R语言金融工程中文教程

R语言金融工程中文教程 Financial Engineering with R, Chinese 孔1 anual 李智Li, Zhi February 4, 2014 2 Contents I 前言 Ill 符号注释 且1 2uro 句 nkv 线性代数 1.1 关于函数 1.2 标量， 向量和矩阵 1.3 矩阵乘法和短阵逆 1.4 线性方程求解 1.5 二次形式 1 nwvn匀 i qd4结 。 晶 咽 算计 计格 伯率 的价理的报 咖啡的原率回 报产杆报测 率回房枉回预 啤 1 23 45 口” F nJ n4 。，4 。4俏，“ 2 。司d ropo 内4内d n4 内，“ 债券种炎 3.1 零息（Zero）息、票（Coupon）债券 3.2 到期收益率（Yield to Jv1aturity) 3.3 期限结构（ ferrn Structure) 3 a吁 nuqda 句， q4 。，。o qO 守JVA 投资组合迎论 4.1 组合两种资产（Two Assets) 4.2 基本定义 4.3 组合多种资产（N Assets) 4.4 资本资产定价模型（CAPlvI) 4.5 Black-Littennan模型（1991) 3 4 4 CONTE1VTS 5布 莱克 肖尔斯模型（Black-Scholes) 45 5.1 零回报 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 相关的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3 套利命题 . . . . . . . . . . . 48 5.4 计算布莱克肖尔斯 m 50 6 对冲基金（Hedge Funds) 6.1 套期保值（Insured Portfol叫 6.2 德尔塔避验（Delta hedging) 哼7 AU ZOK List of Figures 2.1 房产的市场价格 . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 l眈房租就是分红 e . . . . . 13 2.3 回报率的佑i: I . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 欧兀美金牌，价 . . . . . . . . . . . . 1 7 2.5 EURUSD回报率QQ图 18 2.6 EURUSD Garch模型QQ图 . . 19 2.7 欧兀美金回报率预测 . . . . . . . . . . 21 4.1 两个资产投资组合作图 29 4.2 默顿切J线方法演示图 . . . . 31 4.3 默顿第一定理演示图 . . . . . . . . . . 35 4.4 资本市场线作图 38 4.5 资本资产定价模型（CAPNI) (J估计 . . . . . . 41 5.1 10个随机生成的股票价格序列 . . . . . . . . 4 7 5.2 认购价的凹性 51 5.3 布莱克肖尔斯 ， 波动性计算 . . . . 54 6.1 套期保健再平衡策略投资价值走势举例插图 . . . . 61 6.2 德尔塔避险再平衡策略投资花费举例输出插图 . . . . 65 5 6 LIST OF FIGURES 目。吕 在上小学的时候 ， 有一年暑假回济南 ， 去看望姥爷和烦 ， 姨夫们。那天 ， 三姨和三姨夫在家里招待了我们所有的人。他们家小区的后面是 一 个没 有树的小山包吃完晚饭 ， 趁着明媚的夕阳 ， 我们又 一 起去爬山。表哥 ， 我 ， 和表弟 ， 小哥三个， 自然地排 成了一个小队 ， 向山顶定。 旁边路过 ， 有 一 个老人 ， 他用早上刚升起来的太阳形容我们。转眼二十多年的时间过 去了 ， 感谢老人的鼓励 ， 我们兄弟三个都有了属于自己的哪业， 为祖国的 发展做着贡献。 我非常喜欢走过北京机场T3航站楼的出站口。因为那里众多急切接飞 机的人们 ， 使我感觉像是 一 个明星 ， 走在火红的地毯上。但是这次寒假回 国 ， 只；肖老迈 的妈妈来接我， 爸爸再也不会来了。 爸爸是一个老党员 ， 去 世前大量写作 ， 他起 革完成过几千 个 技术专利申请的文件 我也要写作， 作为 一 个传统 ， 实现人生价值的传统。 这主要还是 一 音关于R语言编程应用的著作 ， 最好的学习方法是把所 有R语言程序的例子挑出来， 运行后知道如何使用就可以了知识本应该是 免费的 ， 我只是没荷精为都写出来。本书的每 一 章都独立成文 ， 分开阅读 完全可行。重要的最后关于对冲的 一 章 ， 是对这个概念的精确接触。如果 有对 本书的意见提出 ， 请 加入与本书同名的QQ群进 行 讨论， 也可以联系作 者的QQ2476784986对冲是 一 个非常广泛应用 ， 种类繁多的金融方法。 