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第一章 函数与极限复习题 1、函数 s in( ) c o sxf x x e x 是( ) (A)偶函数 ; (B)周期函数 ; (C)单调函数 ; (D)无界函数 . 2、当 0x 时,下列函数哪一个是 x 的 等 阶无穷小( ) ( A) 2x ; ( B) xcos1 ; ( C) xx tan ; ( D) )1ln( x . 3、设 ,0, 00 ba 则当( )时有 00110110.limbabxbxbaxaxannnmmmx . (A) nm ; (B) nm ; (C) nm ; (D) nm, 任意取 . 4、设 1 , 1 0(), 0 1xxfx 则 )(lim0 xfx( ) (A)-1 ; (B)1 ; (C)0 ; (D)不存在 . 5、 xxx 0lim( ) (A)1; (B)-1; (C)0; (D)不存在 . 6、 limnn x存在是数列 nx 有界的( ) (A)必要而非充分条件 ; (B)充分而非必要条件 ; (C)充要条件 ; (D)既非充分又非必要条件 . 7、 数列 , 65544332 的极限是 ( ) (A)0 ; (B)1; (C) 21nn ; (D) 不存在 8、 若函数 )(xf 在点 0x 处的极限存在,则 ( ) (A) )(xf 在点 0x 处的函数值必存在且等于极限值; (B) )(xf 在点 0x 处的函数值必存在,但不一定等于极限值; (C) )(xf 在点 0x 处的函数值可以不存在; (D)如果 )(xf 在点 0x 处的函数值存在的话,一定等于极限值 . 9、 当 1x 时, )1(211 2xx 是 的 ( ) 无穷小。 (A)高阶; (B)低阶 ; (C) 等价 ; (D) 2 阶 . 10、 函 数 xy 在 0x 处 ( ) (A) 无极限但连续; (B) 无极限且不连续; (C) 有极限但不连续; (D) 有极限且连续 11、若数列 nx 有极限 a,则在 a 的 邻域之外,数列中的点( ) (A) 必不存在; ; (B) 至多只有 有限多个 ; (C) 必定有无穷多个 ; (D) 可能有有限个,也可能有无限多个 12、若数列 nx 在 a 的 邻域内有无穷多个数列的点,则数列 nx ( ) (A) 必 有极限,但不一定等于 a; (B) 极限存在,且等于 a; (C) 极限不一定存在 ; (D) 一定不存在极限。 二 、填空题 1、 设函数 s i n , 1()( 1 ) 1 , 1a x xfx a x x 在 1x 连续,则 a=( ) . 2、设函数 2 ,1()2 1 , 1a x xfx xx , 且1lim ( )x fx存在,则 a =( ) 3、设 函数 c o s , 0 ,(), 0 ,xxfx a x x 在 0x 连续,则 a=( ) 4、 设 函数21sin , 0(),0xxfx xa x x 在 0x 连续,则 a=( ) 5、 sinlimxxx=( ) 6、01lim sinx x x=( ) 7、 1lim sinx x x=( ) 一、 计算极限 (1) 55limxxxx(2) 201sinlim sinx x xx (3) 22134lim1xxxx (4) 3lim xxxx(5) 22343lim 9xxxx ; (6) xarctanlimx (7)42lim 11x x (8) 22)1( 12lim nnnn ; (9) 3 21lim3 xxx; (10) xx x20 )1(lim ; (11) )1(lim1 xx ex; ( 12) 225lim3xxx ; (13) 4lim ln 1 xx x; ( 14)11lim 1xxx ; 四、证明题 1、 证明方程 324 1 0xx 在区间 ( 0, 1) 内至少有一个根 。 2 、设 ( ) 0 , 2 f x C a , (0) (2 )f f a , 证明至少存在 一点 0, a , 使( ) ( )f f a。 3、 证 明 3 1xxe至少有一个不超过 4 的正根 . 4、设 ()fx在区间 , ab 上连续,且 ()f a a , ()f b b ,证明至少存在一点( , )ab ,使得 ()f 。 5、设 f (x)在 a, b 上连续, a x1 x2 xn b, 证明 : 至少存在一点 x1 , xn , 使得 12( ) ( ) ( )( ) .nf x f x f xf n 第二章 一元函数的导数与微分 一、选择题: 1、设函数 f(x)在 x=x0 处可导,则必有: ( ) 0yA. ; 0dyB. ; dyyC . ; 00 yD xxlim. 2、若函数 f(x)有 210 )(xf,则当 0x 时 , 该函数在 x=x0处的微分 dy 是 ( ) 等价的无穷小与 xA . ; 等价无穷小同阶的无穷小,但不是与 xB . ; 低阶的无穷小比 xC . ; 高阶的无穷小比 xD . . 3、若 Aax afxfax )()(lim, A 为常数 , 则有 ( ) 处连续在点 axxfA )(. ; 处可导在点 axxfB )(. ; 存在)(lim. xfC ax ; )()()()(. axoaxAafxfD . 4、 若函数 f(x) 在 点 x0 及其邻近有定义 , 且有: )()( 00 xfxxf 2xbxa , ba, 为常数 ,则有 ( ) 处连续在点 0xxfA )(. ; axfxxfB )()(. 00 处可导且在点 ; adxxdfxxfC )()(. 00 处可微且在点 )()()(. 充分小当 xxaxfxxfD 00 5、设 )(sinxfy , 则 dy ( ) dxxfA )(sin. ; dxxfB )(cos. ; xdxxfC co s)(s in. ; xdxxfD sin)(cos. 