人人”都认同的，就一定是真相吗？斜塔与椭圆第一个对亚里士多德表示怀疑的人来自意大利海滨小城比萨，小城与达芬奇的精神故乡佛罗伦萨仅“半腿”之隔，文艺复兴的雨滴悄无声息地润泽着这片刚刚从战乱中浴火重生的土地。1564 年，没落贵族温琴佐伽利雷（Vincenzo Galilei）家迎来了他们的第一个孩子伽利略伽利雷（Galileo Galilei） ，温琴佐是一位技艺精湛的鲁特琴师，偶尔也自行作曲，由此渐渐对音符背后那奇妙的组合规律产生了兴趣，开始研究乐理。他反复弹拨不同长度、不同材质的琴弦，发现音阶之间的数学关系并不像人们千年来一直信奉的毕达哥拉斯学派所描述的那样单调而稳固。毕达哥拉斯学派认定：如果一根弦产生一个确定的音符，那么其半长度的弦就会产生一个高八度的音；以此类推，长度为该弦 1/3、1/4 、1/5的弦皆能制造出和谐之音；但如若新弦的长度与原来的弦之比不是简分数，两弦齐鸣，则只会出现噪音。但温琴佐意识到，音乐发展到十六世纪早已衍生出无数流派，简陋的和弦规律不足以为复杂多变的乐谱提供完整的理论支持。遗憾的是，即使在复兴之都佛罗伦萨，温琴佐太过新奇的观点也没能得到头脑尚禁锢于教条之中的理论家们的重视。过人的音乐才华与数学天赋都没能给温琴佐带来哪怕半分钱的收入，不得已，这为站在现代和声学与古老复调理论斗争最前线的勇士只得拖家带口依靠在城中开杂货铺勉强度日。受父亲影响最大的当然是孩子。一天，在当时最权威的大乐理家扎力诺（Gioseffo Zarlino）公然无视温琴佐辛苦搜集的证据，兀自念叨着毕达哥拉斯的教义扬长而去之后，温琴佐失望之余将目光转向膝下一边拨弄着鲁特琴一边好奇地聆听大人们争论的伽利略，愤愤地教训道：“记住，千万别去触碰那些该死的乐理，要相信你的耳朵，音色的美藏在琴弦里，而不是那些哑巴理论中。 ”看着父亲聚精会神地拨弄琴弦、记录数据、提笔计算，伽利略很难不被那份痴迷所感染，一行行音符仿佛有着自己的魔力，不论一旁的“专家”如何咆哮，全然遗世独立，构造出一片片参差多态的别样天地。但随着伽利略逐渐长大，同每个做父亲的一样，温琴佐开始担忧起他的前程：“离我倒腾的那些个没用的数学远一些，孩子，以你的天分，完全有能力进入一个体面的行当，去当个医生吧，不仅受人尊敬，而且衣食无忧。 ”伽利略听从了父亲的劝告，十七岁时考入比萨大学研读医科。可是，医学院教授的那些课程令他昏昏欲睡，反而课后独自摆弄小实验就像父亲曾带领他游玩时那样才令他精神百倍，为了以自己的方式来解读他所观察到的各类现象，最终伽利略还是不顾父亲的反对，一头扎进了数字与符号的海洋，寻找那尘封于海底的真理之剑。后来的故事，地球上每一个人都知道了。其中，最为脍炙人口的传说是，伽利略从比萨斜塔扔下两颗铁球，一举攻破了亚里士多德流传千年的臆断，从此威震江湖。直至今日，科学史家仍在就伽利略当年到底有没有进行过这一传奇实验而争论不休，相信关于此话题的文章在未来也仍会源源不断地刊出，但或许，伽利略是否站上过斜塔其实并不重要，重要的是，他确实通过把人类缜密的逻辑思维与科学的实验方法相结合，彻底改变了历史的进程。现在，就让我们回到世纪末的帕多瓦，一起重温这趟美妙的发现之旅吧。首先，请你开动脑筋，跟随伽利略来玩一玩他最负盛名的思想实验：掷铁球。根据亚里士多德的想法，若将一大一小两个铁球从比萨斜塔上同时抛下，大的那个由于受力更多必定先落地。目前为止，该设想还挑不出任何矛盾对不对？但聪明的伽利略将这一情境往后延伸了一步：如果用一根极轻的细绳把俩铁球连接起来，依然一手抓一个，同时松开手，结果会怎么样呢？按照亚里士多德的逻辑，大球自然一马当先奋勇下坠，但是和它栓在一块儿的小球由于质量轻、受力少，却慢慢悠悠拖在后面。