再 继续进行举例 ， 多写儿百页 ， 也不可能结束。 2辈子点到 l 为止 ， 深入泼出的 原则 只给读者 一 点尝试 ， 同时又练习了R语言。 I 11 前言符号注释 卜净回报率 R. 毛回报率 s 方差 协方差矩碎 股票价格 X期权展约价 期望值 2 ”方差 标准差 ， 波动性 t 某 一 时间点 6.t 某 一 个时间time to mattui句 F JV( ) 正态分布概率的函数 log 对数函数计算 exp”指数函数讨算 艺总和计算 Ul lV 符号注辈辈Chapter 1 线性代数（Linear Algebra) 1.1 关于函数 函数（Funct ion）是 一 个大学 一 年级的概念 ， 虽然不是金融的有关部分 ， 但它 是数 学的基础 ， 为了要是这本书能够做到自圆其说 ， 在这里必须要介绍清 楚函数。对函数的的精确叉简便 的描述是 数据入数掘出 （Data In Data Out）。例如有 一 个名叫f（功的函数： .f(:c) = 32 ; 2 ） 唱且 l （ R code: x=7 f = 3*X 2 f 在这个函数中 ， 1 只是 一 个用来 占位子的符号 ， 也是数据输入的位置 如果输入z =7 ， 这个函数就会根据其带有的表达式进行计算 ， 3 7 2 ， 然 后输出f(7) = 147的结果。值得注意的是 ， 函数是不可以有模棱两可的输出 的 ， 对干已经定义的函数（1.月 ， 如果输入的数值是7 ， 那么输出的数值只可 能是147 ， 不可能是其他的数值这样就生成了 一 个从7至！)147的指向关系 ， 所以函数也被称作映象（lVIapping) 7147 但是换 一 个角度来看 ， 7也可以通过函数（1.1）指向147（且也就是说 一 个函数 的输入可以是多个的 ， 却都可以指向同 一 个输出 1 2 C.fIAPTER. 1. 线性代数 更多的情况下 ， 需要使用函数建立 一一 对应（Bijection）的映象关系 ， 也就是 说 ， 一 个输入值只对应 一 个输出值 雪 而且 一 个输出 fl 也只能对于 一 个输入 值。例如函数（1.1） ， 可以取消7对应147的可能性 ， 只允许7t才应147。这就 需要定义2；的有效范围 :i; 2: 0 ， 在这个哥哥效范围之内 ， 所有的z和 f(x）之间就 建立起了 一一 对应的映象关系 f(a;) = 3x 2 x言。 (1.2) 数学写法（Notation）十分重要 ， 它是记录数学谣言的方式。比方上面用f(x）指 代函数（1.1） ， 和使用r作为占位子的符合 ， 甚至使用0多毛代表什么都没有 ， 都是数学写浊。这些写法使困难的事情变得简单 e 便不可能完成的翠变得 可 能。 合函数（Cornposite日u1ction）被记为 fog ， 是把 一 个函数的输出作为另 一 个函数的输入 ， 然后输出最终结果具体来讲g（）是 一 个函数 ： 它的输入 是z 。 然后！（）也是 一 个函数 ， 它的输入是g(x) f。 g(x) = f(g(x) (l.3) 使用上面函数（1.1), f(:r;)=3沪 ， 然后定义 一 个新函数以：c)=:r;-8 ， 只需 要把g（）的结果输入到i JJ （）的里面 ， 就生成了这个复合函数： f 。 g(x) = f(g(x) = J(a: - 8) = 3(x - 8) 2 R code: xlJm X n ， 这个英文词汇原本和环境 、富饶多产 的 土壤有 关系。 可以使 用民语言 ， 生成几个向量 ， 放在 一 起 ， 并输出生成的短阵： R code: x = c(l,2,3 y=c(4 ,5 ,6) z=c(7,8,9) #vect。r #vect。r #vector A = cbind(x,y,z)#matrix A 矩碎转宣（ ra.nspose）是把矩阵里每 J l j 的数字写在行里 ， 写法是在代表 矩阵的符号右 上角画上一个小T。例如 上面语句中生成的矩阵A ， 它的转量 就是AT, 1 4 7 A= I 2 5 8 3 6 9 R code: x = c(l,2,3) #vect。r y = c(4,5,6) #vect。r z=c(7,8,9) #vect。r 。也avnud 内，rDAXU 且 AU 勺 T A月 (1.5) A = cbind(x,y,z)#matrix t(A) #traspose 4 Cl1APTER. 1. 线性代数 向量和常量都属于短阵，所以向量和常量都可以被转宣竖着的向量转 置后就成了横着的向量：横着的向室被转置后就成了竖着的向量。 l前 量的 转置还是常量，没有变化。 1 a : = I 2 a ; T = I 1 2 3 I 3 b=l13sl o r =l3 1101 a T = 1101 5 刘称（ S ymm et ry ）是说 如果一个转置后的矩阵mm， 必须 是正方形的 矩阵， 与其没有转置的时候相同，被称为对称矩阵 u 下面就是一个用S代表 的对称矩埠， 无论如何转宣e 都不会有变化。 