常见几何体的截面形状初探“几何体的截面形状”研究性学习论文

“几何体的截面形状”研究性学习论文- 常见几何体的截面形状初探【摘要】：正用平面去截一个几何体,所截出的面,就叫截面(section),我们可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形。【关键词】： 截面形状 几何体 正方体 平面图形 等边三角形 锐角三角形 分类 四边形 正五边形 梯形 【正文内容】：按全国普通高中课程标准要求，在高中阶段至少要有一次小组合作或独立数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展是要有一个渐进的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识自主探究、合作学习的过程，所以在北师大版高中数学必修二第一章结尾教材编写者设计了正方体的截面形状研究性课题，是为实施更为完整的数学探究、数学建模活动做准备。众所周知，帮助学生认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力是高中数学教师义不容辞的责任和义务；教师要通过课题研究给学生提供一个施展所学的舞台，促进学生对所学知识的应用和反思，加深对空间图形的认识和理解。此外，该课题的学习有助于发展学生自主学习的能力，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜测和理性推理的关系，鼓励学生发挥自己的想象力和创造力。因此，要培养全面、专业的优秀人才离不开研究性的探究和学习，高中一年级的学生对正方体的截面形状研究性课题的深入探究和学习就显得格外重要，很有必要。用平面去截一个几何体，所截出的面,就叫截面(section),截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况。用平面去截一个几何体,我们可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形。 在医学诊断上,有一种与“截几何体”类似的仪器和方法,它是通过 X 射线扫过人体的患病器官,然后通过计算机处理相关测量数据,重建人体断层图象,并作出诊断,这就是是“CT 影像诊断技术”在医学史上具有划时代意义。可见,数学知识对于生活何等重要。初中生一定要学好这部分,以便将来运用它更好地为生活服务。下面我针对几种常见而又重要的几何体的截面进行分析,并辅以适当的习题,供大家学习时参考。首先让我们来探索用平面截正方体所得截面的形状。我们知道正方体有六个面，用一个平面去解正方体至少要经过三个面，最多经过六个面.所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形.一、截面是三角形用一平面截正方体，当平面经过正方体的三个面时，所得的截面的形状为三角形.所得的三角形可能是锐角三角形（如图 1）；等腰三角形（如图 2）；等边三角形（如图 3）.其中等边三角形三个顶点是正方形的顶点.图 1 图 2 图 3二、截面是四边形用一个平面截正方体，当平面经过正方体的四个面时，所得截面可能是正方形、长方形、梯形.用平行于底面的一个平面去截正方体时，按图 4 方式得到的截面是正方形.图 4按图 5 或图 6 或图 7 的方式切截，得到的截面是长方形图 5 图 6 图 7按图 8 的方式所得截面为梯形.图 8三、截面是五边形用平面截正方体，当平面经过正方体的五个面时，所得截面是五边形.如图 9.图 9四、截面是六边形用平面截正方体，当平面经过正方体的六个面时，所得截面是六边形，如图 10.图 10注意：用一个平面截正方体，由于正方体共有六个面，所以截面不可能是七边形. 以上是具体对正方体的截面形状的图示分类，一下我们进行详细的分析理解：1.正方体的截面形状分类 正方体有六个面,用一个平面去截正方体,至少要经过三个面,最多经过六个面。所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形。 (1)截面是三角形。用一平面截正方体,当平面经过从同一点发出的三条棱,即经过正方体的三个面时,所得的截面的形状是锐角三角形(这一点可用高中数学线面角的知识进行证明,此略),包括一般锐角三角形,也可以是特殊的锐角三角形,如等腰三角形、等边三角形,但不可能是直角和钝角三角形。 (2)截面是四边形。用一个平面截正方体,当平面恰好经过正方体的四个面时,所得截面是四边形,其中可能是普通的平形四边形,或正方形、长方形、菱形和梯形(但不可能是直角梯形,证明略)。 