因为它们在同一条绳上，大球被小球减速，小球被大球加速，综合起来，落到地面所消耗的时间 T 应该介于大球与小球单独落到地面的时间 t 大与 t 小之间。但且慢下结论，同样的过程还可以从另一个角度来思考：既然两颗球被一绳相连，我们是不是可以将其看做一个整体，如此一来，该整体的总质量就是大小俩球质量之和，它所受的力也应该是俩球分别承受的“下坠力”之和。所以，当把这一连体球从塔顶抛下，其下落速率就应该比单独的大球、小球都快，落到地面所用的时间 T 也应该最短才对。同一个实验，从不同的角度竟然推出了不同的结果！显然，其中必有一错。然而，我们回放整个思维过程，逻辑上却找不出任何漏洞。因此，只剩下一种可能：这一切背后的原理错了亚里士多德错了！通过小小的思想实验，我们跨出了至关重要的第一步。然而，要推翻存活了上千年的假说，单靠思辨是远远不够的。如今，若想让一颗受过良好教育的脑袋抛开多年来灌输给他的知识，通过自己的思考重新选择一个观点尚且不易；更何况伽利略面对的是站在中世纪尾巴上的人，他们多数还未从心灵的枷锁中挣脱出来，更不知独立思考为何物。作为先行者，伽利略的过人之处在于他能够以对客观事物细致入微的观察作为后盾，将心与眼相结合，从而创造出一种前所未有的研究范式科学实验。如图，固定绳子的一端，在另一端坠上重物将绳绷紧，然后把重物拉到一定高处放手，系统便会自由地来回摆动，这便是单摆。通过与自己的脉搏相对比，伽利略发现：若把摆幅控制在很小的范围内，那么其摆动周期（从一个最高点到达另一个，再折返回来）将固定不变。从此，人类有了新的计时方式，它比仰观天象更加精确（除开当时尚不为人所知的由行星相对运动造成的日月、昼夜的长短变化这些因素不计，依靠太阳来定时也只能粗略估算一下时辰，如何测量分与秒？） ，为现代实验提供了最基本的条件。接下来，伽利略在他那木匠作坊一般的工作室里亲手搭建起倾度、长度各不相同的几面斜坡，把坡面打磨得尽可能光滑（因此，过程中摩擦力可忽略不计，物体的下落状况完全由重力所掌控，其原理与斜塔抛球完全一致） ，让体积、质量不同的滑块依次从坡上滑下，并详细记录相对高度、所需时间等各项数据。比对多次实验结果，伽利略发现：“连体球”思想实验中亚里士多德的两种推论都站不住脚。事实上，不论坡体陡峭还是平缓，也不论落体的质量、体型如何变化，在相同时间段其下落的“相对高度”永远保持一致。也就是说，在无摩擦、无初始推力的情况下，物体的下落速率仅与下落距离相关。亚里士多德错了，那么正确的解释应该是什么呢？为了寻找答案，伽利略将目光一转，在以往常被忽略的下滑阻力上做起了文章。他改换不同材料来制作斜坡，进而发现：随着坡面粗糙度不断增加，同一滑块的下降速率将越来越慢。粗糙度加剧，改变的是什么因素呢？正是自己曾经刻意消除的摩擦力，所有条件不变的情况下，随着摩擦力的增大，物体的运动速率越来越慢。在多重实验的全方位围攻下，真相终于浮出了水面：力不是物体运动的原因，而是改变物体原先运动状态的原因。 从而我们可以反推：如果一个物体在运动过程中不与障碍物相撞，不被摩擦力所拖累也就是说，如果物体不受任何外力作用，那么它将保持原有的状态原先静止的永远静止，原先运动的将沿着笔直的轨迹永远匀速前行这就是惯性定律。几乎就在伽利略埋头于单摆与滑块的同一时期，另一双善于发现的眼睛把目光投向了星空，他就来自德国杜宾根大学的约翰内斯?开普勒（Johannes Kepler） 。而说到开普勒，就不得不先谈一谈他那颇具传奇色彩的导师丹麦天文学家“金鼻子”第谷?布拉赫（Tycho Brahe） 。