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高等数学竞赛试题 3答案一、选择题1. 设 ,且 ,则 ( C )nnyzx0)(limnxynzlim(A) 存在且等于零 ; (B) 存在但不一定等于零;(C) 不一定存在; (D) 一定不存在.2. 设 是连续函数, 的原函数,则( A ))(xf )(xfF是(A) 当 为奇函数时 , 必为偶函数;f(B) 当 为偶函数时, 必为奇函数;)(xf )(x(C) 当 为周期函数时, 必为周期函数;fF(D) 当 为单调增函数时 , 必为单调增函数.)(xf )(x3. 设 , 在 内恒有 ,记 ,则有( B )0af),(a2|)(|0“xff且 adxfI)(A) ; (B) ; (C) ; (D) 不确定.III4. 设 有连续导数,且 , ,当 时,)(xf )(,)0(ff xtftF02)() 0是同阶无穷小,则 ( B )kF与 k(A) 4; (B) 3; (C) 2; (D) 1.5. 设 ,则 在点 ( D )0,0),(22yxyxf ),(yxf)0,(A) 不连续; (B) 连续但偏导数不存在;(C) 可微; (D) 连续且偏导数存在但不可微.6. 设 ,则以向量 、 为边的平行四边形的对角线的长度为( A )kjbjia2, ab(A) ; (B) 3, 11; (C) ; (D) .1,3 10,31,27. 设 是包含原点在内的两条同向闭曲线, 的内部,若已知2L与 2L在(k 为常数) ,则有 ( D )2LxdyA1LxdyA(A) 等于 k; (B) 等于 ; (C) 大于 k; (D) 不一定等于 k,与 L2 的形状有关.8. 设 在 处收敛,则 在 处( D )0nxa10)(1nnxa0二、设 ,试确定 、 的值,使 都存在.)(1lim)(2Nnxbaxfnnab与)(lim1xf)(li1xf解:当 时, ,故 ;|21lili0x2()fx当 时,|1x()fx112 11,lim(),li(),1()1,li(),li(),xxxxffabfxabxfabf , 。0三、设 的一个原函数,且 ,求 .)(xfF是 )0(Ff2cos)(,dxf0|)(|解: , ,f()cos2Fxxdx,由 知 , ,2()sinxC01C()1sin2|cosin|22|co|sin| cosi|()cxf xF4004|si)(i)(21)(2).fxddd 四、设 ,S 为 的边界曲面外侧,计算0,|),( 223 azyxaRzy SzxddaI1)(22解: (下侧) , (上侧) , ,221:zay22:0xyaSz20S1211 122 22()SSS SSaxdydzxa A A122 21()()SaxdyzzdV 432 2221 34(3)111aaVdVaa 五、已知 , , , ,.10x304x4132x413nx求证:(1)数列 收敛;(2) 的极限值 a 是方程 的唯一正根.nn 01x解一:(1) ,01nx 3113314(4)nnnnxx22114nnnx16212106nnx; 又 收敛, 收敛,3316516nn031nn10nx收敛,又因 ,故 收敛。10()nx1Sxnx(2)令 , , ,且 , ,即 a 是limna0n0a314a10a的根,令 , , , ,41x4()1fx(,)x3(fx()f,故 根唯一。li()xf0解二:由已知 , , , ,由01x30.24x310.2495x3210.49x此可见, , (用归纳法证明偶数项单调减少,奇数项单调增加) 。0213设 , 。nx21nx, 2331214nnn21 2333214n nnxx 由 知 、 收敛,令 , ;0x21xlimna1lib由 , ,知 , 。2n210n0b对 两边取极限得 , 3214nx34a31a对 两边取极限得 , 1bb由得 ,解得2()4()0aba0a由 知 收敛,且为方程 的根(再证唯一性) 。nx41x六、设 在单位圆上有连续的偏导数,且在边界上取值为零,求证:),(yf, 其中 D 为圆环域:20lim 2(0)Dfxydxf 122yx解一:令 , , , 。cosrcosr cosinfxfyffrrffrxy由已知当 时, ,1(,in)0f22xyDDfrfIdd212100(cos,in)|fdrfrd00(cos,in)(cos,in)f f, ,故*2,s,20lim2(,0)If解二:令 , ,2(,)yfxP2(,)xfyQ2xyQP,令 为 (逆时针) , 为 (顺时针)2Dfxdxy1L21xy2L2xy12LLPPdA2:cos,sinx1 22(,)(,)(,)()LyfxdfxyyfdfyA1 21(,)(,)(,)(,)Lfffxfxd02sinicoscos,inf,0(co,i)fd *0lim(,i)f0,2。*20 0lim2li(cos,in)2(,)Dxyxf f 七、有一圆锥形的塔,底半径为 R,高为 ,现沿塔身建一登上塔顶的楼梯,要求楼梯曲)(Rh线在每一点的切线与过该点垂直于 平面的直线的夹角为 ,楼梯入口在点 , 试xoy4( 0)R求楼梯曲线的方程.解:设曲线上任一点为 , ,(,)xyzhzrR曲线参数方程为(*) ,()cosin(02)ryhzR在点 的切向量为 ,垂线方向向量为 。(,)xyz(,(vxz (0,1)k, ,cos()in()i

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