广义三角函数与双曲函数的性质的研究

诚信书本人所呈交的本科毕业论文是在指导教师的指导下独立完成的研究成果。本人郑重声明除文中已明确注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品及成果的内容。论文为本人亲自撰写，没有从他人文献中抄袭的现象。本人完全意识到本声明意味着本人毕业论文的原创性，如经查证有抄袭事实，同意承担由此导致的一切后果。本人签名：年 月 日摘 要众所周知，经典的三角函数与双曲函数不仅在数学学科中有着非常重要的作用，而且在物理学、工程技术等其它学科中都有广泛的应用。1995 年，Lindqvist 给出了带 的广义三角函数 、 以及广义双曲函数psinpxcosp、 tanx的定义后，吸引了很多感兴趣的学者研究。sinhpx、 cos、 tanhx带有一个参数的广义三角函数 、 广义双曲函数 sipxcsp、 taxsinhpx、及其反函数 的研究是国内外最近发cspx、 taparcn、 r o、 rn展起来的新课题。当 时，这些函数即为基本初等三角函数。2本文主要介绍带有单参数 p 的广义三角函数 , , ,以及广义sipxcoptapx双曲函数 ， ， 的一些分析性质，并用极其简单的方法解sinhpxcostanhx决了文献6中提出的一个公开问题。同时获得了一些单参数 p 的广义三角函数, 以及广义双曲函数 的 Wilker 型不等式以及 Huygens 型不等siptapsip式，这些不等式大大推广了文献11的一些结果。最后利用了 Hlder 不等式推广了 Mitrinovi-Adamovi 不等式以及 Lazarevi 不等式。本论文的研究内容紧密联系国际数学界所关注的前沿和热点问题，研究成果进一步完善了广义三角函数理论，同时也为与之密切相关的特殊函数如Gauss 超几何函数提供了理论基础。关键词：广义三角函数；广义双曲函数；不等式AbstractIt is well known that the classical trigonometric and hyperbolic function play a very important role in several mathematical branches as well as in engineering and physics. The generalized trigonometric and hyperbolic functionssinpx、 co、 tanpxdepending on one parameter were studied by P. sinhpx、 cosp、 tanhpx 1Lindqvist in 1995. Later on numerous authors have extended this work in various directions. Recently the generalized trigonometric and hyperbolic functions of one parameter with their inverse functions have attracted attentions of researchers at home and abroad. For the case when , these functions coincide with elementary 2pfunctions.The main research contents and expected results of this paper are as follows:The analytic properties for the generalized trigonometric and hyperbolic functions of one parameter will be introduced. Meanwhile, the conjecture posed by the experts in 6 will be solved by using the extremely simple method. And some classical inequalities for the generalized trigonometric and hyperbolic functions of one parameters, such as Wilker-type inequality and Huygens-type inequalities are generalized. The Mitrinovi-Adamovi inequality and the Lazarevi inequality of generalized