当第谷还是一名学生时，在教授家的晚宴上与另一名叫做帕斯杰格（Pasbjerg）的男孩因为一个数学问题产生了激烈的争执，于是，二人相约来到一个僻静的地方进行决斗因为一道奇葩的数学题而不是某位美丽的姑娘而拔剑相向这家伙最初的亮相就有些不同凡响，可惜决战的结局却并非第谷预期的那么美好，在他挥舞着宝剑冲向对方的瞬间，血光四溅，原来，自己的鼻子已被削了下来。战斗就这样结束了，但远远没有完结的是失去身体一部分所带来的疼痛，还有屈辱。不过向来对自己信心爆棚的第谷并没有因为这一残缺从此一蹶不振，据说他用贵重的金银为自己打制了一只与原先一模一样的鼻子，再度昂起了头，潇洒地行走在人群中第谷号称“肉眼观星”第一牛人，但同时也是最后一人，由于相差几十年没能赶上光学仪器时代，第谷运用自己的几何知识与创造力，依靠皇家提供的资金，带领团队制造了大批豪华而精巧的观测工具：六分仪、地平象限仪、视差尺你若有机会穿越时空来到第谷当年的工作现场，将看到他与助手们端起一架架就如同今日的来福枪那样修长而怪异的“武器” ，通过附着在悬臂末端的铜质瞄准器来瞄准天上的星星，那气势，可真是直冲云霄呐。还有墙象限仪，半径达六米之宽，但第谷要求把它用于读数的六十分弧度每一格再六十等分，如此，指向一臂之远处误差幅度仅只有针尖那么一点儿。对宏大与细微这两个极端同时的渴望，促使第谷在厄勒海峡的汶岛上建立了一座前所未有的观星台。它原本应是第谷留给后人的一座宝库，但不幸的是，不久之后在实验派开山祖师伽利略手中，望远镜诞生了。哎，既生瑜何生亮？汶岛天文台只得孤零零地站立在海风之中，低声吟唱着古老的歌谣不幸中的万幸，虽然与后起之秀光学望远镜相比，第谷建造的设备并无深层次的创新，但他对仪器的应用却达到了登峰造极的水准。他用毕生的精力来观察、记录星辰的升降起落，并将所有数据编制成一张巨大的星表，而这张星表才是第谷与他心爱的天文台留给世人最珍贵的礼物。可以说，第谷正是那时代转折点上应运而生的矛盾综合体，他迷恋上流社会的奢华，却敢于迎娶下层女子为妻；他是托勒密（Ptolemy）体系的忠实信徒，却毫不含糊地将“叛变”的观测数据一一记录在册；他鼻孔朝天（这词儿可真是为他量身打造的呀） 、高傲自负，却独具慧眼于众生之中挖掘出天才开普勒。约翰内斯?开普勒是一名来自德国的路德教教徒，在反新教的浪潮席卷整个欧洲之际，他最初的志愿是成为一名牧师，传播自己的信仰。可是，经过多年的修习开普勒却没能通过牧师资格考试，反而自己漫不经心辅修的占星学成绩却出乎意料地优异。由此，他“将错就错”与天文结下的缘分最终竟改变了世界的样貌学成之后，开普勒辗转来到奥地利边防重镇格拉茨，依靠“解读”星空的语言为哈布斯堡家族制定了一套历法，并重点预言了该城即将面临的几大灾难：酷寒、农民起义以及土耳其人的入侵这些听起来与科研相去甚远的活计对于那个时代的学者来说，却是必备的谋生招数不管他们自己是否相信这些“鬼话” 。所以说，开普勒并不是唯一一个通过占星术捞取外快的人，此时，就在大陆的另一方，业已名满天下的大学者伽利略也正忙着为佛罗伦萨豪门美第奇（Medicis）家族夜观星象卜凶吉。1600 年，开普勒应邀来到布拉格成为第谷的一名研究助理，这个神经脆弱、略带些自卑的古怪家伙与他老师那趾高气扬的派头完全格格不入，但每当两人在行星观测问题中遇到分歧时，开普勒却寸步不让，常常与第谷争得面红耳赤。盛怒之下，第谷不止一次咆哮着让这个“乡巴佬”滚蛋，但清醒之后，他马上意识到自己这位大弟子惊人的洞察力是其他所有助手甚至第谷本人都难以企及的，又忙忙地去与开普勒和解1601 年 10 月的一天，第谷像往常一样在盛宴中放肆地豪饮，突然，他觉得身体不听使唤地好像要爆裂开来，便顾不上什么社交礼节，直接退席、匆匆赶回家卧倒在床，但已为时过晚，酒精正一点点吞噬着他的生命临终之前，第谷将他心血铸就的“独门秘籍”授予了与自己共事仅一年的首席助理开普勒，期望开普勒能够利用那浩繁的数据对以地球为中心的“第谷宇宙模型”进行修补，使其日趋完善。