二、填空 1、设 )( 0xf 存在 , 按照导数公式计算极限 : 0 00 xx xfxfxx )()(lim( ); 2、设 )( 0xf 存在 , 计算极限 : x xfxxfx )()(lim 000( ); 3、设 )( 0xf 存在 , 计算极限 : hxfhxfh)()(lim 0002 ( ); 4、设 )( 0xf 存在 , 计算 极限 : hhxfhxfh)()(lim 000( ); 5、设 )(,)( 000 xff 存在 ,则 xxfx )(lim0( ); 6、若曲线方程为 22 xxy , 则过这曲线上横坐标为 1x 点的切线方程为 :( ); 7、已知曲线方程为:tteyex 2 , 则在 0t 处的切线方程为 : ( )。 8、已知曲线方程为:tteyex 2 , 则在 0t 处的 法线 方程为 : ( )。 9、已知曲线方程为: 323232 ayx , 则在 )( aa 4242 , 处的切线方程为 : ( )。 10、已知曲线方程为: 323232 ayx , 则在 )( aa 4242 , 处的 法线 方程为 : ( )。 11、曲线 xy cos 在 )( 213, 处的切线方程为 : ( )。 12、曲线 xy cos 在 )( 213, 处的 法线 方程为 : ( )。 13、 dxxd )( . 14、 w td xd s in)( 三、计算题 1、讨论函数 |)( xxf 在 0x 处的连续性和可导性 。 2、讨论函数.,.,s in)(050012xxxxxf 在 0x 处的连续性和可导性 。 3、设函数 ., ,)( 221 2 xbax xxxf , 为了使函数 在 2x 处可导 , ba, 应取什么值 ? 4、抛物线 2xy 上依次取横坐标为 31 21 xx , 两点 , 作过这两点的割线 , 问抛物线上哪一点的切线平行于这条割线 。 5、求下列函数的导数 dxdy : (1)、3 21xy (2)、xxxy4 33 (3)、35 1x xxy (4)、 )( xxy 22 (5)、 xxy 23 ln (6)、 22 sincos xxy (7)、 xxxy sectan 2 (8)、 xx xy cotln 2(9)、 xxxxy co s)co t( (10)、 xxxy lnsin (11)、 322 loglog xxy (12)、 xxy cossin11 6、求下列函数的导数 dxdy : (1)、 10010 )( xy (2)、 )sin( 22 xy (3)、 xy lnln (4)、 2xy arctan (5)、 2)(arcsin xy (6)、 xxy 12 sin (7)、 )ln(sin xy 1 (8)、 )ln( 22 xaxy (9)、 xxy 11arctan (10)、 xey arctan (11)、 nxxy n cossin (12)、 xy 2arccosln (13)、 )(sec xey 23 (14)、 )(lnsec xy 3 (15)、 xxy 22 cotsin (16)、 )ln(sin x xy 12 (17)、 xy 21 ln (18)、 )(csc xy 32 (19)、 421 )sin( xy (20)、 xey 3tan 7、设 )(),(),(),( xxgxfxF 都可导 ,求下列函数的导数 dxdy : (1)、 )( 2xfy (2)、 )(ln( xfy (3)、 )(ln xgfy 8、求下列函数的导数 dxdy : (1)、 0333 axyyx (2)、 yxexy (3)、 0 xyee xy 9、用对数法求下列函数的导数 dxdy : (1)、 xxxy 1(2)、 xexy x sin 1 (3)、 xxy sin 10、求下列函数的二阶导数22dxyd : (1)、 12 xey (2)、 )ln( 21 xy (3)、 2xxey (4)、 )ln( 21 xxy (5)、 113xy11、求下列函数的导数 dxdy : (1)、 tby tax sincos(2)、 yxey 1 (3)、 122 yx 12、求下列函数的微分 dy (1)、 xxy 21 (2)、 221 )(ln( xy (3)、12 xxy(4)、 xxy 2sin (5)、 )cos( xey x 3 (6)、 )(tan 22 21 xy 四、证明题 1、证明:双曲线 2axy 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积等于22a 。 2、证明函数 ., ,cos 00xe xxy x在 00x 处不可导 。 3、证明函数 ., 11xx xxy ,在 10x 处不可导 。 第三章导数与微分 微分中值定理 1.选择题 ( 1)下列函数在给定区间上满足罗尔定理的有( )。 A. 2 5 6 2,3y x x B.231 0, 2( 1)y x C. 0,1xy xe C. 15 0, 515xxy x ( 2)函数 ()fx在 a,b上连续,在 (a,b)内可导, a 1x 2x b,则至少存在一点 ,使( )必然成立。 A. ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )f b f a f b a a b B. 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( , )f x f x f x x a b C. 12( ) ( ) ( ) ( )

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