数学分析中的极限问题终稿

信阳师范学院本科毕业论文专 业 数学与应用数学 年 级 姓 名 论文题目 数学分析中的极限问题 指导教师 职称 * 年 *月 * 日目 录摘 要 .1关键词 .1Abstract.1Key words.1引言 .11.综述 .21.1 极限的产生与发展 .21.2 极限问题的类型 .32.常见的极限求解方法 .32.1 简单求极限的方法 .32.2 利用两个重要极限公式求极限 .42.3 利用洛必达法则求极限 .52.4 利用极限的四则运算法则求极限 .62.5 利用等价无穷小替换求极限 .62.6 利用定积分求极限 .72.7 利用泰勒公式求极限 .82.8 两边夹法则求极限 .92.9 利用单侧极限求极限 .102. 10 利用中值定理求极限 .11小结 .12参考文献 .130数学分析中的极限问题学生姓名：* 学号：*数学与计算机科学系 数学与应用数学专业指导教师：* 职称：*摘 要： 极限是数学分析这门学科的基础，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，贯穿整个数学分析的始末. 本文主要是对数学分析中的极限的产生与发展，以及常见极限的若干常规解法进行了讨论和研究. 本文的重点在第二章，具体介绍了运用四则运算法则、两个重要极限、两 边夹法则、等价无穷小替换等方法求解极限.关键词：四则运算法则；洛比达法则；泰勒公式；两边夹法则.Abstract: Limit is the basis of mathematical analysis of the subject, through the of though with the tools of limit, make the content more rigorous mathematical analysis, through the mathematical analysis of events. This article is mainly to limit the emergence and development of mathematical analysis, as well as the common limit of conventional method are disscussed and studied. In the second chapther, the focus of this article, using the laws of arthmetic are analysised in detail, two important limits,between law and equivalent infinitesimal substitution method to solve the limit.Key words: four arithmetic operations; the derivation rule; Taylor formula; both sides grip rule.引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法，能够通过旧事物的量的变化规律，去计算新事物的量. 因此，极限具有由此达彼的重大创新作用. 同时，极限是研究微积分的理论基础和基本手段，它一直贯穿于该学科的始终. 极限的思想方法不仅在整个分析学的建立和发展中起着基本作用，而且还广泛应用于其他数学分支和自然科学. 同时，考研数学中也少不了有关于极限的题目.1极限的思想方法作为人类发现数学问题并解决数学问题的一种重要手段，随着科学技术的不断发展，社会生产力的不断提高，在数学的发展史上将发挥越来越重要的作用. 因此，探讨如何求极限、怎样使求极限变得容易，是一个非常具有现实意义的重要问题. 求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要清楚认识各种极限的类型，并熟练应用多种求极限的基本方法.众所周之，求极限的方法繁多且变化灵活，不易掌握. 本文在总结各种常用的求极限方法的同时，更重要的是，也会提出一些创新的极限求解方法，希望能够开拓思路，起到抛砖引玉的作用. 1.综述1.1 极限的产生与发展早在两千多年前，我国的惠施就在庄子的天下篇中有一句著名的话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，惠施提出了无限变小的过程，这是我国古代极限思想的萌芽.我国三国时期的大数学家刘徽（约 225 年295 年）的割圆术，通过不断倍增圆内接正多边形的边数来逼近圆周，刘徽计算了圆内接正 3072 边形的面积和周长，从而推得 .在国外一千多年以后欧洲人安托尼兹才3.14023.1470算到同样精确度的小数. 这扇窗口闪烁着我国古代数学家的数学水平和才能的光辉.刘徽的割圆术不仅仅是先导，而且是一面旗帜，为研究复杂的逼近数列打开了先河.16 世纪前后，欧洲资本主义的萌芽和文艺复兴运动促进了生产力和自然科学的发展. 17 世纪，牛顿和莱布尼兹在总结前人经验的基础上，创立了微积分. 随着微积分应用的更加广泛和深入，遇到的数量关系也日益复杂，例如研究天体运行的轨道等问题已超出直观范围.在这种情况下，微积分的薄弱之处也越来越暴露出来，严格的极限定义就显得十分迫切需要. 