I 2 3 S= 12 5 4 3 4 6 加法（Addition） ， 矩阵的加法 ， 是把矩阵中有相同位置的数值， 对应相加 ， 这也就使榈加的短阵之间必须有相同的行数和歹 l j数，例如 1 4 1+4 5 x+y=12 5 2+5 7 3 6 3+6 9 R code: x = c(l,2,3) #vect。r y = c(4,5,6) #vect。r x+y 1 4 7 1 1 l+l 4+1 7+1 2 5 8 A+B = I 2 5 8 2 2 2 2+2 5+2 8+2 4 7 10 3 6 9 3 3 3 3+3 6+3 9+3 6 9 12 R code: x=c(l,2,3) #vect。r y = c(4,5,6) #vect。r z=c(7,8,9) #vect。r A=cbind(x,y,z)#matrix B = cbind(x,x,x)#matrix A+B 1.,1.矩阵乘法和矩阵逆 5 一个 常量可以和任何行数和列数的矩阵榈加 ， 尽管常量会与矩阵的行数 和歹 l j数不同 ， 只需要把矩阵中的所有数字 与这个常量相加 ， 例如 7OEAUJ Ill A吨KAva” EA 唱Eaa咱EEa tA 内，e qd EA a唱EA 吁 OAUny AUAUn口 品EA 唱EA AaTRAvau AUAUHU ll tA 句，B qo AAUnu 喃自a蝠 a噜EA 789 AO节FD 户。 A Af q AU l A Rode: a = 10 A=cbind(x ,y,z）田 atrix a+A 1.3 矩阵乘法和矩阵逆 点乘（Dot Product), t旨的是两个相同长度的向蠢 ， 先把相同位置的数值相 乘 ， 然后把所有的乘积加起来做利。这种向量之间的乘法的写法是一个圆 点 ， 所以叫做点乘， 例如 X . y 汇 ； 。，4 。 00 AU AUT t n 00 4 11 汇 ，错民A AqL 句。 汇 A哇KOAO 民ode: x=c(l,2,3) #vector y=c(4,5,6) #vector x%*%Y 但是 ， 平时书写点乘的时候 ， 需要把两个向量里 ， 处在前面的向盘横过 来 ， 这是从解决线性方程中来的传统 ， 例如使用传统方法的点乘： 4 xv=ll 2 31 151=1 4+2 5+3 6 = 32 6 使用传统方法的点乘s 行与列之间的相乘相加 还可以定义矩阵乘以向 量 ， 做法如下 nt 。 OV A惜只 o tinLqd Z A 1 l 1+4 2+7 3 30 ： 乙：；二：；：； ：； R code: 6 Cl1APTER. 1. 线性代数 A%*%x 矩阵与矩阵之间的相乘 e 也是用行乘以列来定义 e 结果是 一 个矩阵。矩阵 的相乘是复合函数（1均在矩阵上的应用： AA = 何，OOGO A，RU 民 i nF 。 哼 oonwd AU飞 PO EA nyq 30 66 102 = I 36 81 126 42 96 150 R code: A%*%A 从上面 一 系列的 R 代码中可以清楚的看到 ， 点乘的民语言命令 ， 使用%来 代表 并完成运算的。 矩尊逆（iwlatrix Inverse） ， 指的是使用 一 个短阵的逆 ， 和这个短阵榈乘 ， 乘粉 、是 一 个只在左右对角 线上是1 ， 其他位置是 0的短碍。矩阵逆的 写法 ， 是把诚一符号放在表示矩阵符号 的右上角。找到一个 矩阵 的逆不是 一件容 易的蔡 ， （旦 R语言提供了solve（）函数来解诀这个问题在下面的例子里 a 可 以看到 ， 一 个矩阵乘以它的逆 ， 结果的确是 一 个0,1炮阵 句6 000WU A凶Z Aa 咱i nLqd I A A - 0.8 0.1 0.5333 0.1 - 0.2 0.1 0.2 0.1 -0 1333 nunu民 hu 唱A AU 晶AAU R code: A = matrix(c(l,4,7,2,0,8,3,6,9),nrow = 3,nc 。1 = 3,byrow = TRIJE) s。 lve(A) A%*%s 。lve(A) I 商秩矩阵（队.ul Rank 11latrix） ， 并不是所有的正方形矩阵都有逆， 这也 是把（）放入上面A矩阵的原因只有满秩矩阵才有逆因为有时候在矩阵 中 ， 有些行或列可以使用其它的行和列表达出来 ， 能被其它行和歹 I 表达出 来的 ， 就不带有比其它行和列更多的信息。所以矩阵中所街的行、列 ， 都 不能被其它行、列表达， 就说明这个矩阵有足够的信息 ， 也就是满 1诀 ， 还 可以被称为非奇（Non- singular) 笛卡尔乘积（Cartesian Product） ， 指的是两个向量相乘 ， 用 一 个竖 直的 向量， 乘以另一个横躺的向量不是相同位置的数值相乘再作和。