高中数学教学中的陷阱奉化市教师进修学校 (1)word文档

摭谈高考立体几何解答题的若干特点浙江省湖州新世纪外国语学校莲花庄校区 313000 黄加卫立体几何是高中数学的主干内容之一,由于它在培养学生空间想象能力、逻辑推理能力等方面有着独到的作用,因而成为历届高考重点考查的内容.笔者通过对近三年的高考中的立体几何解答题的仔细观察与分析,发现其除了出现一些常规的问题以外,还呈现出以下几个特点,故叙述如下,以供研讨.1“倾倒型几何体”所谓“倾倒型几何体”指的是把棱柱、棱锥以及棱台等常见的多面体或旋转体“推倒”或“倒置”后而形成的几何体.这种几何体能够切实地考查考生的空间想象能力、掌握知识的水平以及模式识别的能力.例 1 (2008 年四川理科卷) 如图 1,平面 平面 ,四边形 与 都是直角梯形,ABEFCDABEFCD, , .90BADFBC/12ADE/（）证明: 、 、 、 四点共面；（）设 ,求二面角 的大小.分析（）如图 2,延长 交 的延长线于点 ,由G得ADBC21/.12GBCAD延长 交 的延长线于 ,同理可得 ,FEG 12EBFA故 ,即 与 重合.故命题得证.（）设 ,则 , ,取 中点 ,则1AB1C2ADM,又由已知BMAE得, 平面 ,故 ,所以 平面 .作DEFBE ,垂足为ND,连结 ,由三垂线定理知 为二面角NNE， 的平面角.而.故 , 213BM， 26tanNB所以二面角 的大小为 .AEDB26rct评注 实际上多面体 是一个“倾倒的三棱台”,如果能够认识这点实质,解决此题便水到渠成了.这就要AFC求考生能够通过对几何体的表面特征的识别,从而还原其本来面目.2006 年湖南理科卷、2007 福建文科卷、2007 四川文科卷等高考卷中的立体几何解答题便属于这种题型.2 “墙角型几何体”在立体几何问题中,若其中有一条棱(或一个面)与底面垂直的几何体,它的形状就像墙角的一部分,我们就形象地称此几何体为“墙角型几何体”.本类试题主要抓住这条垂直于底面的侧棱 (或侧面)展开,解答时既可利用传统的几何方法求解,也可利用空间向量的方法求解.由于“墙角型几何体”中有一条侧棱 (或侧面)与底面垂直,为建立空间坐标系提供了很大的便利,所以多数情况下利用空间向量求解会更容易一些 ,而且可以大大减小思维量,操作简单易行,充分体现了向量的工具性.例 2(2008 年安徽卷)如图 3,在四棱锥 中,底面OABCD 为四边长为 1 的菱ABCD形, , 底面 , , 为 的中点 ,4ABCOAB2M为 的中点N()证明:直线 平面 ；MN CD()求异面直线 与 所成角的大小； ()求点 到平面 的距离.分析 作 于点 ,如图 4,分别以 所在直PAOPB,线为 轴建立坐标系,则xyz,222(0)1,(0,)(,0),(),(0,1),0)4ABDMN图 1ABCFE)(GNM图 2NMABDCO图 3() .222(1,1),(0,),(,)4MNOPD设平面 的法向量为 ,则 .OCDnxyz,0nO即 取 ,解得 ,20,yzx2z(0,42), 平面 .0MNn OCD()设 与 所成的角为 ,ABD,21,)(1) 1cos,2ABMD,即 与 所成角的大小为 .3 3()设点 到平面 的距离为 ,则由 ,得 .即点 到平面 的距离为 .BOCDd(1,02)OB3OBndOCD23评注 当然这样的问题仅在 2008 年的高考中就屡有出现,如全国卷()、北京卷、湖北卷、江苏卷、湖北卷、辽宁卷与陕西卷等高考试卷中的立体几何解答题均属于这种类型.3“组合型几何体”所谓“组合型几何体”指的是除棱柱、棱锥以及棱台等常见的多面体之外,由若干平面图形或立体图形组合或裁剪而成的其它类型的多面体.