浅析一维空间下的罗尔定理

浅析一维空间下的罗尔定理摘 要摘要 罗尔中值定理是一个重要的微分学基本定理，本论文在罗尔定理原有描述的基础上，探讨了一维空间下的罗尔定理的四个不同证明方法.通过对罗尔定理进行了深入系统的探讨和研究，给出了更弱条件下的各种类型的罗尔定理的推广形式，使其适用的范围更加广泛.同时，对罗尔定理在证明恒等式问题中的应用以及函数零点问题和多项式方程根中的应用进行了讨论，证实了罗尔定理以及其推广形式的有效性以及实用性. 关键词 罗尔定理;推广;应用0第一章 绪 论1.1 研究背景函数是数学中的一种对应关系，是一种重要的数学模型.了解函数的各种性质就能可以更准确、形象地了解函数及函数所代表的模型.导数是微积分中的重要基础概念，解决了类似于求已知曲线上点的切线的问题.但如果想用导数这个基本概念去思考一些较为复杂的问题，只学会计算导数是不能满足现状的，应该以它为基础，去学会更多的解题工具.函数与它自身的导数是两个不同的的函数概念，并且导数只是反映函数在一点的局部特征，而我们往往需要了解函数在整个定义域上的整体性态.因此，为了解决这个问题，就需要在导数及函数间建立起某种联系，这个联系的通道就是就是微分中值定理.其中罗尔中值定理是微分中值定理的其中之一，也是反映函数与导数之间联系的重要定理，同时也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用.1.2 研究目的和意义本课题的主要目的是了解罗尔中值定理的证明及其相关应用.罗尔定理是数学分析基本理论中的重要内容，它起着奠基的作用.理解罗尔定理的条件和证明，结合对罗尔定理的具体应用，反复体会它在数学分析课程中的重要地位和作用，从而达到准确理解并应用该定理的目的.1.3 国内外研究状况人们对罗尔中值定理的研究，从微积分之后就开始了.1637 年，费马在求最大值和最小值的方法中给出费马定理，在华东师范大学数学系编写的数学分析教材中将它称之为费马定理.1691 年，法国数学家在方程的解法一文中给出多项式的罗尔定理.罗尔定理是整个微分学的理论基础，它建立了函数与其导数之间的定量关系.关于罗尔定理的证明，文献 2 介绍了一种容易理解的方法，用到了介值定理，发表在美国数学月刊上文献 3 和文献 4 的证明方法则较为新颖，文献 3 中的证明是构造性的，而文献 4 中的证明是存在性的.受到以上几种方法的启发，结合导数的概念以及函数极限1的保号性，推出了证明方法二.文献 7 中将罗尔定理要求 在 可导推广到fx,ab在 内除有限个点处存在 或 的导数时均有有限导数存在的情况,及将fx,ab在 连续推广到 在 有界或无界 ,并对 在 可导的情况给予fx,abfx,了证明 7；文献 8 中给出了罗尔定理的五种推广形式，并且给出了相关推广形式的证明；文献 9 中推广了罗尔定理，并且应用该结果讨论了 Legender 多项式和Tchebycheff-Hermite 多项式的零点.文献 5 通过对多项式函数应用罗尔定理，给出了罗尔定理在讨论多项式方程的根中的两点应用.第二章 相关理论概述2.1 关于罗尔定理的相关理论知识定义 2.11 设函数 在某邻域 内有定义，若极限f0Ux0 0()()limxffx存在，则称函数 在点 可导.f0定义 2.21 设函数 在 的某邻域 内对一切 有x0Ux0xU0ff()ff则称函数 在点 取得极大（小）值，称点 为极大（小）值点.f 0定义 2.21 函数 在某邻域 内有定义，若,则称 连续.f0x00limxffxfx2.2 费马定理，罗尔定理和介值定理定理 2.11 (费马定理 )设函数 在某邻域 内有定义，且在点 可导.若点 为f0Ux0x0x的极值点，则必有f 0fx定理 2.21（罗尔定理）若函数 满足如下条件:f在闭区间 上连续;,ab2在开区间 内可导;,ab ,()ff则 内至少存在一点 ,使得 ., 0f定理 2.31（介值定理）设函数 在闭区间 上连续，且 .若 为介于 和 之间的任f,ab()fafbfafb何实数（ 或者 ） ，则至少存在一点 ，f0,xa使得 .0fx2.3 两个相关引理引理 2.1 如果 在闭区间 上连续并且 ，那么存在 满足fxc,dfcfd,cd，以及 .