而是每 一 个数值 ， 者 I I与另 一 个向氢里的数值相乘 ， l I I 1 4 1 X 5 1 6 2 Y = I 2 I 14 5 61 = 1 2 4 2 5 2 6 3 I I 3 4 3 5 3 6 笛卡尔乘积的符 号 是 一 个小差号 g 笛卡尔乘积实际上表示的是计算机程序 算法中的for-loop循环。1.4. 线性方程求解 7 1.4 线性方程求解 多元的线性方 程，是每个高中学生都有能力解决的问题。请看下面的例 子 3x+6y+2z=5 2： + 5y + 4z = 11 26x + 59 y + 36z = 7 (1.6) 可以看出这组线性方程是没有解的因为第 一 个方程中的系数乘以4 ， 再加 上第二个方程的系数乘以7 ， 就是第三个方程的系数。也就是说第三个方 程可以用第一、二个方程来代表所以这组线性方程是奇异的 ， 是不满秩 的。 再举 一 个满秩例子 ， 来学习使用R 语言解线性方程 x+4 y 7z = 11 2a ：；今 8z= 9 3x + 6 y + 9z = 5 (1.7) 把这组线性方程写成矩阵形式： 789 du唱 AUPO 唱A 内， qo : 1 = 1 1 9 1 5 等号左右两边都乘以系数短阵的逆 l 4 7 I l 4 7 X 4 7 I 11 2 0 8 2 0 8 y 2 0 8 9 3 6 9 3 6 9 $ 3 6 9 5 $ 1 4 7 1 11 -5 23 y 2 0 8 9 -0.2 z 3 6 9 () d 2.43 R code: A = matrix(c(l,4,7,2,0,8,3,6,9),nrow=3,ncol=3,byrow = TRUE) f=c(11,9,5) s。lve(A)%*%f8 Cl1APTER. 1. 线性代数 1.5 二次形式 二次形式（QuadraticForro）是把多元二次方程用矩阵的写法表达出来 ， 多 元二次方程和二次形式实际上是同 一 个东西 ， 只是它们的书写形式有所区 另 l j . 例如 ， 这里是最普通的 二 元 二 次方程： x 2 +2xy+y 2 二元指的是两个变量 P y ， 二次指的是每 一 项的次方为二。 表达式（1.8）可 以被写成矩阵形式 1 1 I I x I Ix YI 11 11 lvl 所有的二元二次方程都可以把变量提出来 ， 写成 一 个向量 a 用z代表。并且 把系数提出来写成一个对称的正为 形矩阵 ， 用A代表。 二次形式 就成为了向 量和短阵之间的点乘： m x Ax (1.8) R code: t(x)%*%A%*%x 表达式（1.8）是二次形式的准确表述可以看出 ， 二次形式只街3个部 分 ， 一 个向量横过来 ， 乘以 一 个正方形的矩埠 ， 离乡民以这个向量竖着放。 表达式（1.8）并没有要求正方形的矩阵A是对称的， 但是为了要使二次形式 齐好看 ， 所有的敏科书都会额外规定矩阵A是对称的。矩阵A装载的是多元 二次方程里系数的信息 g 不改变多元二次方程的系数 ， 矩埠A是完全可以被 写为对称的。Chapter 2 回报率（Returns) 2.1 回报率的计算 J争回报率（Net Return） ， 可以被想象成银行的存款利息。比方说银行的存 款年利息是fi% ， 存入本金（Deposit)SlOOOO ， 一 年后再取出来 ， 存款就变成 了$1 0600，如 果说这$1 0000是 一 笔投资 ， 6%就是这笔投资的回报率。这 一 正本书都是关于回报率的描述 雪 为了体现回报率的重要性e 在编程和写作 中 ， 我们使用 一 个专门的英文字母 ， 小写的？于旨代回报率 a 这个银行存款的 例子里r = 0.06, 1 1 货主主（Revenue） ， 指的是经过投资， 增长出的 ， 以前本金中没有的数 额。收益可以是正值或负值 正筒说明投资挣到了钱 ， 负值说明投资赔 了钱。在上面存款的例子里 ， 收益是$600写成数学语言。 R.evenue = T Deposit= 0.06 10000 = 600, 总回报率 （G ross Return） ， 也被称为毛回报率， 指的是经过投资 ， 结果 的总数与本金之间的比率。 总回报率的计算十分简便 ， 只需用l 净回报 率。我们也使用 一 个专门的英文字母 ， 大写的R主任代表总回报率在这个银 行存款的例子里 a 总回报率是1.06，写成数学语言 R=l 1 +0.06 = 106 。 复和 1J( co1npound ret urn）， 比方说本金仍旧是10000 ， 银行年利息。.06, 经过 一 年的存放 ， 把全部的金额10600再次存入银行 ， 去 挣0.06的年利叉 过了 一 年 z 再把当年的本金加利息， 统统存入银行， 又可以有0.06的利息。 这就叫做 计复利 ， 或者复利存款。在这里 ， 每一年都 有1.0 6的总回报导3 。 最 终的总回报率 是把每 一 年的总回报率都相乘起来用本金乘以最终的 J吉 、 回报率 ， 就是最终存款的总结果。