(Principle of Digital Communications)-通信原理课件Chapter3

数字通信原理(Principle of Digital Communications),第三章 模拟信号的数字编码,学习内容,抽样定理量化PCM的基本概念编码DPCMM,低通和带通信号抽样定理,1.低通采样定理 若采用间隔TS小于等于1/(2fM)，则频谱不超过fM赫兹的带限信号可由其等间隔的采样值惟一确定。 采用频率fS2fM称为奈奎斯特频率。2.采样方式 冲激采样xs(t) 定义冲激序列:,冲激采样示例,抽样和重构,冲激采样xs(t)的傅氏变换：当fS 2fM，无混叠现象，信号可无失真恢复 当fS 2fM，有混叠现象，信号难以无失真恢复,混叠失真的一个例子：信号的波形/频率发生变化。,2.采样方式（续） 自然采样xs(t) 定义采样序列: 自然采用的傅氏变换：采样序列确定后，cn为常数，可用滤波器无失真地恢复原信号。,自然采样示例,自然采样产生设备,自然采样的谱,和理想抽样比较一下，发现，高频部分没有频率分量，包络形状就是sinc函数的形状，换句话，就是PAM的带宽大于原模拟波形带宽,带通抽样定理 设带通信号:xB(t)；频率范围：fLfH，带宽：BfHfL 若抽样频率满足： fS = 2B(1+M/N)， 其中N为小于等于fH/B的最大正整数，M = fH/B N，则 用带通滤波器可无失真地恢复xB(t)。 利用带通抽样定理，fS被限定在2B4B范围内。 （显然，利用低通抽样定理也可恢复带通信号， 此时要求：fS 2fH）,带通抽样定理的证明 带通信号经抽样后: xS(t) = xB(t)x(t) = xB(t)n （tnTs） 抽样信号频谱： XS(f)= XB(f)* X（f）(1/TS)n XB(f - nfS) 要无失真地恢复xB(t)，要求各 XB(f - nfS)成分在频 谱上无混叠。 一般地，有fH NBMB，其中N为整数，0 M 1。,带通抽样定理的证明(续) 如下图所示，要使信号频谱不发生混叠，应同时满足： NfS 2fH = 2(NBMB) （1） (N-1)fS + B 2fHB （2）,带通抽样定理的证明(续) 如取满足（1）式的最小值，有 fS = 2fH/N = 2(B + MB/N)，则 (N-1)fS = 2fH fS 因为 fS 2B，所以 (N-1)fS 2fH - 2B 从而有 (N-1)fSB 2fH B，即满足（2）式。 即当取 fS = 2B(1 + M/N) 时，抽样信号频谱不会发生混叠， 因而原信号可用带通滤波器无失真地恢复。 证毕。,标量量化,标量量化的基本原理,对抽样序列的逐个样值独立地进行量化称为标量量化。其方法是将样值序列的最大取值范围划分成若干相邻的段落，当某样值落在某一段落内时，其输出值就用该段落所对应的某一固定值得来表示。,量化与量化噪声1.量化量化：将一连续的无限数集映射成离散的有限数集的过程。 如图所示： 量化器特性： Yk = Q( Xk X Xk+1) 其中，分层电平(判决电平)：Xk 量化电平: Yk 量化间隔：qk Xk1 Xk,图7.9.9均匀量化示意图,3. 量化误差（噪声） q = X - Yk = X - Q(X), Xk 1时，可认为 之间的p(x)近似为均匀分布，则,最优非均匀量化 设量化前的（压缩）变换特性为：yC(x)，如下图所示,最优非均匀量化 设信号变化范围： VP 1 时， 一般地有 利用上式，得 上式中，利用了均匀量化时Yq。,最优非均匀量化（续） 可以证明，给定信号的幅度取值分布特性p(x),最佳的（压缩） 变换特性由下式确定： 问题：在实际应用中， 信号的p(x)是一个很难确定的和变化 的函数，当发生变化时导致量化器不匹配。 不匹配的量化器可能导致性能的严重下降。 最优非均匀量化通常只有理论的意义。,对数（压缩）变换 通常量化器在小信号时信噪比会变差。 在信号p(x)未知情况下一般希望压缩特性与信号p(x)无关， 量化信噪比为常数。 假定信号均值 mX0，信号的功率为： 量化信噪比： 显然，当取： 即： 时 量化信噪比为常数。,对数（压缩）变换（续） 整理得： 其中B为常数，考虑信号的正负取值范围 取： 即变换特性为对数压缩特性。 