组合投资收益和风险问题的数学建模 数学建模课程设计论文

安徽工程大学 数学建模 课程设计论文组合投资收益和风险问题的数学建模姓 名： 学 号： 班 级： 指导老师： 成 绩： 完成日期：2013 年摘要在现代商业、金融投资中，投资者总是希望实现收益最大化，然而投资是要承担风险的，收益与风险之间存在难以调和的矛盾，怎样兼顾两者，寻找切实可行的决策思想，是投资的收益和风险决策的一个重要的问题。本论文主要讨论并解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的有关问题。分别在不考虑投资项目之间的影响和考虑投资项目之间的影响以及不考虑风险和考虑风险的情况下，建立相应的数学模型，来使得投资所获得的总利润达到最大。问题一是一典型的线性规划问题。根据题目要求，要求第五年末的最大利润，则建立线性规划模型，在 LINDO 中编程求得第五年末的最大利润为1418.704 万元。第一年投资项目有 1，2，3，4，5，6，投资额分别为50000.00，30000.00，40000.00，30000.00，30000.00，20000.00 万元；第二年投资项目有 1，2，7，投资额分别为 10083.00，30000.00，40000.00 万元；第三年投资项目有 1，2，8，投资额分别为 50307.08，30000.00，30000.00 万元；第四年投资项目有 1，2，3，4，投资额分别为30625.39，30000.00，40000.00，30000.00 万元；第五年投资项目有 1，2，投资额分别为 30689.01，30000.00 万元。 问题二是在问题一的基础上，增加了约束条件（考虑项目间的影响）的组合投资问题。建立非线性规划模型，在 LINGO 中求解得到第五年末的最大利润为 231762.8 万元。第一年投资项目有 1，2，3，4，投资额分别为60000.00，60000.00，35000.00，30000.00 万元；第二年投资项目有 1，2，5，投资额分别为 60000.00，60000.00， 30000.00 万元；第三年投资项目有1，2，6，投资额分别为 60000.00，60000.00，40000.00 万元；第四年投资项目有 1，2，3，4，投资额分别为 60000.00，60000.00，35000.00，30000.00 万元；第五年投资项目有 1，2，投资额分别为 60000.00，60000.00 万元。问题三在问题二的基础上考虑投资风险，要求风险最小，收益最大，是一双目标函数问题，求解过程中假设投资者能承受的最大风险度 0.01a，进而将其转化为单目标问题。在 LINGO 中求解得到第五年末的最大利润为 175244.8万元。第一年投资项目有 1，2，3，4，6 投资额分别为60000.00，60000.00，11670.25，30000.00，7784.336 万元；第二年投资项目有1，2，3，5，6 投资额分别为57395.06，54729.02，12711.78，2500.000，1342.021 万元；第三年投资项目有1，2，3，4，6，投资额分别为60000.00，60000.00，13511.02，30000.00，9012.173 万元；第四年投资项目有1，2，3，投资额分别为 60000.00，60000.00，17037.64 万元；第五年投资项目有 1，2，投资额分别为 60000.00，60000.00 万元。关键词：线性规划 非线性规划 LINGO 风险1、问题重述由题意知，现有一笔 20 亿的资金作为未来 5 年的投资资金，不是将其投资于一个项目上，而是有 8 个项目可供选择投资，并要求：项目 1、项目 2 每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润） ；项目 3、项目 4 每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目 5、项目 6 每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目 7 只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目 8 只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。1.公司财务分析人员的实验数据，求怎样安排投资，使得第五年末的利润最大，也即是五年累计的利润最大？2.考虑各项目投资的相互影响的同时又考虑了其他的因素：项目 5 的投资额固定，为 500 万，可重复投资；对投资项目 1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目 1 中投资超过 20000 万，则同时可获得该笔投资金额的 1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。每年对各个项目投资的到期利润率各不相同且受到某些项目同时投资的影响，如同时对项目 3 和项目 4 投资时的到期利润率与项目 3 和项目 4 独立投资不同。所以应在模型一中加以更多的限制来求解第五年末所得最大利润。3.