离散信源无失真编码

第3章 离散信源无失真编码,第3章 离散信源无失真编码,内容提要用尽可能少的符号来传输信源消息，目的是提高传输效率，这是信源编码应考虑的问题，这章讨论在不允许失真情况下的信源编码。等长编码定理给出了等长编码条件下，其码长的下限值，变长编码定理（香农第一定理）给出了信源无失真变长编码时其码长的上、下限值。本章还介绍了三种通用信源编码方法：香农编码法、Fano编码法和霍夫曼编码法。,31 绪论,为了实现高质量、高效率的通信，引入了信源编码和信道编码。信源编码和信道编码主要需要解决以下两个问题。,提高传输效率,增强通信的可靠性,（1）提高传输效率，用尽可能少的信道传输符号来传递信源消息，目的是提高传输效率，这是信源编码主要应考虑的问题。这里又分两种情况讨论，即允许接收信号有一定的失真或不允许失真。,综上所述，提高抗干扰能力往往是以降低信息传输效率为代价的，而为了提高传输效率又往往削弱了其抗干扰能力。这样，设计者在取舍之间就要作均衡考虑。,（2）增强通信的可靠性如何增加信号的抗干扰能力，提高传输的可靠性，这是信道编码主要考虑的问题。解决这一问题，一般是采用冗余编码法，赋予信码自身一定的纠错和检错能力，只要采取适当的信道编码和译码措施，就可使信道传输的差错概率降到允许的范围之内。,信源编码包括两个功能：,（1） 将信源符号变换成适合信道传输的符号；,（2） 压缩信源冗余度，提高传输效率。,a1, a2, , aK为信源符号集，序列中每一个符号uml都取自信源符号集。b1 ，b2 ，bD是适合信道传输的D个符号，用作信源编码器的编码符号。编码输出码字cm = cm1 cm2 cmn， c mkb1 ，b2 ，bD k = 1, 2 , , n ，n表示码字长度，简称码长,信源编码可看成是从信源符号集到码符号集的一种映射，即将信源符号集中的每个元素（可以是单符号，也可以是符号序列）映射成一个长度为n的码字。对于同一个信源，编码方法是多种的。,【例3.3】 用u1 ，u2 ，u3，u4表示信源的四个消息，码符号集为0,1，表3-1列出了该信源的几种不同编码。表3-1 同一信源的几种不同编码,3.1.1 码的分类,3.变长码若码字集合C中的所有码字cm (m = 1,2, ,M)，其码长不都相同，称码C为变长码，表3-1中列出的码3、码4 就是变长码。,2.等长码在一组码字集合C中的所有码字cm (m = 1,2, ,M)，其码长都相同，则称这组码C为等长码，表3-1中列出的码1、码2 就码长n = 2等长码。,一般，可以将码简单的分成如下几类： 1.二元码若码符号集为0，1，则码字就是二元序列，称为二元码,二元码通过二进制信道传输，这是数字通信和计算机通信中最常见的一种码，表3-1列出的4种码都是二元码。,5.非奇异码从信源消息到码字的影射是一一对应的，每一个不同的信源消息都用不同的码字对其编码，例表3-1中的码2、码3和码4都是非奇异码。,4.奇异码对奇异码来说，从信源消息到码字的影射不是一一对应的。例表3-1中的码1，信源消息u2和u4都用码字11对其编码，因此这种码就是奇异码，奇异码不具备惟一可译性。,原码的N次扩展码是将信源作N次扩展得到的新信源符号序列u（N）=u1 uN = (u11 u12 u1L) (uN1 uN2 uNL)，对应码符号序列c（N）=c1 cN = (c11 c12 c1n) (cN1 cN2 cNn) ，记集合C (N) = c1(N), c2(N), ，C (N) 即原码C的N次扩展码。,6.原码C的N次扩展码原码C的N次扩展码中的每个元素是N次扩展信源中的序列所对应的N个码字组成的序列。,对于定长码，若原码是惟一可译码，则它的N次扩展码也是惟一可译的，而对于变长码则不尽然，见表3-2。,7.惟一可译码,定义3.1 如果码的任意N次扩展码都是非奇异码，则称该码为惟一可译码。,8. 即时码对于变长码，又有如下定义,定义3.2 对于码字c = c1 c2 cn,称c、 = c1 c2 ci (i n)为码字c的字头（前缀）。,定义3.3 若码中任一码字都不是另一码字的字头，称该码为异字头码（无前缀码）。,表3-3中码3，收到“1”后就知道一个码字已经完结，无须等待下一个符号抵达，所以无前缀码能够即时译码, 称之为即时可译码，简称即时码。 