此时的开普勒虽然已隐约悟到：地心说或许并不能为众星辰的运行提供最合理的解释，但还是郑重地答应了恩师的嘱托，从他手中接过那张密密麻麻的星表。开普勒发誓，要从那变幻莫测的数据当中寻找到隐藏在天际的秘密。经过年复一年埋头苦算，开普勒将形态各异的轨道线用统一的几何语言加以整合，先后总结出了三条规律。首先，每颗行星都沿着椭圆形的轨道围绕太阳运动，而太阳总是位于每个椭圆轨道其中一个焦点之上。这是一个震惊时代的发现，抛开它接过尼古拉?哥白尼（Nikolaj Kopernik）高举的火炬，为日心说提供了强有力的数学模型，并向宗教法庭献上了一记漂亮的重拳这段辉煌篇章不谈；单单就轨道的形状这一具体问题来说，开普勒已经悄然向从古希腊至今人类世代为之痴迷的圆发出了挑战，圆是如此的完美，从圆圈上的每个点到达圆心的距离都相同，彼此是多么的平等与团结可是，大自然却偏偏要让这一和谐的对称性遭受少许破坏。然而，虽然达不到圆的境界，椭圆也并不是一堆杂乱无章的存在，还记得中学几何课上你是如何与椭圆初识的吗？拿一根棉线两端各系上一枚图钉，把两枚图钉隔开一定距离分别固定在纸上，用笔穿过棉线把其拉紧，如图，绕着两枚图钉旋转一周即可得到一只椭圆。因此，椭圆上任意一点到两枚图钉的距离之和是恒定的（其值即为棉线的长度） ，我们把图钉所在的位置定义为椭圆的“焦点” 。虽说行星没有被嵌入完美的圆形轨道，但其运行方式仍有规律可循：太阳总是位于椭圆的某一焦点你若把该模型想象成压扁的圆，则太阳的位置恰好落在形变后幻化出重影的两个“圆心”之一。既然轨道不是标准的圆，那么行星大概也不会匀速奔跑，它们必须做出一些调整来适应椭圆模型。由此，开普勒进一步发现：每颗行星在相等的时间内其运行轨迹所扫过的区域面积相等，也就是说，行星运动速率周期性的变换是为了保持某个物理量的恒定！于千变万化中寻找不变性，是其后数百年间每一个物理学家的终极梦想，也是开普勒为科学研究定下的基调他是当之无愧的理论宗师。为什么行星愈靠近太阳运行速率就愈快？通过观察其轨道，原因即一目了然。如图，以太阳为焦点，把行星划过的任意一段弧线的起点与终点分别与焦点相连，便在宇宙空间内得到一块巨型扇面。根据开普勒第二定律，相同时长所切分的扇形其面积相等，即：Sa=Sb=Sc；为了保证上述条件，行星在距离太阳较近的（如图中 c 区域内）地方就必须大步飞奔来弥补“扇沿”较短的缺憾，以覆盖与ab 区域同样大小的面积。将行星轨道各自分立地研究过后，开普勒又尝试把整张星表综合起来，找寻各轨道之间的相互联系，那便是开普勒第三定律：任何两颗行星的运行周期与轨道半长轴的 3/2 次方成正比。这一非凡的定量关系式为人类史上首轮“知识大爆炸”揭开了序幕。早在三定律问世之前，1597 年，伽利略与开普勒这两位探路者的心灵就已跨越欧洲大陆交汇到了一起，开普勒曾写信给伽利略，向他粗略论证了哥白尼体系的正确性。但作为一名严谨的学者，伽利略并未立刻作出回应，他需要证据，如何才能更细致地观察星空呢？十二年后，在荷兰人汉斯?李波尔（Hans Lippershey）的启发下，世界上第一架用于科学观测的望远镜在伽利略灵巧的双手中诞生了；不久，宇宙就为这名大胆闯入它内心深处的勇者送上了一份大礼。1610 年 1 月 4 日至 15 日夜间，伽利略用单筒望远镜凝视木星时，发现其周围有四颗身形娇小的星星竟然围绕着木星在转动原来并不是每颗星体的轨道都以地球为中心！