用刊代表复和 l存款的年数2 复军 l j最终的总 回报率可以写成 R= (l ）（1 ）（1 +r） . = (1 ） （2.1) 9 10 CfIAPTEH. 2. 回报率 代入例子里的数值， 年罪I J Q.06 ， 存了10年 ， 最终总回报率： R = (1 + 0.06） （1 + 0.06） （1 + 0.06） (1 + 0.06) JO = 1.790848 10年后复利存款的总数为 Total= Deposit R = 10000 1.790848 = 17908.48 进 一 步观察公式（2.1 ）可以发现 ， l og (R) = log(l.790848) = 0.5826891 ， 而 且10 log(l0.06) = 0.5826891 ， 两种算法得到了相同的结果。因为exp是log的 反函数， f巴exp用在1 0log(l + 0.06）上 ， 也可 以得到1 790848的结果我们就 有了 另外一 种计算复利最终总回报率 的公式 n ？ MM R (2.2) 也I 连续 复和 J ( con ti nuous r et urn ）可以被想象 成 ， 存款的期限被切成了无数尽可 能小的时间段， 回报率也随着这些小的时间段被切成 了小块。用这 些小的 时间段， 和小块的利息 ， 来计算每利还是使用上面年利0.06的例子 ， 这 一 年被切成了无数非常小的时间段 ， 每 一 个小时间段都有 一 个小块的利息。 每 一 个小时间段过后 ， 就把金和利息全部复利再存到下 一 个小 时间段s 直到 一 年结束。问像这样进行了无数次小复利 ， 一 年终总回报率是多少 可以用连续复幸 l j公式计算 R = exp(rt), 0:; l:; 1 (2.3) 公式（ 2.3）垦的t 代表的不是一般的时间， 而是在总时间期嗅中的比例。如果 总期限是 一 年 ， 存丁半年 ， 只占总期限的0.5 ， 那么t = 0.5如果总期限是 一年， 存了9个月 ， 占总期限的0.75， 那么t = 0.75，当然 e 如果总期限是 一 年 ， 存了12个月 ， t = l o还有T是总期限到期 ， 不it复利的回报率。我们使 用 0.06, l = 1 ， 计算 一 年期连续复利： R = exp(1t) = ef0.06 1) = 1.061837 (2.4) 回报率的计算R代码 r = .06 dep。site = 10000 # Revenue r*100002.2. 房产的价格 # Gross return R = l+r # T。tal (1+r)*10000 # C。mp。und Interest for 10 Years year = l 10 deposit=lOOOO gr。ss 峭return=(l+.06） year total = gr。ss_return*lOOOO cbind(year,gross_return,t 。tal) #Compound Interest by Sum log(l.790848) 10*1。g(l+0.06) exp( 10*log ( 1+0. 06) #C。ntinu。 us Return r = 0.06 dt=l exp(r*dt) 2.2 房产的价格 11 市场价格（1vfarket price） ， 一 个资产会随着市场的变化而改变价格 ， 在这 里我们用房地产为例 ， 来展示资产的市场价格和l回报率是如何计算的 比方说 ， 有个人买了 一 幢住宅 ， 买入的价格为30万美元。 他持有这所房 产6年 ， 第 一 年 房产市场上涨了 1 3% ， 第二年房产市场叉 上涨了5 %， 第 三年房产市场没有任何变化 ， 第四年 房产市场 下跌了1 %， 第五年 房产 市场又下跌了2.5% ， 第六年房产市场突然大涨19%。我们用 一 个数歹！Jr = (.13, .05, o, -.01, -.025, .19）代表房产市场的变化， 因为这些变化都是我们 所称的回报率。使用R_ y1 = 1 +r代表每一年的总回报率， 在银行存款的例 子里每 一 年的总回报率是不变的1.06 ， 但R_ yr 是 随着市场变化的 我们使 用作log和exp的公式（2.2）把 R 自r乘起来作复利。 代码中有使用至 I CUlllSlllll （）函数 ， 这是作积累和的函数。 比方说 ， 数歹 1 中第 一 个数字是1 ， 它自己的积娱是它本身 然后2出现了， 2要幸 1:1 1积累到 一起， 结果是3，然后3出现了， 3要和1,2积累3i l j 起， 结果是6，然后4出现 了 ， 4要和1,2,3积累至I一起， 结果是 10。 然后5出现了， 5要 01, 2, 3,4积累 主 l j12 CilAPTEH. 2. 