考虑当X-0时，对数函数取值趋于无穷大，一般作线性修 正：- A率压扩器和率压扩器。,对数（压缩）变换（续） A率压扩器 率压扩器。,率量化的Matlab实现,function y,a=mulaw(x,mu)%MULAW mu-law nonlinearity for nonuniform PCM% Y=MULAW(X,MU).% X=input vector. a=max(abs(x);y=(log(1+mu*abs(x/a)./log(1+mu).*signum(x);,function x=invmulaw(y,mu)%INVMULAW the inverse of mu-law nonlinearity%X=INVMULAW(Y,MU) Y=normalized output of the mu-law nonlinearity. x=(1+mu).(abs(y)-1)./mu).*signum(y);,对数（压缩）变换（续） 率压扩器A率压扩器,归一化A率压扩器当 0 = X 1/A, C(X)=AX/(1+lnA), 直线； 当 1/A = X = 1, C(X)=1+ln(AX)/(1+lnA), “对数”曲线； A取不同值时，曲线的变化规律如下图所示。 对国际标准A律特性， 取 A87.56 。,A率压扩器（续） 归一化（Xmax/VP = 1）的量化噪声功率值： 与信号的分布特性有关。 在小信号段，（归一化信号值满足：X = 1/A ) Y = C(X) = 87.6/( 1 + ln(87.6)X YdB 20lg87.6/( 1 + ln(87.6)X = 24 + 20lg(X) （dB） A律变换对小信号有24dB的增益。,8-bit PCM系统有无压扩的输出SNR比较,A律对数压缩特性的十三折线法近似实际电路无法输出光滑的曲线 将A律变换特性近似地用13段折线(包括X负半轴)表示： 其中X取值 01/128与 1/1281/64 段斜率相同， 连成一段。,13折线法的Matlab程序,%demo for u and A law for quantize，filename: a_u_law.m%u=255 y=ln(1+ux)/ln(1+u)%A=87.6 y=Ax/(1+lnA) (0x1/A) y=(1+lnAx)/(1+lnA)clear allclose alldx=0.01;x=-1:dx:1;u=255;A=87.6; %u Lawyu=sign(x).*log(1+u*abs(x)/log(1+u);%A Lawfor i=1:length(x) if abs(x(i)=0 ,function out= pcm_decode(in,v)%decode the input pcm code %in : input the pcm code 8bit/sample%v: quantized leveln=length(in); in = reshape(in,8,n/8);slot(1) = 0;slot(2) = 32;slot(3) = 64;slot(4) = 128;slot(5) = 256;slot(6) = 512;slot(7) = 1024;slot(8) = 2048; step(1) = 2;step(2) = 2;step(3) = 4;step(4) = 8;step(5) = 16;step(6) = 32;step(7) = 64;step(8) = 128; for i=1:n/8 ss = 2*in(i,1)-1; tmp= in(i,2)*4+in(i,3)*2+in(i,4)+1; st = slot(tmp); dt = (in(i,5)*8+in(i,6)*4+in(i,7)*2+in(i,8)*step(tmp) + 0.5*step(tmp); out(i)=ss*(st+dt)/4096*v;end,PCM,脉冲编码调制（PCM，pulse code modulation）是将模拟信号变换成二进制信号的最基本和最常用的方法，主要包括抽样、量化和编码3个过程。