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有优先权的三状态两部件冷贮备系统的可靠性分析Reliability Analysis of Cold Standby System ofTwo Units of Three States with Priority 2016 届 数 理 系专 业 数学与应用数学 学 号 20123147 学生姓名 罗 XX 指导教师 刘 XX 完成日期 2016 年 6 月 15 日石家庄铁道大学毕业论文石 家 庄 铁 道 大 学 毕 业 论 文摘 要冷贮备系统由部件 1 和部件 2 和一个修理工组成. 每个部件有三个状态:正常、异常和故障. 正常和异常状态都是部件的工作状态,部件从正常状态开始工作,然后到达异常状态,最后故障. 部件 1 的使用和修理有优先权. 开始的时候部件 1 开始正常工作,部件 2 贮备,当工作部件故障时贮备部件继续工作. 当部件 1 故障部件2 正在修理时,部件 1 必须立即得到修理. 部件 1 修好后进入工作状态部件 2 继续修理. 当部件 1 修好部件 2 正在工作时,部件 1 开始工作部件 2 进入贮备. 部件的正常工作时间、异常工作时间和修理时间均服从指数分布且互相独立. 利用马尔科夫过程方法得到了系统的所有可靠性指标. 数值实例表明结果是可行的. 关键词:马尔可夫过程 冷贮备系统 可靠性指标石 家 庄 铁 道 大 学 毕 业 论 文AbstractThe cold standby system consists of unit 1 and unit 2 and one repairman. Every unit has 3 states: normal、abnormal and failure. The normal and abnormal are working state of unit. Every unit starts working from normal,then goes to abnormal,last fails. Unit 1 has priority in use and repair. At first unit 1 starts working from normal and unit 2 is standby. When working unit fails, the standby unit goes on working. When unit 1 fails and unit 2 is repairing,unit 1 must be repaired immediately. After unit 1 is repaired,repairman continues repairing unit 2. When unit 1 has been repaired and unit 2 is working ,unit 1 goes to work and unit 2 goes in standby. The normal and abnormal working time and repair time of units are exponential distribution random variables and mutually independent. All reliability indexes of the system are obtained by using Markov process method. Numerical example shows that the result is feasible.Key words:Markov process cold standby system reliability index石 家 庄 铁 道 大 学 毕 业 论 文目 录 绪 论 .11.1 可靠性数学理论的背景及其发展 .11.2 论文的国内外研究背景和现状 .21.3 课题研究的目的和意义 .31.3.1 课题研究的目的 .31.3.2 课题研究的意义 .32 可靠性数学相关理论 .42.1 问题分析 .42.2 马尔可夫可修系统的相关知识 .42.2.1 马尔可夫过程 .42.2.2 马尔可夫型可修系统的一般模型 .62.2.3 系统可靠性指标 .73 有优先权的三状态两部件冷贮备系统的可靠性分析 .93.1 引言 .93.2 模型假设 .93.3 系统的马尔科夫过程模型 .103.4 系统的稳态指标 .143.4.1 系统的稳态可用度 .143.4.2 系统首次故障前平均时间 .143.4.3 系统的故障频度 .154 实例研究 .165 结 束 语 .18参 考 文 献 .20致 谢 .21附 录 .22石 家 庄 铁 道 大 学 毕 业 论 文1 绪 论1.1 可靠性数学理论的背景及其发展随着科学技术水平的高速发展,产品与系统的可靠性对国民经济发展和人民的生命财产安全起到越来越重要的作用,所以对产品的可靠性问题的重视程度也越来越高,随着重视程度的提高,对可靠性的研究也越来越多,这促进了可靠性理论的发展. 