回报率 句， huM 冒 c 2, I C 3, I C 4, I ( 5 J C 6, I l E YE l ，、 a d e n y 2 3 吨A ZD的 V ， 、 R zo qJw rz ， nv a RZ 3 Y 6 配 7 UR l s 2 nu396 主0 2 USE、 R 二 白， oro y3 四刊 s 1 J 2 E 2 c 2 主 1 ” HMnv ， 0.0 5 0 1. 0 5 0 0.048790 16 0.1710078 0.000 1 . 0 0 0 0 . 00 00000 0 0.1710078 4 -0 . 01 0 0.990 -0 . 0 1 00 5 0 3 4 0.1 6 09575 5 -0.0 2 5 0.975 -0. 0 2 53 1 7 81 0. 1 356 397 6 0.190 1. 1 90 0.17395331 0.3095930 Figure 2.1： 房产的市场价格 一 起 ， 结果是15 使用下面的民代码 ， 可以看到这样的结果： x 坦 c(l,2,3,4,5) cumsum(x) 、 、 唱 4 、 4 2 、 Roonus 9 0 0 0 0 3 6 7 0 5 5 6 2 8 0 6 6 4 S 2 3 8 8 7 4 6 1 1 1 1 l 3 我们使用大写的R， 代表计复利后每年的总回报$. 市场价格计算 为 pr ice = 300000 R。 来看用数据表格方 式输出的结果 ， 截图（2.2 ） 一 共6行数据， 每 一 行代表 一 年， i J ,r歹 l j是房产市场的每年回报旦在 e 大R罗 I J;是房 产市场计算复利的每年总回报惑。 房产市场在第一 年 上升了。. 13 ， 第一 年 的 总回报率是1. 13， 这个 房产在第 一 年 达到价值$ 339000， 到了第六 年 ， 通过 复菲 l j计算 ， 房产市场的总回报率比较刚购入房产的时候， 上升至1 36， 这 个 房产的价值也达到了$408861.1, 收房租就是分红（Renting AKA Dividends） ， 房产出租可以增加这个房 产投资的回报 仍旧是这个购入价格$300000的房产 ， 在购买者的手里持 有了6年 ， 房产市 场每一年 的回 报还是承袭上面的计算 。 这 个人：夺这所 房产以$1200每月的价格出租了出去 ， 每年可以得到$1440 0的房租 要求 i.t6年后这所房产投资的回报率。很明显 ， 房租要给这个投资积累回 报 ， 6年的房扭总数是$86400， 再加上这所房产第六年的市价$408861.1 ， 在 这个投资上积累的总财富就达到了$，108861.1+ $86400 = $195261.1 ， 第六 年的总回报率 ;s草上房租 s 为$495261.1/300000 = 1. 6509， 这个 投资 者很 幸运 ， 房产实入时价值$300000 事 到第六年房产价值就上升到了S408861.l 琴 是原价的1.36倍。 六年来累积的房租价值为$86400 ， 所以总回报率是1.65, 一 个不小的数字。请参看截图（2.2）。 房价计算R代码 # Price 。f a Townh。use price0 = 300000 #US D。 11 缸S yea r =l: 6 1 0 0 0 0 0 1 r 0 5 59 8 6 P 0 9 9 3 5 8 9 5 523 8 3 5 5 5 4 0 3 3 3 3 3 4 e 0 0 0 5 7 1 c 2.3. 杠杆厉、理 13 cb in d (price,ren,;, va lue,R) price ren,; va lue R 1,J 339000.0 14400 353400.0 1.178000 ! 2, I 355950.0 28800 384750.0 1.282500 ! 3, I 355950.0 43200 399 1 50. 0 1.330500 4, ) 352390.5 57600 409990 . 5 1.366635 ! 5, I 343580.7 72000 415580.7 1.385269 ! 6, I 408 861 . 1 86400 495261.1 1.650870 Figure 2. 2： 收房租就是分红 r=c(.13, .05,0,-.01,-.025, 19) R_yr=l+r log_R_yr = l。 g(R_yr) sum = curnsurn(log _R_ yr) R=exp(sum) price = R*priceO cbind(year,r,R_yr,l 。g_R_ yr,sum,R,price) 。” AU R aLV AU e 、 v、且，、E，、BJ D 、J R aUP A e kO U AMO LU 、4 n4 a ete 4 V SEr ue r、 tt ory pn n Hl eeo e yr rr er el ar飞 c hh e me el e t tv d u c r c E sl pl g 。 