反例在数学分析中的应用毕业论文

本 科 毕 业 论 文题 目： 反例在数学分析中的应用 学生姓名： 学 号： 专 业： 数学与应用数学 班 级: 指导教师： 二 一 年 月反例在数学分析中的应用摘要：数学分析是一门很重要的基础课程，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。而在数学分析中存在很多定理命题，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解。反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用。恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用。 关键词： 数学分析 反例 数列 极限 微积分Abstract：Mathematical analysis is an important basic course, its very important to the formation of mathematical thought of students and learning of the following courses.However there are a lot of theorems and propositions, using appropriate counterexamples from another side can recognize the essence of concept or rules, and its easier to deepen the understanding of knowledge. The counterexample of thought is an important thought in Mathematical thought, and it plays an irreplaceable role in the understanding of the concept, nature and the research, reasoning of problems. To understand concepts correctly, Consolidate and master theorem, formula and rule, etc, train the logical thinking ability of students and prevent and correct errors, its necessary to use counterexamples felicitously.Key words: Mathematical Analysis Counterexample Series Limit Calculus目录序言 .11 收敛数列的性质及反例 .21.1 关于收敛数列的定义应用不当产生的反例 .21.2 关于单调有界数列收敛的定理逆命题的反例 .31.3 关于数列收敛四则运算法则的反例 .41.4 有界变差数列逆命题的反例 .52 函数极限与性质的反例 .62.1 函数极限的定义的反例 .62.2 无界函数与极限趋于无穷大概念混淆产生的反例 .62.3 关于不连续函数的和与积是连续函数的反例 .72.4 周期函数的和不是周期函数的反例 .82.5 介值定理的反例 .93 一元函数微积分中的反例 .103.1 一元函数微分学中的反例 .103.1.1 中值定理相关反例 .103.2 一元函数积分学反例 .123.2.1 Riemann 可积相关反例 .123.2.2 Newton-Lebniz 公式相关反例 .133.2.3 积分中值定理相关反例 .134 级数中的常见反例 .144.1 级数收敛，但其立方项级数不收敛 .144.2 条件收敛级数重新排序后发散的反例 .154.3 条件收敛级数可以不是交错级数 .154.4 两级数收敛，但它们的 Cauchy 乘积发散 .165 多元函数微积分中的反例 .175.1 多元函数的极限与连续及其微分学反例 .175.1.1 累次极限和二重极限的相关反例 .175.1.2 多元函数微分学其他反例 .185.2 重积分及其反例 .195.2.1 同一函数累次积分不同的反例 .195.2.2 与曲线方向无关的第二类曲线积分 .20总结 .22参考文献 .23致谢： .24- 1 -序言在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地。数学是在归纳、发现、推广中发展的。反例在数学的发展中功不可没。反例不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反例。因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例中得到修补的启示。举反例是一种重要的反证手段。重要的反例往往会成为数学殿堂的基石。反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反例。至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。