高中数学--解三角形

解三角形解三角形一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 RCcBbAa2sinisin ， ，2iB2sincC ， ，iib = =sinisinaACsinaAR :bcB2.三角形的面积公式正弦定理： abSABCsin213.余弦定理：（1） ， ； caos2222bcaA（2） ，Bab2c2（3） ，Cbccos22ab4.射影定理（利用向量数量积的几何意义即投影的知识证明）：（1） Bcas（2） Abo（3） c5.利用余弦定理判断三角形解的个数已知三角形两边以及一边的对角，假设已知 A 角以及 a 边 、 b 边，则由余弦定理得即 ，得到一个关于 C 的一元二次方Abcaos22 0cos22b程，通过求解 即可得到三角形解的个数（1）当 时，C 的解就有 2 个不同的解，因此三角形便有两个。0（2）当 时，C 的解就有 2 个相同的解，因此三角形便有一个。（3）当 时，C 的解就有无实数解，因此不存在这样的三角形。6.利用余弦定理判断三角形的形状已知三角形的三边或者两边一角，可以判断三角形的形状。（锐角、钝角、直角，等腰、非等腰）锐角、钝角、直角三角形的判定，判定方法：由 得，22cosbcaA当 时， , , 为锐角三角形 1 022acb0cosA2BC当 时， , , ， 为直角三角形 2 2A当 时， , , ， 为钝角三角形 3 02acb0cos,2解三角形中需要注意：（1）一般情况下我们在解三角形中采用的方法是“边化角、角化边” ，也就是说我们一般要将所求的式子化成全部都是角的形式或者边的形式，利于我们采用正弦定理和余弦定理以及三角函数的知识解题。（2）正确选用正弦定理和余弦定理：我们一般遇到一次形式的式子以及带有比例的式子可以考虑使用正弦定理；如果遇到二次的式子或者通过边来求角的问题一般采用的是余弦定理。（3）我们还需要注意一点的是余弦定理可以利用边来求角，但是正弦定理只可以得到角的正弦的比值，而不可以得到角的比值甚至具体的值。（4）其次，我们在解题中还需要考虑一些基本的知识，例如“大角对大边，小角对小边”等等。（5） 解题中利用 中 ，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变ABC换的运算，如： sin()si,co()cos,ABCtan()tanABC7.三角形面积定理. .11inii22Sab注意：在锐角三角形中，任意两角之和大于 .例题讲解1：在ABC 中，若 ,求 的值5:31:cbaCBAsin2解析：由条件 sinCAsi同理可得 Bi53iBsin2sin531212. （福建 14)若 ABC 的面积为 ， BC=2，C= ，则边 AB 的长度等于_.360【答案】2【解析】由于ABC 的面积为 ，BC=2，C= ，所以 ,所以 AC=2, 1332ACABC 为正三角形,所以 AB=2.3. （辽宁 17）在 中，内角 对边的边长分别是 ，已知 ，ABC BC， ， abc， ， 23C（）若 的面积等于 ，求 ； 3ab，（）若 ，求 的面积sin2i解：（）由余弦定理得， ，24又因为 的面积等于 ，所以 ，得 4 分ABC 31sin3abC4ab联立方程组 解得 ， 6 分24ab， 2（）由正弦定理，已知条件化为 ， 8 分ba联立方程组 解得 ， 2ba， 34所以 的面积 12 分ABC 12sin3SbC4 （全国17）在 中， ， 5co1A3cosB（）求 的值；sin（）设 ，求 的面积5B解：（）由 ，得 ，co13A2sin3由 ，得 所以 3sB4sin 16i()sincosin5CABAB（）由正弦定理得 45sin132BCA所以 的面积 B 1si2S63585. （重庆 17）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c.已知 ，求：223abc（）A 的大小;（） 的值.2sincosi()解：()由余弦定理， 22cos,abA3cos,2.6bA故所 以() 2sincosi()BC(cosiniis()in1.2BCA6. （湖北 16)（本小题满分 10 分）设ABC 的内角 A、B 、C 所对的边分别为 ，已知.,abc11,2cos4abC() 求ABC 的周长；()求 cos(AC.)解析：（1） . ABC 的周长为22 1cos4,cabC2ca+b+c=1+2+2=5.（2） 1cos,4C225sin1cs1().4 ，故 A 为锐角 .5isin,.28aAc,aC 22157cos1in().8A 151()csosin.486CAC解三角形练习题一、选择题1. 在ABC 中，b= ，c=3，B=30 0，则 a 等于（ ）3A B12 C 或 2 D2332. 已知ABC 的周长为 9，且 ，则 cosC 的值为 （ 4:3sin:siBA）A B C D414133已知ABC 中，a4，b4 3，A30，则B 等于( )A30 B30或 150C60 D60或 1204在ABC 中，若 sini，则 与 的大小关系为（ ）A. B B. A C. A D. A、 的大小关系不能确定5已知ABC 中，AB 6，A30，B120，则ABC 的面积为( )A9 B18C9 3D18 36、在ABC 中，已知 ，则角 A 为（ ）bca22A B C D 或363327、在ABC 中，若 ，则ABC 的形状是（ ）AoscA等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形8.在锐角三角形 ABC 中，有 （ ）AcosAsinB 且 cosBsinA BcosAsinB 且 cosBsinA9、在ABC 中，已知 ,那么ABC 一定是 ( )CAsincosi2A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形 10. 已知ABC 的三边长 ，则ABC 的面积为 （ ）6,53baA B C D 1414215211、已知ABC 的面积为 ，且 ，则A 等于 （ ）,cA30 B30或 150 C60 D60或 120 12、已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x，则 x 的取值范围是（ ）A B C D 51x150513x二、填空题13、在ABC 中，若A:B:C=1:2:3,则 cba:14、在ABC 中， 150，则 b Bca,2315、在ABC 中，A60，B 45， ，则 a ；b 1216. 在ABC 中，已知 sinAsinBsinC=357,则此三角形的最大内角的度数等于_.三、解答题17. 在ABC 中，已知 a-b=4,a+c=2b，且最大角为 120，求ABC 的三边长. 18. （四川）在 ABC中， 、 为锐角，角 ABC、 、 所对的边分别为 abc、 、 ，且 510sin,si（I）求 的值；（II）若 21ab，求 abc、 、 的值。 19.（湖北 16)设ABC 的内角 A、B 、C 所对的边分别为 ，已知.,abc11,2cos4abC() 求ABC 的周长；()求 cos(AC.)2