,脉冲编码调制,PAM,PAM脉冲幅度调制是一个工程术语，用来描述模拟波形到脉冲信号的转换过程，脉冲信号的幅度表示模拟信息有两种类型的PAM信号：自然抽样产生和瞬时抽样产生的平顶脉冲PAM信号,PAM: (a) 输入信号; (b)抽样脉冲; (c) PAM信号,脉冲调制: (a)模拟信号; (b)抽样脉冲; (c) PWM; (d) PPM; (e) PAM; (f) PCM,PWM信号及其频谱的Matlab代码,clear all;% be safeN=20000;% FFT sizeN_samp=200;% 200 samples per periodf=1;% frequencybeta = 0.7;% modulation indexperiod = N/N_samp;% sample period (Ts)Max_width = beta*N/N_samp;% maximum widthy=zeros(1,N);% initializefor n=1:N_samp x=sin(2*pi*f*(n-1)/N_samp); width=(period/2)+round(Max_width/2)*x); for k=1:Max_width nn=(n-1)*period+k; if kwidth y(nn)=1;% pulse amplitude end endendymm = y-mean(y);% remove meanz=(1/N)*fft(ymm,N);% compute FFTsubplot(211)stem(0:999,abs(z(1:1000),.k)xlabel(Frequency - Hz.)ylabel(Amplitude)subplot(212)stem(180:220,abs(z(181:221),.k)xlabel(Frequency - Hz.)ylabel(Amplitude),编码,而把量化后的信号电平值变换成二进制码组的过程称为编码，其逆过程称为解码或译码。常见的二进制编码有三种，即：自然二进制码NBC（Natrual Binary Code）、折叠二进制码FBC（Folded Binary Code）、格雷二进制码RBC（Gray or Reflected Binary Code）。PCM通信通常采用折叠码。,A律正输入值编码表,A律对数压缩特性的十三折线法近似（续） a）A律PCM编码规则：采用8位编码 M1M2M3M4M5M6M7M8， M1 M2M3M4 M5M6M7M8 极性码： 段落码： 电平码： 0：负极性信号； 表示信号处于那 表示段内16级均匀 1：正极性信号。 一段折线上。 量化电平值。 b）最小量化间距 7位均匀量化：min 1/27 1/128; 13折线法： min (1/27)(1/24) = 1/2048; min / min = 24 = 16，对小信号,SNR改善24dB(20lg16)。,A律对数压缩特性的十三折线法近似（续） 13折线法的有关参数：段落号： 1（000） 1（001） 2（010） 3（011） 4（100） 5（101） 6（110） 7（111）（X）0 1/27 1/26 1/25 1/24 1/23 1/22 1/21 1/27 1/26 1/25 1/24 1/23 1/22 1/21 1量化台阶： 2 2 4 8 16 32 64 128 起始电平： 0 32 64 128 256 512 1024 2048终止电平： 32 64 128 256 512 1024 2048 4096,A律对数压缩特性的十三折线法近似（续）例：设输入信号幅度：X 1250*(min/2) 信号值为正，符号为取：1 因为 1024 X Y(实际值) - 线性PCM； 线性PCM - Y(实际值) - 对数PCM。 因为对数PCM最大值共有4096个单位，采用线性PCM表示时， 连符号位共需13位。,变换方法(续前)（2）查表换算 符号位：当X 0时，1；当X 0时， 0； “*”表示变换时可取0或1（变换误差）； 1X1表示取X绝对值。 