m r fr r nm o u p e p O C ur、 t 2 el d n0 1 t uan eo nl vl n民 qJq4 0LVAU hu 1 1rv RC 2.3 杠籽原理 金融杠杆（Leverage）司以被想象成贷款买房比方说 ， 购买 一 所价值8300000的 房 产 ， 需要2 0%的保证金（lv la.rgin） ， 也就是首付$60000， 剩下的$240000是 从银行里俗的。 这样实房的人就用$60000的资金 ， 撬动了$300000的房产 ， 比例是1:5 如果房产市场上升了。1 ， 这个房产的价值就涨到$330000 ， 带来的收益 是$30000，这个收益是保证金的0.5，房产市场只上涨了0.1 ， 使用杠杆使得 收益放大了5倍。如果房产市场下降了”。I 杠杆还是会使收益放大5倍， 使14 CilAPTEH. 2. 回报率 用保证金进行投资的回报率成了。5. 所以 ， 我们用大写的L代表杠杆比例 ， 用）、 7代表市场的回报率 ， 用r1, 代 表凭借保证金投资的回报率： r, = L (2.5) 这个例子里 ， 5 0.1 ， 计算r1,: ri = L r=5 0.1 = 0.5 值得注意的是 主 如果房产市场下降了。.2, ri = 5 （0.2) = -1， 就是 说买房产的保证金在市场小幅变化中全部损失掉了。银行就会为了保证其 资产的安全 ， 将这个房产根据市场价格$240000收归银行所有 杠杆原理R代码 #Leverage 0.20*300000 0.80*300000 e 。 四 h c 。 e e a LA tr aa rm ”w “伸 向4 A 咱自品 ， 噜A n Lr 300000*r 300000*r/60000 r_ L=L*r #return on leverage 2.4 回报率的估计 我们的投资者有3个不同的资产。 第一个是他的房产 ， 我们周小z代表房产 每年的市场回报惑 ， 在上面已经给出了。 他的第 二 个资产是在银行垦的存 款 ， 每年0.06的利息， 6年没有变化， 用y来代表。他的第三个资产是购买的 一只股票 ： 用z来代表， 这只股票先涨后跌 ： 走势十分险峻 ， 下面绘出了股 票六年中每年的回报惑： X = (.13 ， 闭 ， 0, -.01, -.025, .19) (.06, .06, .06, .06, .06, .06) z = (.09, .1, .2, -.2, -.05, .01) lJZ均值（Average） ， 在这里我们使用的平均回报率 ， 是每 一 个回报率数列 的平均值。房产的平均回报是：E的平均值0.05583333。存款的平均回掖是 白 的 (2.6) 2.4. 回报率的估计 rn 呈an （叫 Ill 0.05583333 mean (y) (1) 0.06 me arc ( z) (1）圈圈 v ar( x) (1) 0.007504167 var (y) (1 J 0 var ( z) (1) 0 . 0 193 9 cov( cbind (x,y,z) ) X y Z X 0.007504167 0 0.002695 y 0.000000000 0 0.000000 z 0.002695000 0 0.019390 Figure 2.3：回报率的偏计 15 平均值0.06 股票 的平均 因掖是z的平均值0 025。在R中可以使用n1ean（） 函 敏计算。 方差（Variance）的概念用来描述 一 组数据偏离平均值的范围大小。我 们这里的数据是回报率 ， 所以计算方差 ， 就是计算回报旦在变化范围的大 小. Fi差越大 ， 回报率的变化范围也越大。而且为差永远是大子。的 ， 不可 能为负值在民中方差用var（）函数计算。 方差协方差矩阵（Variance-Covariance Jvlatrix) 在二次形式的介绍 中 3 我们提到了 一 个对称矩阵A这 里的方差 协7号差矩阵就是二次形式 中的对称矩阵A.而且在后面内容中用到二次形式的时候 E 就必须使用方 差，协方差矩阵。方差，协方差矩阵是对称的 ， 而且上丽计算的方差数值， 全 部者放在了方差 协为爱矩阵的对角线上。在R中这个矩阵使用cover（）函数 计算 回报恕的估计 R代码 #return estimati。ns x=c( 13, .05,0,-.01,-.025, 19) 16 CilAPTEH. 2. 回报率 y=c (. 06, . 06, . 06, . 06, . 06, . 06) z = c(.09, 1, .2,-.2,-.05, .01) mean(x) mean(y) mean(z) var(x) var(y) var(z) cov(cbind(x,y,z) 2.5 预测回报率 做预测有很多种方法 ， 可以使用历史数据 ， 听取专家的建议 ， 或者是自己 的凭空猜测 ， 都可以用来预测未来但预测的结果是否精确 ， 就要根据使 用的方法 ， 大相径庭了。