本题考虑投资风险，并用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量，来求如何投资，使得总体风险最小，第五年末的利润最大。其它约束条件与二问相同。2、条件假设1.假设市场经济在五年内基本稳定。2. 无交易费和投资费用等的费用开支。3. 假设在五年内产生的利润可作为下一年的投资资金。4.对问题一：（1）假设不考虑各投资项目间的影响以及存在的风险。（2）假设在五年内各投资项目的到期利润率不变。5.对问题二：（1）假设不考虑投资风险。（2）假设仍然考虑一问条件，如项目 3、项目 4 每年初投资，要到第二年末才可回收本利。6. 对问题三：（1）某些项目单独投资或共同投资的风险损失率（标准差）每年基本相同。（2）假设仍然考虑一问条件，如项目 3、项目 4 每年初投资，要到第二年末才可回收本利。（3）投资者能承受的最大风险度 。0.1a3、符号说明下面将会用到以下符号：-第五年末所得的利润。z-第 年末回收的本利。iri-每年年初的可用来投资的资金。iy-第 年初对第 个项目的投资金额。ijxij-问题一中第 个项目的预计到期利润率（ ） 。jp -第 个项目的投资上限。jmj-问题二中各项目单独投资时，第 年第 个项目的到期利润率。ijc ij-问题二中某些两个项目同时投资时，第 年第 个项目的到期利ijd ij润率。-问题二中五六八项目同时投资时的到期利润率 。3je 5,68j-问题二中实际采用的第 年第 个项目的到期利润率。ijbij-问题二中第一项目获得的捐赠资金。1ig-问题二中第 年项目五可以重复投资的次数。ini-问题三中的总体投资风险。f-问题三中实际采用的风险损失率。ijo-问题三中第 个项目单独投资时的风险损失率。ijvj-问题三中某些项目同时投资时的风险损失率。iju-问题三中投资者能够承受的最大风险度。a4、问题分析题目背景：随着市场经济的发展，越来越多的人把目光转移到投资上。为了获得最大的利益，组合投资的风险与收益成为投资者必须考虑的问题。投资者在考虑投资项目的预期收益率的同时，也要考虑投资项目存在的风险。如何使利润最大化，风险最小化是投资者首要考虑的问题。下面是对该问题的分析与解答。在分析解答之前给出以下定义：预期收益率：预期收益率也称为期望收益率，是指如果事件不发生的话可以预计到的收益率。本题中到期收益率与之类似，即到期利润率是指对某项目的一次投资中，到期回收利润与本金的比值。风险：风险可以用收益的方差（或标准差）来进行衡量：方差越大，则认为风险越大；方差越小，则认为风险越小。在一定的假设下，有收益的方差（或标准差）来衡量风险确实是合适的。风险损失率和风险一样也可以用收益的方差（或标准差）来进行衡量。1.题一，根据题意，在不考虑各项投资之间的相互影响以及投资存在的风险情况下，求第五年末的最大利润，即五年内利润的和的最大值。则第五年末的最大利润就等于五年中各项投资项目的金额与该项目的到期利润率的乘积之和。还应考虑的限制条件为：限制条件 1：每年可用来投资的最大金额。第一年为 20 亿元。限制条件 2：对每项项目投资的最大金额。2.题二, 根据题意, 在考虑各项投资之间的相互影响且不考虑在投资中的风险情况下，求第五年末的最大利润，即五年内利润的和的最大值。首先，应根据附表数据求得各年对各项目的单独投资的到期的利润率，以及各年对某些项目同时投资的到期利润率，如同时对项目 5、项目 6 和项目 8投资的到期利润率与它们单独投资时的到期利润率不同，应分情况考虑，即它们是否同时投资。然后，对投资项目 1 应单独考虑，因为当项目一投资大于20000 万时，可以获得 1%的捐赠，这是我们必须考虑的。其次，项目 5 的投资额固定，为 500 万，可重复投资。所以应考虑项目 5 在五年内的投资次数。限制条件 1：每年可用来投资的最大金额。限制条件 2：对每项项目投资的最大金额。限制条件 3：同时投资时的到期利润率不同。3.题三,根据题意考虑各投资项目的风险情况下，求第五年末的最大利润，即五年内利润的和的最大值，并且使得风险最小。此问题为一双目标规划问题。首先，应该把总的风险表示出来，即总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。风险可以用收益的方差或标准差来衡量。其次，在考虑风险的基础上来求解如何组合投资使得风险最小而利润最大。限制条件 1：每年可用来投资的最大金额。限制条件 2：对每项项目投资的最大金额。限制条件 3：同时投资时的到期利润率不同。限制条件 4：同时投资与非同时投资时的风险损失率（标准差）不同。5、模型建立问题一：不考虑投资风险和各投资项目间的相互影响，建立线形规划模型求解。（1）目标函数：第五年末所得利润，即五年内各项目产生的总利润581jiijzpx（2）约束条件 1：每年年初可用来投资的金额应大于等于每年年初投资各项目的总额：81iijyx,2345第 年年初可用来投资的资金 等于第 年初未投资的资金加上第i iy1i年末回收的本利。