根据线性PCM与对数PCM间的关系，可列表如下： 信号取值范围 线性PCM 对数PCM 当 1X1 32时， 0000000WXYZ1 000WXYZ 当 32 = 1X1 64时, 0000001WXYZ1 001WXYZ当 64 = 1X1 128时, 000001WXYZ1* 010WXYZ当128 = 1X1 256时, 00001WXYZ1* 011WXYZ当256 = 1X1 512时, 0001WXYZ1* 100WXYZ当512 = 1X1 1024时, 001WXYZ1* 101WXYZ当1024 = 1X1 2048时, 01WXYZ1* 110WXYZ当2048 = 1X1 4096时, 1WXYZ1* 111WXYZ,预测编码器原理图,相关信源的限失真编码,预测编码,线性预测编码器原理图,实现预测编码要进一步考虑以下三方面问题：,(1) 预测误差准则的选取；(2) 预测函数的选取；(3) 预测器输入数据的选取。,DPCM系统原理图,线性预测的三种基本类型（DPCM）,差分编码(DPCM)的基本原理 (1) 编码器与解码器 定义：x(n):抽样信号；xe(n):预测信号；xr(n):重建信号； d(n)x(n)-xe(n):差分信号；dq(n):差分信号量化值； I(n): dq(n)的编码值。 编码器,量化器,预测器,编码,x(n),xe(n),d(n),dq(n),xr(n),I(n),解码器 DPCM系统的误差e(n) e(n) = x(n)-xr(n) = xe(n)+d(n)-xe(n)+xq(n) = d(n)-dq(n) e(n)只与量化过程有关，也称e(n)为量化误差。,解码,预测器,I(n),dq(n),xe(n),xr(n),DPCM系统的优点 当抽样后的时间序列x(n)具有较强的相关性时，一般有 |d(n)|=|x(n)-xe(n)| 1,若SNRq不变，总的SNR将增加。,信号预测 (1) 极点预测器,量化器,预测器,编码,x(n),xe(n),d(n),dq(n),xr(n),I(n),解码,预测器,I(n),dq(n),xe(n),xr(n),(1) 极点预测器（续前） xe(n) = i=1N aixr(n-i), ai为预测系数； 预测：利用过去值来估计（当前）未来值。 dq(n) d(n) = x(n) - xe(n) = x(n)- i=1N aixr(n-i) xr(n)- i=1N aixr(n-i) 等式两边取 Z 变换： dq(Z) （1- i=1N aiZi）Xr(Z) 若定义：H(Z) = Xr(Z)/dq(Z) H(Z) = 1/（1- i=1N aiZi） H(Z)只有极点“极点预测器”（）。,(2) 零点预测器 若取： xe(n) = i=1N bidq(n-i), bi为预测系数； xr(n) = dq(n) xe(n) = dq(n) i=1N bidq(n-i) 等式两边取 Z 变换： Xr(Z) （1+ i=1N biZi）dq(Z) 若定义：H(Z) = Xr(Z)/dq(Z) H(Z) = （1 + i=1N biZi） H(Z)只有零点“零点预测器”。,量化器,（1+i=1N biZi）,编码器,x(n),xe(n),d(n),dq(n),I(n),解码,I(n),dq(n),xe(n),xr(n),（1+i=1N biZi）,预测器,(2) 零点预测器（续前） 基于零点预测器的DPCM编码解码系统,(3) 零极点预测器 若取： xe(n)= i=1N aixr(n-i)j=1M bjdq(n-j), ai,bj为预测系数； 由：xr(n) = xe(n) + dq(n) - xe(n) = xr(n) - dq(n) 即：xr(n)-dq(n) xe(n) i=1N aixr(n-i)j=1M bjdq(n-j) 又由：H(Z) = Xr(Z)/dq(Z) = 1+j=1M bjZ-j/1-j=1N aiZ-i H(Z)包含零点和极点“零极点预测器”。