回归模型在统计分析中的应用

1回归模型在统计分析中的应用摘要在人们研究对象的内在特性和个因素间的关系时，通常会建立数学模型。在无法分析实际对象内在的因果关系时，往往会基于对数据的统计分析去建立模型。回归分析作为统计数据寻求变量间关系的近似表达式的一种方法，其广泛用途使得回归模型成为了数据统计分析中的一种常见模型。本论文分别从数学模型，回归分析，统计分析等的基本概念出发，进一步阐述了数学建模的基本方法和一般步骤，回归分析的基本模型、步骤和分类，以及统计分析的步骤。最后借用 MATLAB 软件，以一个关于人们对某种品牌食品的评价的实例，用合理的步骤详细描述了在解决回归模型在统计分析中的应用的问题中该如何具体去做。关键词：数学模型；统计分析；回归分析；回归模型；MATLAB 软件2APPLICATION OF REGRESSION MODEL IN STATISTICAL ANALYSISABSTRACTIn the process of researching the relationship between the inner characteristics and factors of the object，people usually build mathematical model. In the case of the inner causality that people can not analyse of actual object，we often to build model based on statistical analysis of data. As a method for seeking a approximate expressions of the statistical data,the wide applications of regression analysis made regression model become a common model in statistical analysis of data.This paper starts from the the basic concept such as the mathematical model,regression analysis and statistical analysis.Then further elaborated the basic methods and general steps of mathematical modeling, the basic model, steps and classification of regression analysis, and the steps of statistical analysis. Finally, applying MATLAB software,using reasonable steps to describe how to solve the problem that the application of regression models in statistical analysis in detail,by using a example about peoples evaluation towards a certain brand of food.Key words: mathematical model; statistical analysis; regression analysis; regression model; MATLAB software目 录1 问题的提出 -12 数学模型与数学建模 -22.1 基本概念 -22.2 数学建模的基本方法 -22.2 数学建模的一般步骤 -23 回归分析与回归模型 -43.1 基本概念 -43.2 刻画回归模型 -43.3 回归分析的步骤 -43.4 回归分析的分类 -54 统计分析 -64.1 基本概念 -64.2 统计分析的步骤 -65 一个线性回归模型实例 -75.1 问题的提出 -75.2 分析与假设 -75.3 模型建立 -85.4 模型求解 -85.5 结果分析 -95.5.1 输出数据结果 -95.5.2 模型检验 -95.5.3 解决提出的三个问题 -106 结论 -14参考文献 -15附录 -1611 问题的提出当人们在研究对象的内在特性和各因素间的关系时，通常会寻求变量间的一个具体表达式，采用机理分析方法建立数学模型。而往往由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，不能确定一个具体的表达式，于是便建立合乎机理规律的数学模型，去寻求变量间关系的近似表达式，通常的方法是搜集大量的数据，基于对数据的统计分析去建立模型。而统计回归模型是用途非常广泛的一类随机模型 1。22 数学模型与数学建模2.1 基本概念数学模型(Mathematical Model)可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。这里的“特定对象”是为了解决某个实际问题而提出的；“特定目的”是指当研究一个特定对象时要达到的目的，如分析、预测、控制、决策等；“数学结构”可以是数学关系式，也可以是程序、图、表等。