正是这一板上钉钉的事实令伽利略放弃了托勒密体系，决心以自己的方式去搜寻更加完整的天界图像，最终导出了与开普勒相同的结论太阳才是宇宙的中心两人不仅分别为日心说提供了精确的数学模型与观测记录，更开启了将科研建立在严密的逻辑与可重复比对的实验双重基础之上的先河，自然规律不再是空想家脑海中的幻影奇谭或宗教法庭上考据派翻着经书喋喋不休的争论，现代科学从此正式创生。天际的星辰与手中的小球，暗藏其间的秘密一个接一个地浮出水面，上至教皇牧师、下至平民百姓，整个世界为之惊惶、耸动、窃喜然而，这些秘密之间又有着怎样的深层联系呢？后文艺复新时期的一代人用各自毕生的努力共同唤醒了沉睡千年的科学巨人，巨人缓缓从大地爬起，它挺直腰板张开双臂，准备拥抱即将到来的黎明。此时，一个顽皮的小孩悄悄站上了巨人的肩膀，好奇地向着远方眺望像苹果一样思考1642 年圣诞夜（儒略历） ，一个孱弱的早产儿降生于英格兰林肯郡乡下的伍尔索普庄园，这个小得可以装进一只马克杯的婴孩甚至连是否能够存活都十分令人揪心。不过，他的母亲汉娜艾斯库（Hannah Ayscough）还是依照当地的习俗早早为孩子起好名字艾萨克牛顿（Isaac Newton）同他无缘谋面的父亲一模一样。牛顿三岁的时候，汉娜改嫁给一个六十三岁的牧师，那气量狭窄的老头不让这无依无靠的孩子接近自己妻子半步，可怜的艾萨克只能独自寄宿在外祖母家，没人知道他究竟经历了怎样一段童年时光。直到七年之后，继父去世，艾萨克才得以和他日思夜念的母亲重聚，而此时，他发现家里又增添了三张陌生的小脸。汉娜依然无暇顾及作为兄长的牛顿，不久他就被送到城里去念书，在学校，他第一次找到了生活的乐趣。英格兰沿海小镇，咯吱作响的风车随处可见，艾萨克通过细心观察，仿制出一个又一个浓缩版风车模型，在男孩中间颇受欢迎。不久，他又利用另一套动力装置设计了一台 1.2 米高的水钟，钟面上有艾萨克依据水位变化而标记的不等分刻度，一开始大家还以为那只是件粗糙的工艺品，没想到艾萨克每天按时往里灌水，一段时间后同学们发现那钟走得还真准，逐渐成了全班人的计时重器。把大自然蕴藏的节律借用手工创制的小玩意儿一一给展现出来，这个爱好一直伴随艾萨克到八十多岁，但后来，在他手中诞生的已不仅只是“小玩意儿” 。然而，中学尚未结束，母亲却变卦不再支持他读书，十七岁的牛顿被召唤回伍尔索普庄园干农活。身在农场的他并不快乐，当时的教会要求每个子民每天得如实记录自己的“罪恶” ，牛顿写到：在家中，他曾“推打妹妹” 、 “对母亲发火” 、 “与许多人打架”这个生下来就没有父亲又常年得不到母亲的关爱的孩子，性格中日益流露出一种暴虐气息。但幸运的是，牛顿在学习过程中所展露的天分给校长留下了深刻印象，他专程跑到伍尔索普庄园劝说汉娜，只要肯让牛顿继续上学，学校愿意免收一切费用并让孩子直接住到自己家里。牛顿这才得以返回中学，完成学业。其实汉娜并不缺钱，她从两任丈夫那里分别继承了一笔资产，还独自经营着一座庄园，从史料上看，家里雇佣着好几个仆人，可见物质条件是十分丰足的。可牛顿甚至要靠领取补助金才能跨进剑桥的大门，而入校后，更需依靠帮助有钱人家的贵公子跑腿买酒食、倒便壶赚取微薄的零花钱度日，足见汉娜要么是个目光短浅的守财奴，要么根本从没关心过自己这位长子。窘迫的成长记忆凝成牛顿心头挥之不去的阴云，即使中年之后早已功成名就，他依旧时常兀自徘徊在精神崩溃的边缘：因为最初对光学行为的不同解读，他与罗伯特胡克（Robert Hooke）恶言相讥，并在胡克去世后仍耿耿于怀，利用手中的权杖在幕后操控着学界妄图将这位显微镜之父功业一笔抹去；由于对反驳之声的极端恐惧，他宁愿按下自己的研究成果迟迟不予发表；后又为同戈特弗里德莱布尼茨（Gottfried Leibniz）争夺微积分的优先发现权而不惜使出各种卑劣手段；以铁腕牢牢掌控英国皇家学会数十载种种行为，或许正是源于内心深处，牛顿永远把自己看做当初那个缺乏爱与认同的孩子。