,(3) 零极点预测器（续前） 编码器,量化器,零点预测器,编码,x(n),xe(n),d(n),dq(n),xr(n),I(n),极点预测器,j=1N bjZj,零点预测器,极点预测器,i=1N aiZi,(3) 零极点预测器（续前） 解码器,零点预测器,解码,xe(n),dq(n),xr(n),I(n),极点预测器,极点预测器系数ai的确定 (1) Ed2最小(最佳预测)条件下极点预测器系数的求解 Ed2(n) = Ex(n)-xe(n)2 = Ex(n)-i=1N aixr(n-i)2 Ex(n)-i=1N aix(n-i)2 令 Ed2/am= -2Ex(n)-i=1N aix(n-i)x(n-m)=0 (*) m = 1,2,3,N 设x(n)广义平稳的随机序列，则相关函数R(n,n-i)满足 R(n,n-i) = Ex(n)x(n-i) = R(i) (*)式变为： R(1)=a1R(0)+a2R(1)+aNR(N-1) R(2)=a1R(1)+a2R(0)+aNR(N-2) R(N)=a1R(N-1)+a2R(N-2)+aNR(0) (*1),（1） Ed2最小条件下极点预测器系数的求解(续前) (*1)式的矩阵形式：解得（假定R(i)为非奇异矩阵）：记为： aopt = Rxx-1rxx,2.最小均方预测误差Ed2下预测值xe,opt(n)的物理意义 最佳预测值 xe,opt(n) = i=1N ai,optx(n-i)与预测误差d(n)正交。 （在统计平均意义上），即有： Ed(n)xe,opt(n) = Ex(n)-i=1N ai,optx(n-i)xe,opt(n)=0 (*3) x(n) d(n) xe,opt(n) 注：利用关系式aopt = Rxx-1rxx可证明上式。,极点预测器的最佳预测增益 1. 最佳预测增益 因为： Ed2min = Ex(n)-i=1N ai,optx(n-i)2 = Ex(n)-i=1N ai,optx(n-i)x(n)- - Ex(n)-i=1N ai,optx(n-i) i=1N ai,optx(n-i) 利用最佳预测的性质(*3)式)，右式第二项为零，所以有 Ed2minEx2(n)-Ei=1N ai,optx(n-i)x(n) = Ex2(n)- i=1N ai,optR(i) 由预测增益定义及上式： Gp,opt = Ex2(n)/Ed2(n)min = 1/(1- i=1N ai,optR(i)/Ex2(n) = 1/(1- i=1N ai,optR(i)/R(0),8. 最佳预测增益“饱和”特性 当N 2 时，Gp,opt趋于饱和，所以预测器阶数通常取25。,5,10,0,4,8,12,Gp,opt,平均值,自适应预测,线性预测需已知自相关函数,ADPCM编码器,用自适应预测和量化提高DPCM性能,ADPCM解码器,PCM原理框图,线性预测的基本类型（ PCM与噪声反馈NFC ）,PCM与DPCM的主要区别有两点：一是线性预测器输入的原始数据来源不一样，PCM是直接从输入信号xl中选取，而DPCM则是从量化器输出端ul反馈回来；另一点是量化器所处的位置不一样，在PCM中，量化器处于反馈环外，属于开环型，而在DPCM中，量化器处于反馈环内，属于闭环型。,噪声反馈（NFC)原理图,增量调制,最简单的DPCM是增量调制，又称为M。这时差值的量化级最简单，定为两级，也就是当差值为正时，输出“1”，差值为负时，输出“0”，且每个差值只需1 bit。显然，为了减少量化失真必须增加取样率，使它远大于奈奎斯特取样率，即远大于2fm，其中fm为信源信号的上限频。译码时作相反变换，即规定一个增量值，当收到“1”时，在前一瞬间信号值上加上一个值；收到“0”时，在前一瞬间信号值减去一个值。,概述 (1) 增量调制（M）：一种信源编码方式；(2) M 调制的特点：每次抽样只输出1bit反映输入信 号波形变换的编码信号，简单可靠；(3) M 调制编码的基本思想：用一阶梯波逼近一个连 续信号；(4) M 调制利用高采样率保证采样数据的相关性足够高，使得 使用简单的预测器时也可获得较小的预测误差；(5) M 调制的特点是接收处理时不需要码字的帧同步；(6) M 调制的主要应用：军用通信系统。,简单增量调制(M)原理 (1) 编码器与解码器 定义符号：x(t):输入模拟信号；x(n): x(t)信号的抽样值； xl(t):重建(本地译码)信号； xl(n):重建信号的样值； d(t):差值信号；d(n):差值信号样值； C(n):判决信号输出。 