数学建模(Mathematical Modeling)则是指建立数学模型的全过程 1。2.2 数学建模的基本方法一般来说，建模方法大体上可分为两种：机理分析和测试分析。（1）机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。（2）测试分析：将研究对象看作一个“黑箱”系统（意思是它的内部机理看不清楚） ，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型 1。2.2 数学建模的一般步骤(1) 模型准备：了解问题的实际背景，明确建模实际目的和意义，搜集对象必要的信息如现象、数据等，尽量弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题” ，由此初步确定模型的类型。(2) 模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，做出必要的、合理的简化假设。(3) 模型构成：根据所作的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立包含常量、变量等的数学模型，如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、图的模型等。3(4) 模型求解：利用获取的数据资料，采用解方程、画图法、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，尤其是计算机技术以及数学软件等对模型的所有参数做出计算（或近似计算） 。(5) 模型分析：对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏性分析、对假设的强健性分析等。(6) 模型检验：将求解和分析结果翻译回到实际问题中，并与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和实用性。(7) 模型应用与推广：应用的方式与问题性质、建模目的及最终的结果有关，而模型的推广就是将已有模型扩展为一个更加全面，更加符合现实情况，更加适用的模型 1。43 回归分析与回归模型3.1 基本概念回归分析(regression analysis)是用统计数据寻求变量间关系的近似表达式的一种方法，并利用所得公式进行统计描述、分析和推断，解决预测、控制和优化问题。回归模型(regression model)是对统计关系进行定量描述的一种数学模型。线性回归(liner regressing)是应用上最重要、理论上较完善的回归分析方法 2,5。3.2 刻画回归模型用 表示因变量，用 表示自变量，其中 是自变量的个数，Y12,mx m和 之间的真实关系可近似地用下述回归模型刻画12,mx（3-12(,)mYfx1）其中 是随机误差，它代表在近似过程中产生的偏差，也就是模型不能精确拟合数据的原因。函数 刻画了 和 之间的关系，最简单12(,)mfx Y12,mx的情形是线性回归模型 3（3-012mYx2）3.3 回归分析的步骤回归分析包括以下步骤：(1) 问题陈述(2) 确定变量(3) 收集数据(4) 模型设定(5) 进行相关分析(6) 计算预测误差5(7) 确定预测值 3,43.4 回归分析的分类 根据条件可将回归分析分为如下几类 3：表 1 回归分析的分类回归类型 条 件单变量 只有一个定量的因变量多变量 有两个或两个以上定量的因变量简单 只有一个自变量多元 有两个或两个以上自变量线性 方程关于所有的参数都是线性的，或经变量变换后是线性的非线性 因变量和某些自变量之间具有非线性关系，或一些参数是以非线性形式出现的，并且不能经变换将参数线性化方差分析 自变量都是定性变量协方差分析 自变量有定量变量，也有定性变量Logistic 因变量是定性变量64 统计分析4.1 基本概念统计分析（statistical analysis）是商业智能（BI）的一方面，涉及收集、审查业务数据和趋势报告。统计分析是继统计设计、统计调查、统计整理之后的一项十分重要的工作，是在前几个阶段工作的基础上通过分析从而达到对研究对象更为深刻的认识。统计分析是运用统计方法及与分析对象有关的知识，从定量与定性的结合上进行的研究活动。它又是在一定的选题下，集分析方案的设计、资料的搜集和整理而展开的研究活动。统计分析的必要条件是系统、完善的资料；重要特征是运用统计方法、定量与定性的结合；产品是高质量、准确而又及时的统计数据和高层次、有一定深度、广度的统计分析报告；特点是数据性、目的性和时效性 6。4.2 统计分析的步骤统计分析可以分为以下 5 个步骤：(1) 描述要分析的数据的性质(2) 研究基础群体的数据关系(3) 创建一个模型，总结数据与基础群体的联系(4) 证明（或否定）该模型的有效性(5) 采用预测分析来预测将来的趋势 675 一个线性回归模型实例5.1 问题的提出为了研究人们对某种品牌食品的喜爱程度 和该食品的水分含量 和甜度Y1X的关系，进行了一个完全随机化设计的小规模试验，得到下列数据：2X表 2 某品牌食品的水分含量、甜度和人们的喜爱程度数据i1 2 3 4 5 6 7 81ix4 4 4 4 6 6 6 62i2 4 2 4 2 4 2 4iy64 73 61 76 72 80 71 839 10 11 12 13 14 15 161ix8 8 8 8 10 1