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文档简介

知识框架数学运算问题一共分为十四个模块,其中一块是容斥原理问题。 在公务员考试中,根据集合的个数,容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型,两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松解决,三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、整体重复型三类,对应解题方法分别是公式法、文氏图法、方程法。无论集合中的元素怎么变化,同学只要牢牢把握这两类型,就能轻松搞定容斥原理问题。 核心点拨1、题型简介 容斥原理是在不考虑重叠的情况下,先将所有对象的数目相加,然后再减去重复的部分,从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。掌握容斥原理问题,可以帮助同学们解决多集合元素个数的问题。 2、核心知识 (1)两个集合容斥关系 (2)三个集合容斥关系 A、标准型公式 B、图示标数型(文氏图法) 画图法核心步骤: 1 画圈图; 2 数字(先填最外一层,再填最内一层,然后填中间层); 做计算。 C、整体重复型 A、B、C 分别代表三个集合(比如“分别满足三个条件的元素数量”); W 代表元素总量(比如“至少满足三个条件之一的元素的总量”); x 代表元素数量 1(比如“满足一个条件的元素数量”); y 代表元素数量 2(比如“满足两个条件的元素数量”); z 代表元素数量 3(比如“满足三个条件的元素数量”)。 3、核心知识使用详解 (1)容斥原理问题要清楚容斥原理公式中各项的实际含义,与题中的数据准确对应。 (2)容斥原理问题的关键在于把文字转化为文氏图,在图中应准备反应题中集合之间的关系。 (3)容斥问题的难度在于题中集合可能较多,某些集合之间的关系可能不确定,这需要仔细的分析,抓住不确定的。 夯实基础1. 两个集合容斥关系 例 1:(2007 年中央第 50 题) 小明和小强参加同一次考试,如果小明答对的题目占题目总数的 ,小强答对了 27 道题,他们两人都答对的题目占题目总数的 ,那么两人都没有答对的题目共有( )。 A. 3 道B. 4 道C. 5 道D. 6 道【答案】 D【解析】 题钥 由于不知道这次考试题目的总数,所以可先设题目总数即元素总量为 。 “小明答对的题目占题目总数的 ”,相当于集合 A 为 。 “小强答对了 27 道题”,相当于集合 B 为 27。 “他们两人都答对的题目占题目总数的 ”,相当于集合 。 “两人都没有答对的题目”,相当于求集合 。 解析 根据题意, 确定元素总量 W: ; 确定集合 A: ; 确定集合 B:27; 确定集合 : ; 代入两集合公式: 因为 和 均为题数,须均为正整数,所以 必须为 12 的倍数,而且由选项知:36 当 W12 时, 16,不合题意; 当 W24 时, 5,不合题意; 当 W36 时, 6,符合题意。 所以,两人都没答对的题目为 6 道。 因此,选 B。2. 三个集合容斥关系 例 2:(浙江行测真题) 某专业有学生 50 人,现开设甲、乙、丙三门选修课。有 40 人选修甲课程,36 选修乙课程,30 人选修丙课程,兼选甲、乙两门课的有 28 人,兼选甲、丙两门课的有 26 人,兼选乙、丙门课程的有 24 人,甲、乙、丙三门课程均选的有 20 人,问三课均未选的有多少人?( ) A. 1 人B. 2 人C. 3 人D. 4 人【答案】 B【解析】 题钥 “某专业有学生 50 人”,相当于元素总量 W 为 50。 “有 40 人选修甲课程”,相当于集合 A 为 40。 “36 选修乙课程”,相当于集合 B 为 36。 “30 人选修丙课程”,相当于集合 C 为 30。 “兼选甲、乙两门课的有 28 人”,相当于集合 =28。 “兼选甲、丙两门课的有 26 人”,相当于集合 =26。 “兼选乙、丙门课程的有 24 人”,相当于集合 =24。 “甲、乙、丙三门课程均选的有 20 人”,相当于集合 =20。 “问三课均未选的有多少人?”相当于求集合 。 解析 根据题意, 确定元素总量 W:50 确定集合 A:40 确定集合 B:36 确定集合 C:30 确定集合 :28 确定集合 :26 确定集合 :24 确定集合 :20 代入三集合标准型公式: 50-(40+36+30-28-24-26+20) 2 因此,选 B。例 3:(国家行测真题) 某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中,准备参加注册会计师考试的有 63 人,准备参加英语六级考试的有 89 人,准备参加计算机考试的有 47 人,三种考试都准备参加的有 24 人,准备选择两种考试参加的有 46 人,不参加其中任何一种考试的有 15 人。问接受调查的学生共有多少人?( ) A. 120B. 144C. 177D. 192【答案】 A【解析】 题钥 观察题目,属于三个集合容斥关系中的标数型问题,可采用文氏图法求解。 解析 本题属于标数型问题,可采用文氏图法求解,如下图所示。 图中,黑色部分是准备参加两种考试的学生,灰色部分是准备参加三种考试的学生。计算总人数时,黑色部分重复计算了一次,灰色部分重复计算了两次,所以接受调查的学生共有: 6389472424615120 人。 因此,选 A。例 4:(浙江 200420) 某班有 35 个学生,每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组。现已知参加英语小组的有 17 人,参加语文小组的有 30 人,参加数学小组的有 13 人。如果有 5 个学生三个小组全参加了,问有多少个学生只参加了一个小组?( ) A. 15 人B. 16 人C. 17 人D. 18 人【答案】 A【解析】 题钥 “某班有 35 个学生,每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组”,相当于元素总量 W 为 35。 “参加英语小组的有 17 人”,相当于集合 A 为 17。 “参加语文小组的有 30 人”,相当于集合 B 为 30。 “参加数学小组的有 13 人”,相当于集合 C 为 13。 “如果有 5 个学生三个小组全参加了”,相当于元素数量 3 为 5。 “问有多少个学生只参加了一个小组?”,此类题目属于整体重复型问题,可采用方程法求解。 解析 根据题意,设: 参加一个小组的人数为 x,即元素数量 1 为 x; 参加两个小姐的人数为 y,即元素数量 2 为 y; 确定元素总量 W:38 确定集合 A:17 确定集合 B:30 确定集合 C:13 确定元素数量 3:5 代入公式,列方程: 因此,选 A。进阶训练1.两个集合容斥关系 例 5:某校学生参加数学竞赛的有 120 名男生,80 名女生,参加英语竞赛的有 120 名女生,80 名男生。已知该校总共有 260 名学生参加竞赛,其中 75 名男生两科竞赛都参加了,那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数是多少人?( ) A. 15B. 20C. 25D. 30【答案】 A【解析】 题钥 假设 260 名学生当中有 m 名男生、n 名女生,同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为 x。 对于男生: “m 名男生”,相当于元素总量 为 m。 “参加数学竞赛的有 120 名男生”,相当于集合 为 120。 “参加英语竞赛的”,“80 名男生”,相当于集合 为 80。 “其中 75 名男生两科竞赛都参加了”,相当于集合 为 75。 对于女生: “n 名女生”,相当于元素总量 为 n。 “参加数学竞赛的”、“80 名女生”,相当于集合 为 80。 “参加英语竞赛的有 120 名女生”,相当于集合 为 120。 同时

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