这类试题往往具有较强新颖性,考生也经常觉得问题的“面目”比较生疏,对其整体特征或性质把握不准,容易走入歧途.例 3 (2008 年浙江理科卷)如 图 5,矩 形 和 梯 形 所 在 平 面 互 相 垂 直 , ,ABCDEFCFBE/.,90CEFB23EFAD()求证: 平面 ；/()当 的长为何值时,二面角 的大小为 ?60分析 如图 6,以点 为坐标原点,以 和 分别作为 轴,B， x轴和 轴,建立空间直yz角坐标系 .设 ,xyzBabCc， ，则 , , , , .(0)C， ， (3)A， ， (0)， ， (30)E， ， ()Fc， ，（）由上易得 , , ,E， ， ， ， 0Bb， ，所以 , ,从而 , ,所以 平BCAC面 .因为 平ABEC面 ,所以平面 平面 .故 平面 .DF D D（）因为 , ,而 , ,(30)cb， ， (3)E， ， EFA|2故 解得 .所以 , .23)(bc， 4， 0a， ， (310)， ，设 与平(1)nyz， ，面 垂直,则 , ,解得 .又因AEF0nEF3(1)na， ， 为 平面 ,BAEFC,所以 ,得到 .(0)Ba， ， |cos2BA， 9DAB E FC图 5DABEFCyzx图 6x yzNMABDCOP图 4G所以当 的长为 时,二面角 的大小为 .AB92AEFC60评注 解决此类问题时,考生一般应具备较强的立体几何基础,也能较熟练地运用相关知识去解决类似问题.不过其关键还是在于应抓住问题中的点线面的关系,以不变应万变,这样才能立于不败之地.2006 天津卷、2007 江西文科卷等高考试卷中的立体几何解答题均属于这种类型.4“常规综合型几何体”所谓“常规综合型几何体”主要指的是对于试题考查的范围和难度而言的.这类相关几何体的问题中往往涉及到函数、方程或数列等知识,即使是仅限于立体几何本身的话,也经常把诸多知识点放在一块进行考查.这类试题有时还带有探究的意味.例 4(2008 年辽宁理科卷)如图 7,在棱长为 1 的正方体 中,ABCD,截面 ,截面 .bBQAP10(DAPQEF/APGH/()证明:平面 和平面 互相垂直；GH()证明:截面 和截面 面积之和是定值,并求出这个值；()若 与平面 所成的角为 ,求 与平面 所成角的正弦值.EDPQF45EDPQGH分析 如图 8,以 为原点,射线 分别为 轴的正半轴建立空间直角坐标系 ,由已知得CA,zyx, xyzD,故 , , , , ,1Fb(0)A， ， (1)， ， (0)， ， (1)， ， (0)b， ，, , , , .()Q， ， E， ， Fb， ， G， ， H， ，()由上可得 , , .(01)(0)P， ， ， ， ， ()Pb， ， (1)AD， ， ， (10)， ，因为,所以 是平面 的法向量.同理ADF， ADQEF是平面 的ADPQGH法向量.又因为 ,所以 ,所以平面 和0 平面 互相垂直.（）因为 ,所以 ,又(1)E， ， P ，,所以F为矩形,同理 为矩形.在所建立的坐标系中可求得PQFPGH ,2(1)PHb,所以 ,又 ,所以截面 和截面 面积之和为 ,是定值.2b2F1QPEFQGH（）由已知得 与 成 角,又 可得DEA45()(10)DEbA， ， ， ， ，,解得 .故 ,又 ,所以 与平面 所成角2(1)b 2， ， (1)D， ， EDPQGH的正弦值为 .|cos|6EA，评注 上例主要考查空间中的线面平行及垂直、面面垂直、线面角、解三角形以及方程等基础知识,考查空间想象能力与逻辑思维能力.这就要求考生具有一定的综合运用知识的能力,才能对问题进行圆满地分析、解决.2006 重庆理科卷、2006 年广东卷等高考试卷中的立体几何解答题均属于这种类型.从总体而言,立体几何解