论文动力系统的分形图形分析和绘制

郑州轻工业学院本科毕业设计（论文）题 目 动力系统的分形图形分析和绘制 学生姓名 黄永煌 专业班级 数学与应用数学 学 号 541110020109 院 （系） 数学与信息科学系 指导老师（职称） 何红亚 完成时间 2015年 5月 20日 动力系统的分形图形分析和绘制 2目 录中文摘要英文摘要第一章 绪论 .31.1 分形理论的起源和发展 .31.2 分形维数的定义 .31.3 分形理论对科学理论方法产生的影响 .41.4 分形理论的研究现状 .41.5 本文主要讨论的问题 .5第二章 复动力系统 .62.1 复分形理论 .62.1.1 复解析函数 .62.1.2 复二次多项式迭代 .72.2 Julia集 .82.2.1 Julia 集的一些基本性质 .82.2.2 Julia 集分形图的分析绘制 .82.3 Mandelbrot集 .112.3.1 Mandelbrot 的性质 .122.3.2 Mandelbrot 集的图形绘制与分析 .122.4 Julia集和 Mandelbrot之间的关系 .162.5 高阶 Julia集的反函数迭代法 .17动力系统的分形图形分析和绘制 32.5.1 函数定义 .182.5.2 反函数迭代法的算法 .182.5.3 逃逸时间算法与反函数迭代算法 .202.6 本章小结 .20第三章 双二次多项式系统 .223.1 双二次多项式 Julia集连通性 .213.2 双二次动力系统的分形图绘制和分析 .213.2.1 动力系统的性质 .213.2.2 双二次动力系统算法分析 .22第四章 广义 Julia 即和 Mandelbrot 集 .224.1算法构造和图形绘制 .224.2 Mandelbrot集算法与图形绘制 .244.3 其它的广义 Julia集和 Mandelbrot集 .26第五章 牛顿迭代法生成分形图形 .225.1 牛顿迭代法的基本原理 .295.2 牛顿迭代法的算法 .30结束语 .31致谢 .32参考文献 .33动力系统的分形图形分析和绘制00动力系统的分形图形分析和绘制摘 要分形是数学发展分支上的一门新的学科，虽然才发展二十年，但是却取得了许多卓有成效的成果。分形主要是为了研究不规则，复杂几何图形而发展起来的一门学科。利用分形理论，再借助 MATLAB，VB 等数学软件，可以画出许多不规则图形，同时也可以对这些不规则图形进行分析。本文将先给出复动力统的定义和概念,并在复平面分析二次多项式的一些性质，利用 MATLAB 绘制出经典的 Mandelbrot 集和 Julia 集，根据图形研究这两种集和的关系。之后我们将复平面上的二次多项式提高到四次多项式，最后通过逃逸时间算法和牛顿迭代法将它们推广到高次，且常数可以为复数的更加一般的情况。主要内容如下：1分析二次多项式的数学方法给出 MATLAB 的算法，绘制 M-J 集的图形。进 一步研究双二次多项式系统。2将经典的 M-J 集推广到高阶，分别用了逃逸时间算法和牛顿迭代算法，给出算法，绘制出图形。关键词： fractal； 动力系统： Mandelbrot 集；Julia 集；双二次动力系统； 广义 J-M 集；牛顿迭代.动力系统的分形图形分析和绘制11Fractal graphics rendering and analysis of power systemsAbstractFractal is a new mathematical development branch disciplines, although the development of 20 years, but many fruitful results have been achieved.Fractal is mainly to study the irregular, complex geometry and developed a discipline.Using the fractal theory, and then with the help of MATLAB and VB software such as mathematics, can draw many irregular graphics, but also can analyze these irregular graphics.This article first presents the definition and concept of complex power system, and in the complex plane analysis some properties of quadratic polynomial, use MATLAB to draw out the classic Mandelbrot set and Julia set, according to a study in graphics both of these sets and relations.Then we will be on the complex plane quadratic polynomial to four polynomial, finally through the escape time algorithm and Newton iterative method to promote them to the high times, and constant for the plural more general situation.The main contents are as follows:1. The mathematical method of quadratic polynomial are analyzed and MATLAB algorithm, drawing graphics of M - J set.Further study of biquadratic polynomial system.2. Will the classical M - J set to higher order, respectively, with the escape time algorithm and Newton iteration algorithm, algorithm, rendering the graphics.Key words: fractal; power system; Mandelbrot set; Julia set; Pairs of secondary power system; The set of generalized J - M;Newton iteration.