事实上，可以考虑2dcf2cgxffx显然 ，dg于是应用介值定理知结论成立.引理 2.2 如果 在某内点 处可微，那么对于任意两个序列 满足fx0x ,n， ， ( ),nnxn则差商 当 时收敛到 .nfff第三章 罗尔定理的证明证明方法一 2根据 是闭区间 上连续函数的性质 ,由极值定理得在 上有最大值 和最f,ab ,abM小值 .m3如果 ,此时 在 上恒为常数,结论显然成立.Mmfxab如果 ,由 条件知,两个数 中至少有一个不等于端点的函数(),Mm值 ，()fafb不妨设 ,证法类似,那么必定在开区间 内有一点 使amf ,ab.f因此, 有 ,xb()fxf由费马定理可知 .0f证明方法二由于 在 处最大,故不论 是正或负,fxx总有,()0ff因此，当 时,0x,0Fxf故由极限的保号性有 lim0xfxff，而当 时，0x.0Ffx故.limxfxff综上所述及 存在知，必有 .()f ()0f证明方法三 34记 ， ， ， ，0a0b02bam02bmq不妨设 ，从 这三个数中选一个记为 ，使得0fm0,pq1，100ax,fffpfq(当这三个函数值中有两个以致三个值相等时，我们再取 时按照 的排列顺序1m0,pq左边的优先当选).并且令， ， ， ，014baam014bam12ap12bq从 这三个数中选择一个出来记为1,qp211ax,fffpfq(特殊请况下的选取规则同上).并且令， ， ， ，124baam124b2ma2bm如此不断进行下去，得到一系列区间 012,.abab并且显然满足， *llfmfallfmfb因此存在 使,cab，lilililcllacb根据 的连续性fxlimlilimll lfafbffc5不难看出, .事实上，如果有某 ，显然 ，故 .如,cab0lfm0fc,ab果 ( ),由区间 的作法可知 .由*式可以得到0ifm1,2.,lab0c， lfc0lfbfc令 ,则由上式可以得到l( )0fc,ab证明方法四 4不断应用引理 2.1，我们得到 的子区间序列 满足：,ab0,n(1) ;12nnb(2) ;nnff(3) ( ; )1,0,12.0,ab选取 的规则是：假如已经确定2,( ),1,2ab2ff而且 ， 之一又恰好等于 时，我们规定选取 或34abf34bff 3,42ab者 为 .这样， ， 有相同的极限 c( )，并且,22,0n0nnnc，应用引理 2.2 易知 ( ).,cabfcab第四章 罗尔定理的推广及其证明4.1 罗尔定理推广一6定理 4.1 设函数 满足条件:f(1)在开区间 内可导;,ab(2) xxlimliabff则至少存在一点 ,使得.0f证明 不妨设,xxlimli()abffc做辅助函数.,fafcxb或则 在区间 上连续 ,在 内可导,且 ,故由罗尔中值定理Fx,ab()abFc知,在 内至少存在一点 ,使得(,)ab.0F定理 4.2 设函数 满足条件:f(1)在开区间 内可导;,a(2) xliml()ixaff则至少存在一点 ,使得.0f证明 在 内任取一点 ,使(,)ab.max,令 ()(,)tabbt，7显然,当 时, ; 时 ,且函数 在 内可导所以复合taxtbxt,ab函数 在 可导.又因为()gffttt， ,a,()lim)lil)( (gt imta xabftf ()li()li(li )xtbtbtff由条件(2),有 ,lilitatbg所以,函数 在 内,满足罗尔定理的条件.于是,存在 ,使 ,gt 0()tab0gt即.00 20()tbatbft由于,当 时,0tb,20()bat所以,必有 ,0fbt令, ,0atba即此 .f定理 4.3 函数 满足条件:f在开区间 内可导;,a ,limlixxaff则至少存在一点 ,使得.0f8证明 在 内任取一点 ,使,ab.min,0a令 ()(,)btxt，显然,当 时, ; 时 ,且函数 在 内可导所以复合tatt(,)ba函数 在 可导.又因为()