2018年经济数学基础小抄3-3(积分完整版电大小抄)-电大专科考试小抄

考试小抄经济数学基础积分学一、单项选择题1在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ）A y = x2 + 3 2. 若 = 2，则 k =（ A ）A1 10d)(3下列等式不成立的是（ D ） D )d(lnx4若 ，则 =（ D ）.cxfx2e)()(fD. 215. （ B ） B )d(x cxxe6. 若 ，则 f (x) =（ C ）cf11eC 2x7. 若 是 的一个原函数，则下列等式成立的是( B ) )(FfB (daFxa8下列定积分中积分值为 0 的是（ A ） A xxd2e19下列无穷积分中收敛的是（ C ） C 110设 (q)=100-4q ，若销售量由 10 单位减少到 5 单位，则收入 R 的改R变量是（ B ） B-350 11下列微分方程中，（ D ）是线 D xyxylnesin12微分方程 的阶是（ C ） C. 2 0)()(432y13在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1, 3）的曲线为（ C ）C 14下列函数中，（ C ）是 的原函数 C2sinx2cos1x15下列等式不成立的是（ D ） D )1d(lx16若 ，则 =（ D ） D. cxfx2ed)()(f2e41x17. （ B ） B )(x cxxe18. 若 ，则 f (x) =（ C ） Ccf11d21x19. 若 是 的一个原函数，则下列等式成立的是( B ) )(FxfB )(d)(aFxfxa20下列定积分中积分值为 0 的是（ A ） A xxd2e121下列无穷积分中收敛的是（ C ） C 122下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程D xyxylnesin23微分方程 的阶是（ C ） C. 2 0)()(43224.设函数 ，则该函数是（ A ）.A. 奇函数 fcos1i25. 若 ，则 ( A )A. )(2xx)xf226. 曲线 在 处的切线方程为(A Asiny0x27. 若 的一个原函数是 , 则 =（ D）D )(fx1)(f32x28. 若 则 C. c2ed)1(e二、填空题1 xe2x22函数 的原函数是- cos2x + c (c 是任意常数) fsin)(13若 ，则 .xf2)df124 若 则 = .cF()( xx)de(cFx)e(5 0 . e12)lnx6 0 2d(x7无穷积分 是 收敛的 （判别其敛散性）0)18设边际收入函数为 (q) = 2 + 3q，且 R (0) = 0，则平均收入函数为 2 + q39. 是 2 阶微分方程.0e)(2yx10微分方程 的通解是 cx311 xd22考试小抄12 。答案：_d)cos(xcxos13函数 f (x) = sin2x 的原函数是 2114若 ，则 答案：c32)(f32lnx15若 ，则 = .xFf)(d)( xfd12答案： c1216 . 答案：0e)ln(x17 答案：012dsi18无穷积分 是 答案：1 0-ex19. 是 阶微分方程. 答案：二阶)(23y20微分方程 的通解是答案：cxy321. 函数 的定义域是(-2,-1)U(-1,224)ln(xf22. 若 ，则 4 sim0x23. 已知 ，则 = 27+27 ln3 xf3)()(f24. 若函数 在 的邻域内有定义，且 则 1 .,1,ff xli025. 若 , 则 -1/2 2d0ekx(三) 判断题1、 . ( )lim0xx12. 若函数 在点 连续，则一定在点 处可微. ( )(f00x ) 13. 已知 ，则 = xftan)(fx2cos1（ ）14、 . （ ）. 1820d2x15. 无穷限积分 是发散的. ( dsinx三、计算题 解 x1i2cxos)(dsinsi22 2解 xdcxx 2ln)(3 si3解 cxx sinodsod4 xd1)ln(4解 = xxd1)(2ln1)(2= c425 xxd)e(3ln05解 =1l23ln02)ed(1)(xx= = 3ln0566 xdlne16解 )(lnd2ln2)(ll e1e1e1 xxx e1e4e2de21x7 2e1dlnx7解 = =2 )lnd(l12ex= 2e1lx)3(8 dcos208解 = - =x220sin1xdsin=20cos41x1考试小抄9 xd)1ln(e09解法一 xxd1)1ln(e0= de1e0= =1 1e0)l(xl解法二 令 ，则xuuudlndl)1ln( e1ee0 = u10求微分方程 满足初始条件 的特2xy47)(y解10解 因为 ， P1)(1)(2Q用公式 dee2dcxxy1)(ln2lnxxc2443由 ， 得 712)(3y1所以，特解为 x11求微分方程 满足初始条件 的0e32y3)1(y特解11解 将方程分离变量： xde32等式两端积分得 cy12将初始条件 代入，得 3)1(， c = 33e123e61所以，特解为： 2xy12求微分方程 满足 的特解. xyln 1xy12解：方程两端乘以 ，得 1xyl2即ln)(两边求积分，得 cxxxy2l)(dll通解为： yn由 ，得1xc所以，满足初始条件的特解为： xy2ln13求微分方程 的通解yltan13解 将原方程分离变量 dcot两端积分得 lnln y = lnC sinx 通解为 y = eC sinx 14求微分方程 的通解.ln14. 解 将原方程化为： ，它是一阶线性微分方程，xy1，xP)(Ql)(用公式 ()d(deexPxycln1dxdellncxxdlcx考试小抄)ln(cx15求微分方程 的通解 y215解 在微分方程 中， xQP2)(,1(由通解公式de2)de(d cxcxyx )e()2x(x16求微分方程 的通解 yxsin16解：因为 ， ，由通解公式得P1)(xQ)(desidcyxx= =)n(ell)dsin(cx= sico1xx17 dsi解 xxxdsin21sin2= = co18 xde21解： )1d(e)1(221 xxcx1e19 dln解： )d(ln1l1xxx)l(l1cn2d)(2x20 xlne1解：e12e122e 4dl xx= （答案： )(421 xdlne12解：91e2e31l3l 31e1e12 xx22 dcos0解 =x220in20cosdsix23 4586lim24xx3214lim)1(2li4x（解 ： 原 式 24. xsn1li0412sinlm1li )sin(li)00 0 xxx x（ ） （解 ： 原 式 25 x)3(li exx xxx431lim4 314)1(li )(li)(li经 经 解 ： 原 式 26设 ，求ycoslnyddxd xxx)si23( cosin23cs)()(l1 12123解 ：27. 