当然这些都是后话了，现在，让我们乘坐时光机回到鼠疫肆虐的公元 1665-1666 年艾萨克?牛顿一生中最快乐的时光跟随这个科学天分与怪诞脾性具初露端倪的年轻小伙来进行一场空前跌宕的思维冲浪吧。首先，由伽利略惯性定律可知：改变物体运动状态的唯一方式就是施加外力。如果物体运动速率骤然加快，那就说明在它运动的同一方向存在一个力；反之，如果速率减慢，则存在一个与运动方向相反的作用力。此外，牛顿意识到还有一种可能：如果出现一个与运动方向既不完全一致、也不完全相反的外力，它与原先的直线轨迹有一个倾斜的交角，那么物体不但速率而且运动方向都将受到影响。凭借对惯性定律的这一独到诠释，将其推演至星空，牛顿领悟到：假若没有外力在一旁推动，行星只能沿直线奔跑，即便偶然获得机会靠近太阳也只能遗憾地与之擦肩而过，从此终老不再相见，根本不可能围绕太阳一圈又一圈地运行。要形成已知的椭圆轨迹，就必须始终有一个垂直于行星运动方向的外力在鞭策着它把直线扭弯一个指向太阳的无比强大的拉力！由此，牛顿做出了更大胆的猜测：太阳本身就是这个永恒之力的源泉。为了审核这一观点，让我们把目光暂且从浩瀚的太阳系收回，望向地球最为忠实的伴侣：月球。月球为什么要绕着地球运行，难道它也感受到一个指向地球的外力？从多年积累的数据，我们不难确证：月亮环绕地球的运行模式恰与行星环绕太阳有着惊人的相似。如图 a，月球沿水平的初速度 v0 向前奔去，如若与此同时，它接收到来自地球的召唤一股与其运动方向相互垂直、直指地心的强大吸引力。那么，在这一作用力的压迫下，月球将不得不调整原先的运动趋势，朝着地球表面靠近一些、再靠近一些也就是说，在外力的作用下，月球每走一步便与地球更亲昵了一层，那它为什么始终没有落到地球表面呢？秘密就藏在图 b 当中，把镜头拉至外太空，当画面覆盖足够宽广的区域，你将发现：地球表面正以更快的速率避开月球的亲吻！这个使得的地表得以顺利摆脱月球追逐的法宝叫做“表面曲率” ，曲率越大，物体的表层弯曲得就越猛烈。这场你追我逃的竞技，终会在一种微妙的状态下找到平衡，那就是：月球围绕地球形成一条完全闭合的椭圆，周而复始地旋转。现在，让我们把目光再收近一点，近到立在你身边的苹果树。相对于整个地球，在极小的一块土地上，其表面的弯曲度可以忽略不计，也即：曲率为零地面复原回平面。此时，如若有苹果忽然脱离枝干，由于不具备任何初速度，在地心引力的作用下，它只能义无反顾地奔向大地。而地面呢，则由于曲率为零，再没办法依靠弯曲来逃逸，只得张开怀抱迎接苹果的到来。最后，“砰”地一声，苹果与大地相撞，惊醒了沉思中的牛顿月亮与苹果，它们都身不由己地落向地球，其行为之间一定存在着某种联系，那便是各例中假想的直指地心的吸引力。作为一个对事物的普遍性具有超凡感悟力的人，紧接着，牛顿将他凌厉的目光透过苹果树延伸到天边的日月星辰，难道指向地球的吸引力与指向太阳的吸引力背后也有着同样的成因？那么地球与太阳二者有什么共同特征呢？它们都很庞大，都拥有难以估量的质量没错，也许它就是引力之源。于是，牛顿进一步假定：如果质量确实是上述所有作用力的幕后操纵者，这样一来，不但太阳、地球、月亮小到一个苹果、一粒尘埃但凡拥有质量者，都能散发出属于自己的吸引力！从一粒沙中窥见世界，在一朵花里寻觅天堂。掌中盛无限，瞬间即永恒。科学顽童理查德?费曼（Richard Feynman）在谈到宇宙的设计原则时曾感慨：“大自然使用了最长的丝线来编织她的花样，使得织物上每一片段都体现着整块锦缎的组织原则。 ”而艾萨克?