线性代数试题及答案

.（试卷一）一、 填空题（本题总计 20 分，每小题 2分）1. 排列 7623451 的逆序数是 15 。_2. 若 ，则 3 121a160321a3. 已知 阶矩阵 、 和 满足 ，其中 为nABCEABE阶单位矩阵，则 。n 14. 若 为 矩阵，则非齐次线性方程组nm有唯一解的充分要条件是AXbR(A)=R(A,b)=n_5.设 为 的矩阵，已知它的秩为 4，则以86为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间A维数为_2_。6. 设 A 为三阶可逆阵， ，则 12301A*A7.若 A 为 矩阵，则齐次线性方程组nm有非零解的充分必要条件是 R（A） 0xn .8.已知五阶行列式 ，则12345015432D0 4543241AA9. 向量 的模（范数） 。(,12)T _10.若 与 正交，则 1kT1k1-2k+1=0二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. 向量组 线性相关且秩为 s，则(D)r,21 sr r s s2. 若 A 为三阶 方阵，且，则 (A)043,02, EEA 8 8 3 343设向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则( D ) )(RB )(ARB A .4. 设 阶矩阵 的行列式等于 ，则 等nADkA于 。C_)(Ak)(BAkn )(Ckn1D5. 设 阶矩阵 ， 和 ，则下列说法正确的nAC是 B 。_则 ,则 或)(ACB)(B0A0)(TTB)(D2)(B三、计算题（本题总计 60 分。1-3 每小题8 分,4-7 每小题 9 分）1. 计算 阶行列式 。n221D232 1n222设 A 为三阶矩阵， 为 A 的伴随矩阵，*且 ，求 .1*A)3(13求矩阵的逆 2104. 讨论 为何值时，非齐次线性方程组.21231x 有唯一解； 有无穷多解； 无解。5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。521341x6.已知向量组 、 、T201T、 、 ，求此T313944 15向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示7. 求矩阵 的特征值和特征向量20134A四、证明题（本题总计 10 分）设 为 的一个解， 为对应bAX012,nr 齐次线性方程组 的基础解系，证明线性无关。12,nr （答案一）一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）115； 2、3； 3、 ；4、 ；5、2；6、CAnbAR),(.；7、 ；8、0；9、3；10、1。.二、选1230nAR择题（本题总计 10 分，每小题 2 分 1、D；2、A；3、D；4、C；5、B三、计算题（本题总计 60 分，1-3 每小题 8 分，4-7 他每小题 9 分）1、 解： -D),43(2niri021 032n2-3 分-6 分12r0021 032n2-8 分)!()2(321)( n（此题的方法不唯一，可以酌情给分。 ）解：（1） -1 分12412312AB-5260402分.（2） A 1628704-8 分3. 设 A 为三阶矩阵， 为 A 的伴随矩阵，且 ，* 2A求 . 因 A ，故 3 分 *2)3(1*E2141n*5 分 *1A8 分2716434232)3(1 *4、解： -3 分101),(EA132r100-6 分23r20)(32r 21故 -8 分 （利用11A公式求得结果也正确。 ）A15、解； 21),(bA13r322102r-3 分)()(2012（1）唯一解： -3,bAR21且5 分.（2）无穷多解： -73),()bAR1分（3）无解： -9),()AR2分 （利用其他方法求得结果也正确。 ）6、解： -3 分520113),(bA r 003152基础解系为 ， -24321x 0121026 分令 ，得一特解： -7 分 3524321x043x 035故原方程组的通解为：，其中 -9 分（此题结102035121 kk Rk21,果表示不唯一，只要正确可以给分。 ）7、解：特征方程 从而21043()12AE(4 分)123,1当 时，由 得基础解系 ，即对应于(20AEX1(0,)T的全部特征向量为 (7 分)1 1k(0)当 时，由 得基础解系 ，即对应23() 2(,1T.于 的全部特征向量为 231 2k(0)四、证明题（本题总计 10 分）证： 由 为对应齐次线性方程组 的基础12,nr 0AX解系，则 线性无关。(3 分)r 反证法：设 线性相关，则 可由12,nr 线性表示，即： (6 分)12,nr r1因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故 必是 的解。这与已知条件 为0AX bAX的一个解相矛盾。(9 分 ). 有上可知，0b线性无关。(10 分)12,nr (试卷二)一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）1. 排列 6573412 的逆序数是 2.函数 中 的系数是 ()fx21x3x3设三阶方阵 A 的行列式 ,则 = A/3 3A*1()4n 元齐次线性方程组 AX=0 有非零解的充要条件是 R（A）n 5设向量 ， = 正交，则 -2 (1,2)T2.6三阶方阵 A 的特征值为 1， ，2，则 A-2 7. 设 ，则 .1203_8. 设 为 的矩阵，已知它的秩为 4，则A86以 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_2_9设 A 为 n 阶方阵，且 2 则 A 1*()3A21n）（ 10已知 相似于 ，则 2031Ax12Byx， y二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. 设 n 阶矩阵 A 的行列式等于 ，则 等DA 5于 A (A) (B)-5 (C) 5 (5)nD D(D) 1()n.2. 阶方阵 与对角矩阵相似的充分必要条nA件是 .(A) 矩阵 有 个线性无关的特征向n量(B) 矩阵 有 个特征值A(C) 矩阵 的行列式 0A(D) 矩阵 的特征方程没有重根3A 为 矩阵，则非齐次线性方程组m