本文一共分为五个章节：数列、函数、一元函数微积分、级数和多元函数微积分。数列部分主要以讨论数列的收敛定义、收敛数列的判定、收敛数列的性质等反例；函数主要讨论了函数的连续，有界，周期等性质的反例；一元函数微积分学分别讨论了中值定理， Riemann可积等相关反例；级数部分讨论了几种特殊级数的反例；多元函数微积分学讨论了累次极限，累次积分等反例。针对大学期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证。- 2 -1 收敛数列的性质及反例1.1 关于收敛数列的定义应用不当产生的反例一般的，有如下收敛数列的定义。设 为一数列，如果存在常数 ，对任意给定的正数 ，总存在正整数naaN，使得当 时，不等式n都成立，那么就称常数 是数列 的极限，或者称数列 收敛于 ，记为：ana,anlim或 ).( n如果不存在这样的常数 ，就说数列 没有极限，则称 不收敛，或anana称 为发散数列。na在应用极限的精确定义判定数列是否收敛时，可能由于应用不当产生错误，可能会产生以下两个论断(1)有无穷多个 ，对每一个 ， ，当 时，有 .0Nnan(2)对任意正数 ，有无限多个 ，使 .nan这两个论断看似跟精确定义等价，而实际上，它们忽略了重要的问题。论断(1)忽视了 的最本质属性“任意小正数” 。存在反例：数列 ， 尽管有无穷多个 （如 = 3,4,5.）,可以使1()nna 0|1()|nnaa（这里 可以是0或1）小于每一个 ( = 3,4,5.)，但却不能使 比任意小的正数 还要小。|(1)|nna 论断(2)对任意 ，虽然有无限多个 使| 成立，但它忽视了0nan- 3 -对每一个 ，都必须存在某个自然数 N ，即数列 的某一项 ，从 以0 naNa后的所有项都必须满足 存在反例：na,.14,321,n对任意正数 ，有无限多个an在 0 的 邻域内 内；但是 中从哪一项开始，其后总有不包含在(0,)内的项。(,)1.2 关于单调有界数列收敛的定理逆命题的反例单调有界数列收敛定理是数学分析中的一个重要定理，但是，它的逆命题收敛数列必单调有界是否成立呢？答案是否定的，因为存在反例：收敛，但是不单调的数列比如： .3,21 ,)(2nxn其极限 0)(limlinxn但是对于任意正整数k,都有 231 ,231kkk 即 kkkxx1221 ,所以，数列并不单调既然存在收敛，但是不单调的数列，是否存在单调但不收敛的数列呢，这个反例很容易找，比如：， 单调增加，但是不收敛；na， 单调减少，亦不收敛。 b从单调性出发考虑此逆命题存在反例，如果从有界性考虑呢，是否也有类似的反例?- 4 -反例：发散的有界数列显然对一切 n，都有 ，显然有界，但是该数列并不收敛。(1)na 1na以上三个反例都说明，该命题并不是充分必要的，只是充分不必要条件。1.3 关于数列收敛四则运算法则的反例在判断数列是否收敛时，运用四则运算法则，并不是机械的对极限加减乘除。而是需要考虑它们每一项的收敛与否。naa+b,-,abn nnnb 若 与 为 收 敛 数 列 ， 则 也 是 收 敛 数 列且有： nnnnnn lim )(li lim)(li特别当 为常数 c 时：nb nnnn accaa li )(li li )(li 若再设 收 敛 ， 且且及 ,0limnnnbbnnbalimli两个数列发散，但是其和可能收敛，如有反例 2)1(,2)1(nnnyx显然这两个数列都是发散的，但是数列 1)()()(lim1nnnnyx却是收敛的。两个数列一个发散、一个收敛，但是其积可能收敛，如有反例 1,nyxn因为： 0limlinn，则 发散的， 是收敛的，但是数列nxny 1lilinyxn却是收敛的。- 5 -两个数列发散，但是其积可能收敛，如有反例 1)(,)1(nnyx显然这两个数列都是发散的，但是数列 )()(lim1nnnn却是收敛的。两个数列发散，但是其商可能收敛，如有反例 3,yxn显然这两个数列都是发散的，但是数列 0lim/li3nn却是收敛的。1.4 有界变差数列逆命题的反例关于数列收敛中有界变差数列必收敛这一论断，我们引入有界变差数列的定义。定义：对于数列 ,存在常数 M， 使得nx ),.21( .12312 nxn则称这个数列是有界变差的但是，它的逆命题收敛数列是有界变差数列并不成立：存在反例：令 ，nkkx1)(则有： 1)(.3121)( pnnnxnp .54()于是，按照 Cauchy 收敛准则， 收敛。nx但是 nxsnn 1.2.1121因此 不是有界变差数列。nx- 6 -2 函数极限与性质的反例2.1 函数极限的定义的反例函数极限的定义：设函数 在点 的某一个去心邻域内有定义，如果存fx0在常数 A， 对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当 满足不等式xAf)(那么常数 A 就叫做函数 当 时的极限。fx0如果应用极限精确定义不当会产生反例 为 无 理 数 。当 为 有 理 数 ；当 xxf ,1)(2显然， 而且对于 ，使得0f ,10），（ )()(xffx则 必定是有理数，由此有：x 2)(f即 x0这个反例说明： 的 连 续 性 。了不 等 式 的 点 ， 从