trigonometric and hyperbolic functions of one parameters have been extended.The contents of the research are closely related to the hot issues of the worlds mathematics.The research results can further perfect the theory of hypergeometric function. At the same time, the research results provide theoretical basis for studying the spacial functions which are closely related them such as the Gaussian hypergeometric function.Key words:generalized trigonometric functions; generalized hyperbolic functions; inequalities目 录摘 要Abstract第 1 章 引言 .11.1 三角函数的发展及应用 .11.2 广义三角函数和广义双曲函数在国内外的研究现状 .11.3 研究方法分析 .3第 2 章 定义 .42.1 广义三角函数及反三角函数的定义和基本公式 .42.2 广义双曲函数及反双曲函数的定义及基本公式 .62.3 利用超几何函数定义广义三角函数与广义双曲函数 .8第 3 章 不等式性质 .93.1 Huygens-type 不等式 .93.2 Turn 不等式 .103.3 Wilker 不等式 .103.4 与均值性质相关不等式 .11第 4 章 引理 .12第 5 章 主要结果 .14第 6 章 结论 .18参考文献 .21致 谢 .23浙江理工大学本科毕业设计（论文）1第 1 章 引言1.1 三角函数的发展及应用从古代到今天，天文学的研究都离不开三角学，从最初三角学依附于天文学研究到今天形成独立的分支，三角学的应用越来越广泛，研究其理论也越来越重要。约公元前 150 年，初创三角学，古埃及人用三角学进行距离的测量，观测天象。泰勒斯用相似三角形理论测量出金字塔的高度，是三角学的最初始的应用。公元前 2 世纪，“三角学之父”希帕霍斯创建了弦表，弦表与现代的三角函数表十分相似，他创建弦表主要是为了天文观测。公元 2 世纪，托乐密创建 00-900之间每隔半度的弦表，并建立了许多结合三角函数性质的关系式，同时代，梅内劳斯著成球面学，主要研究了三角学在球面上的推广，将三角学应用于球面上，进行建模，利用三角学得出许多关于球面的性质，至此西方三角学发展至鼎盛时期，我国古代三角学研究比较晚，在周髀算经中记载了陈子运用勾股定理对太阳的高度的测量，1653 年薛风祚与穆妮阁协作编写了三角算法，确定了三角这一称号，1877 年华蘅熙探讨了三角级数展开式问题，这是首次将三角函数推广到三角级数理论。有了数发明后，简化了三角函数的计算过程，减少计算量，对三角函数的研究已经不局限与制作三角函数表，而是转向研究三角学理论。不过因为三角函数表在科学研究中是无法被替代的，进而逐渐演变为现代三角学。在现代，三角函数可应用于复数领域中，也可应用于物理学中，例如利用三角函数的图像性质研究抛物运动，利用其周期性研究波，简谐运动以及电流等。也广泛应用于铁路设计，在国防中也有利用三角函数最值的例子。广义三角函数与双曲函数的运用也很普遍，例如数学中的微分方程，随机过程，复变函数都会用到广义函数理论。广义三角函数与广义双曲函数的性质以及推广它们的相关性质的研究是十分重要的。1.2 广义三角函数和广义双曲函数在国内外的研究现状1995 年，Lindqvist 给出了带有一个参数 的广义三角函数psin,pxco,以及广义双曲函数 (当 时，即tan,pxcot sinh,pxcos,tanhpxcot2为初等三角函数)的定义 1,最初，从微积分上，在 上定义正弦函数,即2/0有关单参数广义三角函数及双曲函数的性质的研究2其中 并将反正弦函数延伸xtxd0)1( ,1,)arcsin2/ 1arcsin2,0)(12/dtt到 .令 ，根据已有的微积分公式，延伸出了带有一个参数 的,(p p反正弦函数的微积分公式，同时也发现了 与带有一个参数 的反正弦函数的pp关系。当 时 s，带有单参数 的反正弦函数退化为普通反正弦函数，22.因为正弦函数求导为余弦函数，根据这一法则，带有一个参数 的2 p余弦函数的相关求导法则也延伸出来。也可用 Gauss 超几何函数给出广义反三角函数和反双曲函数的定义 3110 1sin,;.up pptduFup110ih,;.up ppt，11cosinpp11coshin.ppu，11taipppu11 tai.pppu在这之后，许多有兴趣的学者参与研究。 