编码器 实现方法 原理电路,判决器,积分器,脉冲发生器,x(t),d(t),xl(t),C(n),抽样定时,Q ,Z-1,数码形成,x(n),d(n),xl(n),C(n),dq(n),x(n),系统原理图,增量调制(M)实现过程 判决输出: 量化输出: 编码输出: d(t)=x(t)-xl(t) = 0 ; d(n) = 0, dq(n)=+ ; C(n) = 1 ; d(t)=x(t)-xl(t) 0 ; d(n) 0 d(k)=1;else d(k)=-1;end %if xtilde(k)=xhat(k)+d(k)*dels; xhat(k+1)=xtilde(k); end %k,量化噪声与过载噪声(续前) （临界）无过载失真的最大跟踪斜率：/Ts = fs 例：对正弦信号：x(t)=Amaxcost |dx(t)/dt|=Amax ，不产生过载失真要求： fs = Amax 。 (b) 量化噪声 由：e(t)=x(t)-xl(t)， 在无过载的情况下，可认为e(t)在(-，+)内均匀分布，量化噪声：,(3) 量化噪声与过载噪声(续前) 若将e(t)近似看作一个功率均匀分布在0fS频带内的信号， 则功率密度谱为： 设接收端低通滤波器的带宽为：fB，则接收端收到的总的 噪声功率为：,(4) 正弦信号临界过载时的SNRmax 由临界过载条件： fs = Amax , 正弦信号功率：SA2max/2 信噪比： 因为 30lg29，所以抽样频率fS每提高一倍，SNRmax提高 9dB； 20lg26，所以信号频率f每提高一倍，SNRmax减少 6dB。 对语音信号， fS 通常要比PCM情况下的采样频率高几倍。,Signal-to-noise ratio out of a DM system as a function of step size.,数字压扩自适应增量调制 (1) 简单增量调制的缺陷 取值太小，容易产生过载失真； 取值太大，量化噪声增大。 (2) 数字自适应压扩式 M 基本原理 自动跟踪输入信号的变化，当连“0”或连“1”数目变化时，动 态调节的大小； 编码器,判决器,积分器,脉冲调幅器,x(t),d(t),xl(t),C(n),抽样定时,极性控制,平滑电路,连码检测,2. 数字自适应压扩式 M 基本原理（续前） 连码检测电路：检测连“0”或连“1”数目，获取自适应改变的 信息。 平滑(积分)电路：将检测输出的数字信号平滑后控制调幅器； 极性控制：决定脉冲的极性 “0” 对应负脉冲； “1” 对应正脉冲。 调幅器：动态确定的幅度大小。 判决器与积分器：作用与普通的M中的相应部件功能相同。,极性控制,积分器,脉冲调幅器,C(n),x(n),平滑电路,连码检测,2. 数字自适应压扩式 M 基本原理（续前） 解码器：,低通滤波器,自适应DM,(3) 数字自适应压扩式 M 信噪比改善 信号幅度的下降对信噪比的影响远较简单增量调制时小。,自适应DM Matlab代码,%From Haykin book% adaptive delta modulation for sinwave% Generating sin wave(omitted)% Adaptive Delta Modulationd(1:n)=1;for k=2:nif (x(k)-xhat(k-1) 0 )d(k)=1;else d(k)=-1;end %ifif k=2 xhat(k)=d(k)*mindels+xhat(k-1);endif (xhat(k)-xhat(k-1) 0) if (d(k-1) = -1 endendend,增量总和(-)调制 (1) 简单增量调制的缺陷 临界过载条件： fs = Amax 与信号频率 有关； 信号频率越高，越容易产生过载； (2) 增量总和(-)M 基本原理 编码时，对信号作“积分”变换：A() A()/j 临界过载条件： （A()/j） A()， 仅由信号幅度确定，与信号频率“无关”。 解码时，对信号作相反的（“微分”）变换，恢复原信号。,(3) 增量总和(-)M 原理电路 编码器 解码器 积分与微分的作用相互抵消，两部分电路可省略。,判决器,积分器,脉冲发生器,x(t),d(t),xl(t),C(n),抽样定时,积分器,C,C,积分器,脉冲发生器,低通滤波器,C(n),x(t),微分器