1i第一年初可用来投资的资金 120y第一年末回收第一年投资中一二项目的本利 211()jjrpx第二年初可用来投资的资金822111()jjjyxpx第二年末回收第一年三四项目和第二年一二项目的本利242113()()j jj jrxx第三年初可用来投资的资金8243221113()()jj jj jyxpxpx第三年末回收第一年五六项目、第二年三四项目和第三年一二项目的本利24633211 5()(1)()j j jj j jrpxpxpx第四年初可用来投资的资金 82464332111 5()()()jj j jj j jyxxxpx第四年末回收第二年五六项目、第三年三四项目和第四年一二项目的本利2464 32135()(1)(1)j j jj j jrpxpxpx第五年初可用来投资的资金824654 321135()(1)(1)jj j jj j jyxpxpxpx第五年末回收第二年七项目、第三年五六八项目、第四年三四项目、第五年一二项目的本利 24655437283135()(1)(1)()(1)j j jj j jrpxpxpxxpx约束条件 2：每项项目在投资期间不能超过项目最大金额的限制第一二项目每年均可以投资，可以投五次：ijjxm(,24,12)ij第三四项目每年初投资，第二年末才可回收本利，可投资四次：1,ijijj(,35,4)ij第五六项目每年初投资，第三年末才可回收本利，可投资三次：1,2,ijijijjxm(,5,6)ij第七项目第二年初投资，到第五年末回收本利，可投资一次：27第八项目第三年初投资，到第五年末回收本利，可投资一次：38xm所以可以建立线形规划模型，利用 LINGO 软件或 LINGDO 软件求解。问题二：不考虑投资风险时，建立非线性规划模型求解。（1） 根据题目中表二、表三分别求得各投资项目独立投资时的投资额及到期利润率（见表一）以及一些投资项目同时投资时的投资额及到期利润（见表二） 。项目 1 2 3 4 5 6 7 820080.147160.152090.233340.294220.69895 0.7515318.4486 2.4939520090.184310.189620.251280.3317 0.73702 1.3867 -4.27695-1.1981320100.1037 0.185510.255570.30819-0.161361.49251-4.84479-1.3717420110.144490.210650.519210.259821.03988 1.299942.82955 5.18598到期利润率 ijc20120.181710.245810.516380.321011.21551 1.30994-9.607562.67363表一. 各投资项目独立投资时的到期利润率同时投资项目 3、4 同时投资项目 5、6 同时投资项目 5、6、8项目 3 4 5 6 5 6 82008 0.30961 0.44849 -0.01668 2.1279 -0.57828 0.78327 1.706372009 0.73186 0.39391 0.9724 0.36539 1.01587 0.87191 2.602952010 0.5624 0.43641 1.9492 -0.65437 -0.24845 2.06485 -0.543852011 0.26359 0.39107 1.00629 1.69441 0.88073 0.38738 2.38954到期利润率 ijd2012 0.52086 0.38209 1.31418 -1.08406 1.73688 -0.74813 -1.00638表二. 一些投资项目同时投资时到期利润率（2）目标函数：第五年末所得利润，即五年内各项目产生的总利润（项目单独投资时 ，某些项目同时投资时581ijizbxijijbc）ijijbd（3）约束条件 1：某些项目同时投资时的到期利润率。1）当 万元时，第 年可得捐赠资金 ，作为第20ixi110.iigx年初的投资资金，当 万元时，第 年可得捐赠资金i 120ix。1ig2）当三四项目同时投资时， ，此时34*iix(1,234)i， 否则 。ijijbdijijbc(,)3）同理：当五六项目同时投资时， ，此时560iix(,)i，否则 。ijijijijc(,6)4）当第三年初五六八项目同时投资时， ，此时35638*x，否则 。3jjbd3jjbc(5,8)5）项目五为固定投资 500 万且可以重复投资， ，50*iixn。in为 非 负 整 数约束条件 2：每年年初可用来投资的金额应大于等于每年年初投资各项目的总额：81iijyx,2345第一年初可用来投资的资金 1120g第一年末回收第一年投资中一二项目的本利 211()jjrbx第二年初可用来投资的资金8221121()jjjyxxg第二年末回收第一年三四项目和第二年一二项目的本利242113()()j jj jrbxbx第三年初可用来投资的资金824322131113()()jj jj jyxxxg第三年末回收第一年五六项目、第二年三四项目和第三年一二项目的本利2463321135()(1)()j j jj j jrbxbxbx第四年初可用来投资的资金 824643321411135()()()jj j jj j jyxxxbxg 第四年末回收第二年五六项目、第三年三四项目和第四年一二项目的本利24644321 5()(1)(1)j j jj j jrbxbxbx第五年初可用来投资的资金8246544325111 5()()(1)jj j jj j jyxxxbxg 第五年末回收第二年七项目、第三年五六八项目、第四年三四项目、第五年一二项目的本利 24655432738135()(1)(1)()(1)j j jj j jrbxbxbxxbx约束条