用平行于正方体任何一个面的平面去截正方体时,得到的截面是正方形。 如图 1、图 2 所示方式切截时,得到的截面是长方形。 如图 3 的方式所得截面为梯形。 (3)截面是五边形。用平面截正方体,当平面不经过一个面(或者只经过这平面上的一个顶点),即只经过正方体的五个面时,所得截面是五边形(必有两组分别平行的边,因为一个平面与两平行平面分别相交,两条交线必平行),不可能有任何一个角是直角(证明略)。如图4。 (4)截面是六边形。用平面截正方体,当平面经过正方体的六个面时,所得截面是六边形(特殊的,当截面与正方体各棱的交点为棱的中点时,截面是正六边形)。 思考:用一个平面截正方体,所得的截面可不可以是正五边形呢?小结:1.截面可以是锐角三角形、等边三角形、等腰三角形、一般三角形;但不可以是直角三角形、钝角三角形。 2.截面可以是四边形:一般平行四边形、长方形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形(注意:四边形中至少有一组对边平行,且不可以是直角梯形)。 3.截面可以是五边形:截面五边形不可能是正五边形。(证明略)4.截面可以是六边形:截面六边形的特点是三组对边分别平行,可以是正六边形。 由于正方体共有六个面,所以截面不可能是七边形。 长方体的截面和正方体的截面可以依次类比联想,分类情况相同。练习 1.用一个平面去截正方体,则截面形状不可能是( )。 A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 2.圆柱体的截面分类 (1)圆形。当截面与圆柱体的底面平行时,截面为圆形。 (2)长方形。当截面与圆柱体的底面垂直时,截面为长方形,特殊情况下截面形状为正方形。 (3)类似于梯形但不是梯形。当截面与上下两底面的交线长不相等时,截面类似于梯形,但截面在圆柱侧面上留下的痕迹不是线段而是曲线段,所以不是梯形的两腰,如图 5。 (4)椭圆形。当截面与圆柱的底面成一锐角时,截面为椭圆形或椭圆形的一部分(当截面需要延伸才能与底面相交时)。 练习 2.用一个平面去截圆柱,则截面形状不可能是( )。 A.圆 B.正方形 C.长方形 D.梯形 E.三角形 F.椭圆 3.圆锥体的截面 (1)三角形。当截面经过圆锥体的顶点时,截面是三角形。 (2)圆形。当截面与圆柱体的底面平行时,截面为圆形。 (3)椭圆形。这出现在圆锥和平面的交截线是闭合曲线的时候。这时平面既不垂直也不平行于圆锥的轴线,如图 6。 (4)抛物面。如果平面平行于圆锥的母线,则截面为抛物面,截面边缘是一段曲线(称为抛物线)和一直线段围成的封闭图形,如图7。 (5)当截面去截两个对顶的圆锥且截面平行于圆锥的轴线时,截面为双曲面,截一个圆锥就是半双曲面,如图 8。 因此,椭圆、抛物线、双曲线被统称为圆锥曲线。 练习 3.用不同平面去截一个圆锥体,得到的截面不可能是()。 A.圆 B.三角形 C.抛物面 D.椭圆 E.矩形 4.球的截面 球的截面是一些大小不等的圆。 练习 4.截面是圆的是哪种几何图形?( )。 A.圆锥 B.球体 C.圆柱 D.ABC 都有可能通过对几何体截面形状的研究，引导学生经历观察、猜想、实际操作验证、分析归纳，推理等数学活动过程，培养学生尊重科学、尊重事实严谨细致的科学态度，发展学生的动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳能力。同时运用现代化的教学手段，创建更为丰富生动的情境，激发学生的求知欲和探索新知识的热情。在具体教学过程和研究性实践活动，先让学生充分地想象用一个平面去截一个几何体所得的截面是什么形状，再实际动手操作，验证想象的结果与实际结果是否一致。在这一过程中，既丰富了学习者的几何直觉和数学活动经验，更发展了学生的空间观念，同时利用数学智能软件包的应用性、良好的操作性和贴近教材的课件，激发学生的求知欲望，为学生探索新知提供了有力的工具。在实际教学中，有些学生对切截五边形，六边形的理论知识已经有所了解，但到了具体操作阶段，就显得无从下手，这时，通过小组合作，和教师的点拨，能够达到较好的效果，再辅之以数学智能软件包教育平台演示的课件，将切截五边形的正方体进行旋转，以便学生从不同角度来观察截面的产生，以及截面与正方体的哪个面相交，交线的情况如何，据此更能加深学生对截一个几何体的理解，和直观的印象。同时经过研究性学习，提高学生的动手能力。最主要的是学生们会以全新的视野来重新审视他们日常生活中的数学问题。在活动中还应加强对学生团队的指引，以及对一些较被动学生的鼓励与帮助。评价方面要提高评价的有效性和全面性。【参考文献】：1.林明成数理化学习(高中版)-体积问题的求解策略2009 年 16期2.林明成、廖雪蓉数