动力系统的分形图形分析和绘制22第 1 章 绪论1.1 分形理论的起源和发展分形理起源于上个世纪 70 年代，创立不久就激起了人们极大的兴趣，与耗散结构、混沌并称为 70 年代科学史上的三大发现。这门学科发展了三十多年，已经成为了一门独立且研究更加深入的学科。曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于 1967 年在在美国科学( Science) 杂志上发表了的论文英国的海岸线有多长,在这篇具有划时代的论文中他首次阐明了分形思想。通常被认为是“分形”学科诞生的标志。曼德布罗（B.B.Mandelbrot）特在他的随后两本著作自然界的分形几何学和分形：形状、机遇与维数第一次用 fractal 来表示分形，并且分析了分形的研究思想和研究方法，提出了分形的主要性质，分别为它的自相似性性质和自反射性质。他还进一步分析了分形维数的问题，在传统整数维度的基础之上将分形的维数推广到了分数维度，即分形的维数是具有连续性质的。我们应该认识到自然界的自相似性是广泛存在的，从小的方面看，花草树木中细微的纹理和自身整体的相似，大的方面，宇宙天体系统也存在自相似性质，自相似性是整体宇宙中广泛存在的，且分布在各个层次上。分形发展到现在，已经不是简单的分析传统的集合维数、自相似性、复平面上的二次多项式，而是将分形扩展到了复平面上的高次多项式，即广义的分形，广义的分形对于研究现代信息，时间，微观粒子，结构方面具有先天的优势。现代科技的不断发展，分形已经深入到科技，文化，教育的各个方面。衍生出了更加细致深入的分形科学，比如，分形化学，分形广告学，分形染色学，分形经济学，分形物理和分形生物等等一系列围绕分形研究的学科。 1.2 分形维数的定义分形维数(fractal dimension)从字面上看可以理解为具有分数维数的几何图形，这是分形理论的重要概念和定义。它是对图形复杂程度和粗糙程度的度量，图形越复杂粗糙，分维就越大。在传统观念里维数只有整数，而分维的提出是动力系统的分形图形分析和绘制33人类的认知有了质的飞跃。数学家们利用分形维数的思想和定义找到了点和线之间一种特殊的集合，后来人们将这种集合定义为康托尔集（Cantor），依据点线之间具有康托尔集，后来数学家们又在线和面之间找到了伊农（Henon）吸引子。分形为数有很多定义，最有代表性的是 Hausdorff 维数。对于任意一个确定维数的几何体，如果用和它维数相同的单位尺度 r 来度量，大小 N（r）和单位尺度 r 之间有下面的关系：（1.1） )/1ln(l)(rNDHrN或式子中 是 Hausdorff 的维数，它可以是整数，也可以是分数。DH1.3 分形理论对科学理论方法产生的影响分形理论和分形方法的提出对现代科学思想和科学方法产生巨大的影响，它让我们从传统的思维束缚中解放出来，开辟了新的思想领域。它将整体和部分，混乱和规则，有限和无限，连续和间断融合在一起。使人们在混沌无序中认识有序，由部分认识整体和由整体进一步认识部分，从有限到无限再从无限到有限的进一步认识。是人们的认识从线性过度到了非线性。现在，分形理论的发展为各个学科的发展提供了强大的动力，在科学，经济，工业，航空当中发挥着重要作用。第一，分形理论为研究自然界复杂的形状，结构，地质提供了方法。第二，它为混沌学的研究提供了数学工具，分形几何学对混沌几何产生了重要影响。第三，它为研究复杂的自组织提供了新的思路和方法。第四，分形理论对大脑的开发与探索提供了新的思路和方法。1.4 分形理论的研究现状分形是一门新兴的学科，发展至今已经取得了丰硕的成果。当前分形的发展主要有三个分支。第一，分形的基础理论研究，如维数的性质与分析，分形集的整体和局部结构，分形的有限与无限的理论的研究。第二，分形理论在实际生活中的应用，如在地理，生命科学，航天航空，艺术等方面都有广泛的应用。第三，分形图形的绘制与分析。现在发展较快的是二和三两个分支，尤其动力系统的分形图形分析和绘制44是分形几何在图形方面可以绘制出优美的图案，对现代广告，绘画，衣服的图案都有很大的影响。随着各个学科对分形理论的应用，分形理论也在不断发展壮大，分形理论的学术文章也在不断增加。但我们仍然面临着许多分形理论的问题，需要进一步的讨论与研究。（1）如何定义一个分形虽然分形不断发展，但它的明确定义却很是困难。从维数方面我们可以说具有分数维度的图形就是分形，从几何方面定义，分形是没有特征长度但具有相似性图形结构的总称。它有两个基本性质：自相似性和标度不变性。因为没有严格的分形定义，目前判断是否为分形是困难的。（2）关于 Julia 集和 Mandelbrot 集的深入研究Julia 集和 Mandelbrot 集是由复二次多项式迭代而来，这两个集和有很大的关系。M 集的边界维数的计算和连通性的研究，对于 Julia，当其中的参数发生变化时Julia 集将会发生爆炸，复指数和复正弦函数中也发生了这种情况。这还需要深入的研究。（3）其它问题1 分形曲线连续可导的问题2 如何由分形维数重新构建分形的问题3 分形的动力学机制1.5 本文主要讨论的问题对已经研究的成果进行归纳，尤其是对复动力系统和二次系统分析和研究，进而推广到高阶的多项式。复动力系统主要提出了 Julia 集和 Mandelbrot 集之间的关系，以及研究将它们推向高阶时所产生的一些性质。我们主要通过构造算法，写出它们的绘制图形的算法清单，通过图形进一步研究这些图形的关系。动力系统的分形图形分析和绘制55第 2 章 复动力系统A.Cayle 在 19 世纪初就对分形的牛顿迭代法进行了深入的研究。Julia 和Fatou 于 1920 年将分形的复有理数迭代方法和复多项式迭代方法推向了高次的迭代方程当中，达到了一个全新的高度。而后沉寂了了 50 年，直到 1980 年，B.Mandelbrot 绘制出了以他名字命名的 Mandelbrot 集，使得这一领域又焕发出了新的生命力。2.1 复分形理论2.1.1 复解析函数用 C 表示复平面， 表示复平面上的点，其中 ，用yixz1iRe（z）和 Im（z）来表示 z 的实部和虚部 是复数 z 的模。yxz2定义 2.1 称复平面上一个函数 ： 在点处 是解析的，FC0如果下列极限存在：（2.1） ZZz00)(lim)(0对复平面上的一个连通开集 , ,如果函数 : 在任意 都为解析UCFCUUz0的，则 在 中也是解析的。F