设 ，求 .xy1sinly 21sin1sin 1sinsi1sin col2co2l il)()( xxxxx解 ：28设 是由方程 确定的隐函数,求)(yxyye3.考试小抄xeyyyxeexy3201322 求 导 得 ：解 ： 方 程 两 边 对29设 是由方程 确定的隐)(xyyxxye1)cos(2函数,求 .dyxyx yxyx yx esin2)(e102)i(e1cos22求 导 得 ：解 ： 方 程 两 边 对30. d)1(0Cxx1122解 ： 原 式 31. xe5e5e32. xdsin2cos2cs33.Cxcd 2cos41ino1ini34.271l50l1 ln510lnd2 2eee xdxe35. exx1112de36. 1sin0dcosdcosin 2202020 xxx37. lnll 1e1e1e1 e四、应用题1投产某产品的固定成本为 36(万元)，且边际成本为 =2x + )(C40(万元/百台). 试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.1解 当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为= = 100（万元） d)02(xC42)0(又 = =cx36x3640令 ， 解得 .0361)(2xCx = 6 是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为 6 百台时可使平均成本达到最小. 2已知某产品的边际成本 (x)=2（元/件），固定成本为 0，边际收益(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再R生产 50 件，利润将会发生什么变化？2解 因为边际利润=12-0.02x 2 = 10-0.02x )()(CL令 = 0，得 x = 500 x = 500 是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为 500 件时，利润最大.当产量由 500 件增加至 550 件时，利润改变量为=500 - 50250 )1.0(d)2.1(xxL525 = - 25 （元）即利润将减少 25 元. 3生产某产品的边际成本为 (x)=8x(万元/百台)，边际收入为 (x)C R=100-2x（万元/百台），其中 x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从考试小抄利润最大时的产量再生产 2 百台，利润有什么变化？3. 解 (x) = (x) - (x) = (100 2x) 8x =100 10x LRC令 (x)=0, 得 x = 10（百台）又 x = 10 是 L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故 x = 10 是L(x)的最大值点，即当产量为 10（百台）时，利润最大. 又 xd)10(d)(1201205101204已知某产品的边际成本为 (万元/百台)， x 为产量34)(xC(百台)，固定成本为 18(万元)，求最低平均成本. 4解：因为总成本函数为= xd(c2当 x = 0 时， C(0) = 18，得 c =18即 C(x)= 183又平均成本函数为 xxA183)(令 ， 解得 x = 3 (百台)2)该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当 x = 3 时，平均成本最低. 最底平均成本为(万元/百台) 9318)3(A5设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中 x 为产量，xC单位：百吨销售 x 百吨时的边际收入为 （万元/R215百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产 1 百吨，利润会发生什么变化？5解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润)(x= 14 2x )()(CxRL令 ，得 x = 7 0由该题实际意义可知， x = 7 为利润函数 L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为 7 百吨时利润最大. (2) 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时，利润改变量为=112 64 98 + 8728 )14(d)214(L49 = - 1 （万元）即利润将减少 1 万元. 6投产某产品的固定成本为 36(万元)，且边际成本为 =2x + 40(万)(C元/百台). 试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解 当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为= = 100（万元） d)02(xC642)0(又 = =cx3x3640令 ， 解得 .01)(2x6x = 6 是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为 6 百台时可使平均成本达到最小.7已知某产品的边际成本为 (万元/百台)， x 为产量34)(xC(百台)，固定成本为 18(万元)，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为= xd(c2当 x = 0 时， C(0) = 18，得 c =18即 C(x)= 183又平均成本函数为 xxA183)(令 ， 解得 x = 3 (百台)2)该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当 x = 3 时，平均成本最低. 最底平均成本为(万元/百台) 918)3(8生产某产品的边际成本为 (x)=8x(万元/百台)，边际收入为 (x)C R=100-2x（万元/百台），其中 x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润有什么变化？解：已知 (x)=8x(万元/百台)， (x)=100-2x，则RL10)(令 ，解出唯一驻点 10由该题实际意义可知， x = 10 为利润函数 L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为 10 百台时利润最大. 从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润的改变量为 20)510(d)10(1202 L（万元）即利润将减少 20 万元.9设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中 x 为产量，xC3)(单