经过近百年的争论，直到 19 世纪上半叶人们通过对无穷级数的研究和总结，明确的认识了极限的概念. 德国著名数学家维尔斯特拉斯通过静态刻板的定义，描述了无限的过程，刻画了极限，对于数列 如果找到一个实数 ，无论预先指定多么小的正数 ，naa都能够在数列中找到一项 ，使得这一项后面的所有项与 的差的绝对值都小于a2，就把这个实数 叫做数列 的极限.an1.2 极限问题的类型数列极限定义 设 为实数数列， 为定数，任意 ，总存在正整数 ,使naN得当 时，有 ，则称数列 收敛于 ，定数 称为数列 的极nNanan限.不等式 刻画了 与 的无限接近程度， 愈小，表示接近得愈好；nna而正数 可以任意地小，说明 与 可以接近到任何程度. 然而，尽管 有其任 意性，但一经给出正整数 就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出 ，又,N既是任意小的正数，那么 , 的平方等等同样也是任意小的正数，因此定义中2不定式 中的 可用 , 的平方等来代替. 同时，正由于 是任意小正na 数，我们可限定 小于一个确定的正数.函数极限定义 设函数 在点 的某一去心邻域有定义，如果存在常数 ，()fx0 A对于任意给定的正数 ，总存在正整数 ，当 x 满足不等式 时，对d0xd应的函数值 都满足不等式 ，那么常数 A 就叫做函数 当()fx()fxA()f时的极限，记作 .0x0limx2.常见的极限求解方法数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，本章将介绍几种常见的极限求解方法，这些方法均有各自的特点，因为这些常见的方法是研究极限求解的基础，需要我们去深刻的理解并扎实的掌握.我们罗列出一些常用的求法.2.1 简单求极限的方法我们知道，在同一趋近过程中，无穷大量的倒数是无穷小量；有界量乘以无穷小量等于无穷小量；有限个（相同类型）无穷小量之和 、差、积仍为无穷小量，以及利用函数的连续性可以求出某些函数的极限.例 1 求极限 .2147lim3x解 当 时，分母的极限为 0，而分子的极限不为 0，可以先求出所给函3数的倒数的极限,21312lim047x利用无穷小量的倒数是无穷大量，故 .21lix例 2 求极限 .20sinlx解 运用极限运算的四则运算法则，有，200001sin11lmlsinlmlisnisxxxx因为,0lisnx当 时， 为无穷小量， 为有界量，所以0xx1,0limsx故.201sinlx2.2 利用两个重要极限公式求极限我们所熟悉的两个重要极限是(i) 则 ,lm()0xafsin()l1xaf(ii) 则 ,li()xaf ()li(fxxae其中，第一个重要极限是“ ”型；第二个重要极限是“ ”型.01利用重要极限求函数极限时，关键在于把要求的函数极限化成重要极限的标准型或者它们的变形，这就要抓住重要极限公式的特征，并且能够根据它们的特征，辨认它们的变形，有时会利用到归结原则.例 3 求极限10lim(2).xx4解 .1112200lim(2)li()()xxxx e例 4 求极限 .nn解 ，当 时，有211()()()e1n,2 2112()nnn而由归结原则（取 ）有,(,3)1nx,2 21lim()li()lim()nnnn e于是，由数列极限的迫敛性得.2li(1)nne2.3 利用洛必达法则求极限定理 1 若函数 与 满足()fxg(i) 00lmli();xxf(ii) 在点 的某空心邻域 内两者都可导，且 ；0Ux ()0gx(iii) （ 可为实数，也可为 或 ）,则 0()lixfAg.00()()limlixxffAg例 5 求极限 .120()linxe解 利用 ,得2l(1)(0)x.11322220000()()limlilimlin()x xxxeeee应用洛必达法则计算待定型极限需要注意的问题(1)审查计算的极限是不是待定型，如果不是待定型就不能运用洛必达法则，因为它不满足洛必达法则的条件.5(2)除计算“ ”或者“ ”两种待定型外，计算其它五种待定型0都要用对数或代数运算将它们化为待定型“ ”或者“,1,“ 0“ ”,然后再应用洛比达法则.(3)在求极限的过程中，有可约的因子或者极限不是零的因子，可以先约去或从极限符号内取出.(4)要特别注意，一般来说，应用洛必达法则计算待定型极限都比较简单.但是对少数的待定型极限应用洛比达法则，并不简单.2.4 利用极限的四则运算法则求极限定理 2（极限的四则运算法则） 若 ， ，则0lim()xfA0li()xgB(i) ，00lm()li()xxfgAB(ii) ，0 00li()xxfg(iii)若 ，则B,00lim()()lixxffAgB综上所述，函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商.例 6 求极限 .23lim4x解 = .2lix 2li()x162.5 利用等价无穷小替换求极限以下是当 时常用的等价无穷小关系0sin,ta,rcsin,arct,1log(1x)lnl,2(1)n().xxexx等价无穷小代换法 设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有,6存在，则 也存在，且有,lim li.limli例 7 求极限 .3221(cos)lin解 因为