牛顿正是那循着一根丝线的踪迹勾画出锦缎一隅的美丽图案的第一人，他独自伫立在时空之母的亿万子民之一小小的幽蓝色星球之上，却奇迹般地推演出足以囊括大千世界的运行规则，真可谓于沙粒中见乾坤！至此，源自质量的吸引力，这一无影无形却能主宰万物的幽灵终于在牛顿深邃的洞察力下露出了庐山真面目。原来，遥不可及的星辰与近在咫尺的苹果莫非受制于同一种作用力，牛顿把那伟大的魔力命名为“万有引力”有了定性的分析，如何才能通过定量计算进一步证实自己的猜想呢？前辈留下的研究成果再次启发了牛顿，由开普勒行星三定律，他一半依靠推演一半凭借直觉“猜”出了以下关系式这便是名垂青史的“万有引力公式”：俩物体间的吸引力 F，正比于各自的质量 m1与 m2 之积，而与它们之间距离 r 的平方成反比。这就产生了一个新的问题：牛顿最初总结引力公式时，是以群星为样本，在浩瀚的宇宙中，星与星之间的距离 r 是如此巨大；因此，每个质量源 m 都可以简化为数学上的一个点，而丝毫不影响计算结果。可是，当我们想要求算地面上一苹果所受的吸引力时，茫茫时空中的一个小点瞬间便膨胀成一颗硕大无比的球体，地球上的每座大山、每块平原、每条江河每一寸土地都向苹果伸出了引力之手，此时，公式中的 r 值 苹果与地球之间的距离 究竟应该取苹果到地面的距离呢（即：一颗果树的高度）？还是苹果到地心之间的距离（即：果树高度+地球半径）？还是苹果到地表另一端的距离（即：果树高度+地球直径）？注：很意外吧，这一著名公式最初竟不是从数学中推导而来，物理大发现有时候确实需要那么点儿运气、或者说灵性。但这也正是 1666“奇迹年”过后，牛顿一直没有将其发表于世的原因，作为一名严苛的治学者，他继续默默地求证着自己的公式，直到微分与积分二者在他手中完美地整合到一块，才将桀骜的万有引力彻底驯服牛顿想到一个绝妙的解决办法，他在脑海中把地球切割成若干“无限小”的质量块，这样每一块都能近似地看做一个数学质点；再把每一点到苹果之间的距离代入 r 值，分别计算它们与苹果之间的吸引力F1、F2、F3 最后，再求出这无数个分力的矢量和（所谓“矢量” ，即除了考虑大小之外，还需考虑其方向的量） ，即是地球施加在苹果之上的总作用力 F。如图，先观察一个经过简化的切割模型。假设苹果位于北极点的正上方，沿着纬线像烤面包一样把地球切成若干薄片，让我们来逐一分析一下各薄片与苹果之间的作用力。最北端的“超级冰块”北冰洋以及位于其下的火山岩层所组成的小球冠体积最小，所提供的质量 m1 也相对较小，但同时由于该切片与苹果距离最近，所以公式中的分母 r12 值也最小。往南延伸，从欧亚大陆再到赤道太平洋，各切片的体积逐渐增大，如若粗略地把地球看做一个质量分布均匀的实心球，那么每块薄片的质量 m2、m3 、m4也将依次递增；但同时，随着距离 r2、r3 、r4的拉大，分母也以其平方倍数在飙升。继续往南，各薄片体积陆续收缩，但距离rn-2、rn-1、rn 却依然保持着良好的增长势头。通过一系列演算，牛顿发现，质量 m 与距离 r 经此一番相互拉锯之后，竟导出一个简单得出奇的结论：实心球各“质量切片”对苹果吸引力的总体效果恰好等同于把该球所有的质量皆汇聚于一点球心时的效果，这便是“地心引力”的由来（考虑到地球的扁胖以及质量分布不均等因素，其质心实地寻找起来还要稍微复杂些） 。自然再次向我们展现了其设计细节上的精妙，只有当万有引力 F 的大小刚好与两物体间距离 r 的平方成反比之时，巨型质量源对另一物体的吸引力才等效于其质心所散发的吸引力。若有兴趣不妨动笔计算一下，假如公式中的引力 F 正比于 r 的立方，则随着 r 的增大，F 值将飞速衰减。