做为 -Laplacian 算子 的)(sinxp pDirichlet 问题的特征函数，继续研究其性质，有利于完善 -Laplacian 方程的Dirichlet 问题理论。近年来，rpd Baricz, Barkat Ali Bhayo 和 Tibor K. Pogny得到 Grunbaum 不等式 4；Riku Kln, Matti Vuorinen 和张孝惠得到广义三角函数及广义双曲函数的 Huygens 型不等式、Mitrinovi-Adamovi 不等式、Lazarevi 不等式 5等等；同年，尹枥、黄利国和祁峰得到 Wilker 不等式 6，此定理推广了第一类以及第二类 Wilker 不等式。2015 年,rpd Baricz, Barkat Ali Bhayo 和 Matti Vuorinen 得到广义反正弦函数及反双曲正弦函数的 Turn 不等式 7；目前，关于一个参数的广义三角函数和反三角函数的 Turn 不等式、Grmbaum 型不等式虽已有一些结果，且部分结果已经推广到带有两个参数的广义三角函数及反三角函数的相关不等式，但仍有许多问题尚未解决例如文献浙江理工大学本科毕业设计（论文）36在 2014 年提出的公开问题（4.1）sinta.sintappppxx。而一些其他经典不等式，如 Mitri-novi-Adamovi 不等式、新型(0,)2pxHuygens 不等式，新型 Wilker 不等式的推广也有待解决。2012 年国内外学者开始了对带有两个参数 的广义三角函数,(1,)pq的研究，带有两个参数的广义三角函数 及广义双,sinx,cos,tanpqx曲函数 ， 及其反函数的均值性质等分析性质仍需,sinhpqx,cospq,tahpq进一步完善。因此，对广义三角函数、广义双曲函数及其反函数等特殊函数亟待进一步深化与系统研究。1.3 研究方法分析利用原有已知简单不等式，进行变量替换，得出关于广义三角函数和双曲函数的不等式，利用著名的 Arithmetic-Geometric 不等式 5 定理 3.13 3.20：， (1-1)1()ttab(,0,1)abt以及 Bernoulli 不等式：（ ， ）. (1-2)(1)attt再者 Huygens-Wilker 型不等式 12：(1-3).rsuv成立条件是 ， 都为正数。这成为证明 Huygens 不等式 Wilker1uv,型不等式的最好工具。参考文献1中不等式：(1-4)3log(0,1).1xx是建立关于广义反正切函数 和广义反双曲正切函数 不等式的arctnp arctnhpx工具，还需用到级数理论：; (1-5)210(),;,!nnbxFbxa有关单参数广义三角函数及双曲函数的性质的研究4; (1-6)21(;),;,b bLxFx() 2121,;,;,;,pq qPpqFx (1-7)(;)(;).qpLxx进行相关计算代换，从而可得到关于 和 的不等式。arctnarcthpx在理论研究上，一方面可以对各研究方向相关文献中已有的结果进行分析、归纳和总结，并利用计算机对一些特殊函数进行模拟计算，给出广义三角函数、广义双曲函数的相关性质。另一方面可以利用超几何函数所满足的恒等式或通过级数出发、利用超几何级数、特殊函数的理论和方法进行研究，再通过参数特殊化等方法，得到一系列关于广义三角函数、广义双曲函数以及广义反三角函数、广义反双曲函数的分析性质及相关不等式。在整个研究过程中依据不同的问题选取适当的研究方法，并不断对最初的问题、目标和方案进行适时调整，而且还要从参考文献和实际应用中寻找新的问题，探索新的理论，进行新的研究。通过这些研究澄清有关三角函数理论中尚未解决的猜想或问题。第 2 章 定义2.1 广义三角函数及反三角函数的定义和基本公式对于 ，定义 的反函数 为：0,/2xsinxarcsinx（2-1）21/()0arc),td其中（2-2）21/()0arcsin).2t对于 ,广义反正弦函数 定义为：1,p0/xarcsin()px（2-3）1/()0arcsin),pxptd其中（2-4）1/()0arcsi).2pppt浙江理工大学本科毕业设计（论文）5当 时，广义反正弦函数 退化为反正弦函数 .广义正弦函2parcsin()pxarcsinx数 的反函数为 .同样的，对于 ，广义余弦sin()xip1,p0,/2函数 定义为：cop（2-5）1/cos()sin().ppxx因为（2-6）si()cs(),ppdx（2-7）ino1,.ppxR所以有（2-8）21cs()cs()in(),0/2.ppp pdxxx对于 ，广义正切函数定义为：1,p0,/2x（2-9）sin()ta(),:.co