总而言之预测是 一 个非常复杂的应用数学问题。 这里我们只有位置介绍一种叫做Gar ch的模型 ， 并且提供相关的R语言代 码 这 一 小节的描述有三个 目的 ， 使用tser ies程序包读取欧元对美金（EUR USD ）的 外汇牌价 ， 通过牌价计算回报率数列 ， 解读Garch模型输出的毅图 这小节的代码需要调用fgarch和tsereis网个程序包 ， 安装和调用R程序 包请参看其它教程 ， 这里不再介绍， R.函数get.hist.quote（）可以从因特网上 抓取众多的股东 ， 外汇之类的金融牌价 ， 这里只是取得了2011-2- 1至 1 2012-2- l的欧元 对 美金的外汇价格。 然后做了 一 个简单的价格走势图（2.5）。 因为这歹 I 牌价数据 一 共有366个 ， 是每日的牌价 ， 我们计算的回报率 ， 也是 相对前 一 天的每日回报率。 计算中采取（2.2）中log的策 略 因为log后的 牌价 ， 再相狱就相当于相除所以我们把所有的牌价先做l ?.g ， 然后用后 一 天的log牌价减去前 一 天的log牌价 ， 再用exp函数做回来 ， 就成了每日的总 回报率 ， 再减 一 得到回报率计算中的相减是用“ff（） 函数完成的 ， 它的 作 用就是将后 一 个前去前 一 个的意思。用 P i+ I表示后 一 个牌价 ， 用P i 表示 前 一 个牌价 ， 每日的回报率就可以表示为： 门 explog(v;+ i) - log(JJi) - 1 (2.7) 在建立Gare 模型之前必须要检查数据的质量 ， 就是要查看回报率QQ图（2.5和 ：I Garchf:具 型QQ图（2.5）。主要是布图上的数据点是否处在 一 条直线上 ， 如果在 一 条直 线上就说明正态分布。17 预测回报率 2.5. 的可eF 。叮 eF 的凹，F 。忡，F 布的 2 3 Jan Nov Sep Jul May Mar Index Figure 2.4： 欧元美金牌价2011-2012回报率 CilAPTEH. 2. 18 Return Q-Q Plot 。 。 。 OF0 o 的。 0 o 国 “ 6 000 o 00 0 ， 的 EC 302 E 9 .s, 0 cP 的FO 0 3 2 。 -2 -3 Theoretical Quantiles Figure 2.5：巳URUSD 回报旦在QQ 图UJ 预测回报率 2.5. Residual Q-Q Plot 。 。 # OX 。 O O 的。 0 o GOO O D 00 O E 的 zcc3 QEC , OFQOE 。 。 的FO G 。 。 3 2 。 -2 - 3 刊1 eoretical Quantiles Figi.ue 2 6: EURUSD Garch模型QQ 图20 CilAPTEH. 2. 回报率 最后是Garch模型画出的预测图（2.5）， 用信心区间的形式预测2012-2- 1以后的20天的回报率。在数列中存在着365个日回报率数据 但在预测图 上用黑线部分只画出了最后的90个日 回报惑。 可以看到日回报$在水平。线 的上下跳动 ， 非 市接近 一 个随机的过程。 因中红线的部分是对回报率均值 的预测， 未来20天回报率均值是处在0的位置上的 。图 中蓝色线戈lj出了 一 个 上限毡图 ， 绿线划出了一个下限范围 ， 是指未来的日回报率将会随机的出 现在这两个范围之间 ， 我们对这个憔论有95%信心 Gar ch模型预测回报旦在R代码 ） 、， qu he Fiw 牛、A rr ae FUGU 4A LU （ VJVJ V E V E 由 a a rr b b o唱牛 、品 、A 唱A eurusd 唰 get.hist.qu。te(instrument ” EUR/USD ” ， pr。vider = “oanda“,end ” 2012-02-01 ” ， start ” 2011-02-01 ” ， ） plot(eurusd) eurusd=as.numeric(eurusd) r = exp(diff(log(eurusd）”1 、J lv o 句tE Dz nw nHU气 n r u l e EH 、J H ） r nr、 1y at 皿 1 s rn r飞e m d 、J rr、 r 。 tr、 nMnv SA ql c qp a m。del = garchFit(-arma(1,0)+garch(1,1),c 。nd.dist ” std ” ， data=r, predicti。n interval = T) qqn。rm(m。delresiduals,main ” Residual Q-Q Plot ” ） predict(m 。del,n.ahead = 20,plot = TRUE) # T 95% interval 21 2.5. 预