在这样的模型中，质量施加的作用力不再能够维持平衡，依旧以上图为例：北极球冠对苹果的引力最强；赤道地区虽然体积庞大，但由于分母 r3 的激增，F仍将大幅减弱；而可怜的南极地区在体积不占优势的情形下，分母又增至极大，它对苹果的吸引力与北极相比，简直可以忽略不计。假如设计之神一时兴起，随手把公式那么一改，平方变立方，世界将会变成什么样子呢？此时，若有两颗大质量星体在距离 r 处遥相吸引，由于引力的作用效果已不再凝聚于各自的质心之上，从对方传来的作用力就会变成无数只触手，撕扯着星球的各个部位；倘若每颗星球自身还在转动奔跑，那么，在被对方吸引的最初几分钟，你将观赏到壮美无比的宇宙版“巴巴爸爸”大变身。最终，这对不幸相遇的冤家还没逮着机会进一步亲密接触，早已被 F 魔掌撕成了碎片，只留下烟花般绚烂的幻影。事实上，在立方版本的引力公式下，根本就没有孕育大质量星球的可能，更别提欣赏以上奇景的智慧生命你了。物理规则是如此的霸气，哪怕一丝一毫的改动都将使整个世界面目全非在求解地球引力的过程中，需要把整体切分成 n 个无限小的单元，分别对每一单元进行剖析，最后再将各结果整合回原状这便是现代数学的基石“微积分”的雏形。牛顿在 1666 年就已得出引力方程，却蛰伏了整整二十年才将它正式发表，正是为了创造微积分来严格证明自己的理论。十七世纪末，这位旷世骑手终于同时驾驭了数学、物理两匹烈马，他志气昂扬地跨上战车，率领人类奔向地平线上第一缕曙光。沿着这一征程，三百年后，苏联宇航员尤里?加加林（Yuri Gagarin）乘坐东方一号宇宙飞船率先冲出了大气层，来到外太空；而美国也不甘落后，紧接着便将尼尔?阿姆斯壮（Neil Armstrong） 、巴兹? 奥尔德林 （Buzz Aldrin） 、迈克尔?柯林斯（Michael Collins）三人送上了月球；千禧年到来之际，中国也加入了这支伟大的逐梦大军的行列，预计将于2020 年前后建成一座颇具规模的空间站，并与各国科学家相互合作，一同对神秘的近地空间进行深度探查。说到空间站，拜媒体含混模糊的说辞所赐，许多人至今仍以为宇航员能够潇洒地凌空翻腾是因为他们完全脱离了地球引力。不，恰恰相反“失重”正是因为宇航员们正连同整个空间站一起，在引力的召唤下一秒不停歇地朝着地球“跌落”！ 不信？让我们来考察一下实际数据，现有的国际空间站所在位置距地面约 340 千米，比起普通飞机（61.2 千米）它确实高出许多。但问题的关键在于：我们计算引力时，并不是从地面算起，而是地心！地球平均半径约 6370 千米，因此，当空间站上升到 340 千米高的外层空间，它与地心之间的距离便从紧贴地面的 6370 千米增加到 6710 千米变化量仅仅是微不足道的5.3%；由此算出引力减小值为 9.8%。也就是说，几乎没有变化。所以，空间站的活动范围与科学家理论上遐想的“远离所有大质量物体的宇宙深处”是两个完全不同的概念，离地这么近，它是逃不出地心引力的手掌心的。如此说来，空间站的处境其实与月球如出一辙，它俩之所以没有发生一头栽进地面的惨剧，是由于除了来自地心的拉力之外，各自皆拥有一个垂直于拉力方向的“水平”速度，只要该速度超过某一值域，质量较小物体就有机会逃脱坠入大质量物体怀中的厄运，转而在引力的作用下围绕着大质量物体奔跑。而那绕地环行的最小速度，就是传说中的“第一宇宙速度” ，其值为7.9 千米/秒，任何物体只要保持这一速度勇往直前，都能突破大气层的包裹，一窥外面世界的雄浑与孤寂。但这还是没有解释为什么明明处在地心引力的魔爪之下，宇航员却纷纷“失重”了呢？待到第四单元学习了爱因斯坦的广义相对论之后，相信你将对这一难题给出自己的答案。称量地球的人再看那浑身是宝的引力公式，