可靠性理论主要研究产品的可靠程度及其寿命特征,可靠性理论涉及现实生活中的各个领域. 而可靠性理论的基础理论之一就是可靠性数学,可靠性数学一般是用来研究系统发生故障的原因及其概率,并根据故障产生的原因及故障产生的概率给出发生故障后的修理方案和预防故障发生的措施,比如说,备用部件准备的数量,如何根据不同部件合理分配修理人员. 其研究目的是降低系统在各个阶段的成本、提高系统的效率并保证系统运行的可靠.可靠性数学理论产生于 1930 年左右. 可靠性数学的发展是从研究材料的疲劳寿命问题开始的,在 30 年代爱博斯等人研究了这一问题. 在第二次世界大战期间,随着战争的发展,人们对装备性能的要求进一步提高,为了提高其性能,增加其杀伤力,武器装备趋于复杂化. 然而,当装备的零件个数越多时,其发生故障可能性就越大. 这样装备复杂程度的增高就会导致其发生故障的概率的增加,那装备复杂化就不仅没有任何意义,还可能会因为可靠性的降低造成军队战斗力的下降. 所以,装备的复杂化和系统的可靠性之间存在着巨大的矛盾. 可靠性低这一问题在很多复杂系统中都会出现,如雷达通信系统、航天设备和武器系统等,都存在可靠性较低这一问题,如何解决这个问题以提高复杂系统的可靠度成为推动可靠性理论研究的主要动力. 可靠性研究在 1980 年左右开始了高速发展阶段,现在,可靠性研究在自动化、电子、航天技术和软件等领域有了深入的发展. 可靠性数学研究在我国的发展速度也很快.许许多多学者在这方面挥洒着他们的青春,为可靠性数学的发展做出了巨大的贡献. 现在,可靠性数学的运用范围十分广泛,如物理、航天、机械等领域. 1985 年,Goel 在开关不完全可靠的情况下,研究了修理时间为一般分布的12有优先权的贮备系统. 2001 年,Kovalenko 研究了只有一个修理工且有优先权的三4个不同部件的串并联可修系统. 2015 年,汪军芳和张民悦 研究了三不同部件温910石 家 庄 铁 道 大 学 毕 业 论 文2贮备系统的可靠性,2015 年,刘文娟、孟宪云等 研究了具有使用和维修优先权的1三部件冷贮备系统的几何过程模型. 可靠性理论虽然起源于材料的寿命研究问题,但是现在可靠性问题与实际生活的方方面面的联系越来越多,国际上对它的重视程度也越来越高. 可靠性数学在实际操作中的运用可以提高系统的可靠性,降低系统的成本和风险. 1.2 论文的国内外研究背景和现状可靠性数学模型可分为单部件系统和多部件系统(部件个数大于等于 2),提高系统可靠性的方法主要有两种:一是给原系统中的某些部件并联上一些部件. 但这种方法当某个部件故障时难以被发现,只有当所有部件故障,系统处于故障状态时才能被发现. 二是采用为部件留有贮备部件的方法. 因为当此方案中工作部件故障时,贮备部件可以替换故障部件继续工作. 所以对部件留有贮备部件的方法可靠性更高些. 我们一般考虑较多的是多部件贮备系统. 比如降落伞的备用伞包,在主伞发生故障时,可以立刻启用备用伞包替换损坏的主伞进行降落,使跳伞人员不会因主伞发生故障而发生危险. 这种为部件留有贮备部件的系统就是贮备系统,根据贮备方式的不同还可以分为冷贮备系统和温贮备系统.在贮备期间状态不会改变的是冷贮备系统,在贮备期间可能会发生改变的是温贮备系统随着社会经济和科技水平的不断发展,大家对可靠性的研究也越来越重视,可靠性研究也越来越深入和广泛. 吴太清 、叶尔骅 等人在开关不完全可靠的条件1213下对两不同部件的温贮备系统和冷贮备系统进行了研究. 在实际生活中,不同部件的重要程度、工作效率存在着差别. 如,在供电系统中,备用发电机的可靠性和功率一般都要小于正常使用状态下的发电设备,所以在供电系统中应尽量使用正常状态下的发电设备而少使用备用发电机. 这就表现出优先权在可修系统中的重要性. 优先权这个概念的引入,使得可修系统在可靠性领域有了更广泛的发展.以上研究大都集中在部件只拥有工作和故障两个状态,而对现实中部件拥有三个或以上的状态的情形没有考虑过,而有优先权的三状态冷贮备可修系统更具有实际意义,但尚未见到对此可修模型进行研究的文献,所以,这方面的研究还有很大的空间,本文就是研究有优先权的 2 部件三状态的冷贮备系统的可靠性. 1.3 课题研究的目的和意义1.3.1 课题研究的目的在现实生活的实际操作中,提高系统的可靠性一般都是采用维修等方法. 以前石 家 庄 铁 道 大 学 毕 业 论 文3学者们提出了很多可修系统的模型和维修策略并进行了深入的研究. 这些研究结果对实际中系统的运行提供了理论依据. 以前有关有优先权的可修系统的研究中部件都只有工作和故障两个状态,而实际中很多系统中的部件有三个和三个以上的状态. 本文在现有可靠性研究的结果的基础上,提出了有优先权的两部件三状态的冷贮备可修系统这一新的、更接近实际情况的可修系统模型. 并在一定的假设条件下对此模型进行可靠性分析,得到了系统的可用度和系统首次故障前平均时间等可靠性指标,所得结果可为提高现实生活中的相应系统的可靠性提供参考依据. 1.3.2 课题研究的意义可靠性问题与我们的人身安全和经济效益的联系十分紧密. 因此,研究系统的可靠性问题,对我们来说就显得十分重要. 本课题致力于研究有优先权的两部件三状态冷贮备可修系统的可靠性问题具有较大的实际意义,主要意义有(1)提高系统可靠度,可以降低故障或事故发生的几率,尤其是可以避免灾难性的事故发生. 如 2005 年 4 月 28 日,胶济铁路发生一起客车脱线相撞重大事故,由于运行监控器发生故障,导致列车实际速度与监控数据不符,如果能设有贮备部件,当运行监控器发生故障时,有备用件继续工作,则故障就有可能不会发生.(2)提高系统可靠度,可以使产品的成本降低. 提高产品的可靠性可以使系统发生故障的概率降低,这样就可以降低系统的维修费用,从而使成本降低. (3)提高系统可靠度,可以减少停机时间,提高产品可用率. 为系统设置设备备用件,可使系统在某个设备故障时仍然进行工作,这样就能减少停机时间. 对于某些高危行业如:矿山、运输等,可靠性就显得更加重要.(4)提高系统可靠性,可以增加他人对企业的信任程度,增强企业的市场竞争力,扩大产品对市场的占有率,从而提高经济效益. 现实系统中很多部件都有多个运行状态,并不是仅有工作和故障 2 个状态 . 部件往往正常工作一段时间后再异常工3作一段时间然后故障,但异常工作时间效率可能有所下降. 如果忽视这种实际情况,系统一异常就作为故障处理或将异常作为正常处理,则会降低系统的可靠度或夸大系统的作用,都不利于公司的信誉. 本文研究了这种实际情况,能得到精确的可靠性指标,既能提高系统的可靠性,又有更高的可信度,有利于提高产品的信誉. 2 可靠性数学相关理论石 家 庄 铁 道 大 学 毕 业 论 文42.1 问题分析这是一个马尔可夫可修系统中的可靠性问题,于是我们采用马尔可夫可修系统的一般研究方法进行研究. 先求出此系统的状态转移矩阵,再由状态转移矩阵可得一个微分方程组和一个线性方程组,解线性方程组进而可求出系统的稳态可用度和故障频度. 最后再由拉普拉斯变换可求出系统的可靠度,进而求出系统首次故障前平均时间这一重要指标. 求这些稳态指标需要用到系统的可靠性理论和马尔可夫过程理论等知识. 2.2 马尔可夫可修系统的相关知识2.2.1 马尔可夫过程设 是在 上取值的一个随机过程. 如果 可取任意自然(),0Xt,1EN n数,并且任意 个时间点 ,都有n2ntt(2.1)12112()|(),(),()| ,n nnnpiXiiXtittiE 则 可称为离散状态空间 上的连续马尔可夫过程. 又如果对任意的(),0XtE,均有,u(2.2)()|()(),ijpXtujptij与 无关,则将这种马尔可夫过程叫做时齐的马尔可夫过程. 对固定的 ,函数 叫做转移概率函数. 叫做转移概率矩,ijE()ijt ()ijtpt阵另外,我们假设马尔可夫过程 的状态转移概率函数满足(),0Xt(2.3)01lim,ijijt ijp转移概率函数有以下性质(2.4)()(0)(vupuptijEkkjiijEij如果我们令()(),jtXtjE石 家 庄 铁 道 大 学 毕 业 论 文5表示在时刻 系统处于状态 是的概率,那么有tj.()(0)jkjEptpt时齐的马尔可夫过程有以下重要性质(1)对于时齐马尔可夫过程在有限状态空间 E,以下极限(2.5)0()lim,1,ijijtiitptqjit存在且有限. (2)若记 为过程 的状态转移时刻, 表12,T (),0Xt012,()nTXt示第 次状态转移后过程访问的状态. 若 则 为过程在状态 的停留时n ()nTi1ni间. 则有引理 2.1 对任何 有,0ijEu1 1|(),(),iqunnnpuXije 与 和状态 j 无关. 0,1.n n所以,有限状态空间的时齐马尔可夫过程在任何状态 的逗留时间遵从参数 的i i指数分布 ,与其它状态无关. 如果 ,称状态 为稳定态;如果 ,()iq0iq0iq则 状态 将一直停留 时刻,此时状态 i 为吸1 1|(),(),nnnpTuXTij inT收

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