而对于码2，收到“1”后，并不能立即做出判决，就是收到“10”也不能立即做出判决，则还要收到下面的码元才能做出判决。所以非异字头码不能即时译码，称为非即时码，由于非异字头码的其中一些码字是另一些码字的延长，故也称延长码。,显然，即时码是惟一可译码，而惟一可译码不一定是即时码。,即时码可用树图法来构造。,图3-3 用树图法编码,【例3.4】 用树图法表示表3-2中的码3，如图3-3所示（D =2）。,图3-5 码的分类结构图,图3-5是码的分类结构图,由上面的结构图可看出，将码分为奇异码和非奇异码两大类，我们只讨论非奇异码。非奇异码又分为惟一可译码和非惟一可译码两大类，我们只讨论惟一可译码。,3.1.2 平均码长的计算,对于变长码，码集C的平均码长，用符号 表示，定义为码C中每个码字cm( m = 1, 2, ，M)其码长的概率加权平均值为 (3-1)式中nm是码字cm所对应的码字的长度，p ( cm )是码字cm出现的概率。,对于等长码，由于码集C中的每个码字的码长都相同，平均码长就等于每个码字的码长,N次扩展码的平均码长 等于扩展码中码字长度的概率加权平均值。对于2次扩展码，有： (3-2)设nm, ns分别是原信源消息um, us所对应的码长,cm, cs是um, us所对应的码字，则式(3-2)中的nm + ns是扩展后新的信源序列nmns所对应的码字cmcs的长度，q(um) q (us)是cmcs出现的概率。,3.1.3 信息传输速率,信道的信息传输速率为信道单位时间内所传输的实际信息量。若信息量以比特为单位，时间以秒为单位，则信息传输率定义为： (比特/秒) (3-3),若信息量以比特为单位，时间以码元时间（传输一个码符号的时间）为单位，则信息传输率记为 (比特/码元时间) (3-4),【例3.8】 给定信源 ，为提高传输效率，使平均码长尽可能短，遵照概率大取码长短，概率小取码长长的原则对上述信源进行二进制不等长编码，得到 ，求编码后的信息传输率RD 。,（比特/符号） （码元/符号） (比特/码元时间),3.2 等长码及等长编码定理,考虑对一简单信源S进行等长编码，信源符号集有K个符号，码符号集含D个符号，码字长度记为n。要得到惟一可译码，必须满足下式K D n,对单符号信源S的L次扩展信源S（L）进行等长编码，要得到长为n的惟一可译码，必须满足K L D n （3-5）对式（3-5）两边取对数，得 （3-6）,对于那些出现概率极小的字符序列不予编码，这样可以减小平均码长，当然这样会带来一定的失真。下面的定理3.1 将证明，当满足一定的条件时，在L 时，失真pe 0,定理3.1 等长编码定理 设离散无记忆信源S =x1 ，x2 ，xk的熵为H（X），S的L维扩展信源为 ，对信源输出的L长序列si ，i = 1, 2, , KL 进行等长编码，码字是长度为n的D进制符号串，当满足条件 ，则L 时，可使译码差错pe (、为无穷小量)；反之，当 时，则不可能实现无差错编码。,编码效率定理3.1要求 ，即 ，可看出比值 是一个小于1的无量纲纯数，定义它为等长编码的编码效率，记为 （3-7）,3.3 变长码及变长编码定理,3.3.1 变长码,对变长码的讨论是在L足够大的条件下得到的结论，当L为有限值时，则总会带来一定程度的失真。对于变长码，往往在L不是很大的情况下就可编出高效且无失真的码。 变长码也要求原码的任意L次扩展码也是惟一可译的。变长码分为即时码和延长码，为保证即时译码，要求变长惟一可译码采用即时码。对于变长码，要求整个码集的平均码长力求最小，此时编码效率最高。对于给定信源，使平均码长达到最小的编码方法，称为最佳编码，得到的码集称为最佳码。,3.3.2 克拉夫特不等式,定理3.2只是说是存在惟一可译码的充要条件，这里强调的是“存在”，但它并不是唯一可译码的充要条件，换言之，惟一可译码一定满足克拉夫特不等式，反之，满足克拉夫特不等式的码不一定是惟一可译码。,3.3.3 变长编码定理,定理3.3 给定熵为H（X）的离散无记忆信源，及有D个元素的码符号集，则总可找到一种无失真编码方法，构成惟一可译码，其平均码长 满足： （3-19）,定理3.4 变长编码定理 (Shannon第一定理) 给定熵为H（X）的离散无记忆信源 ，其L次扩展信源 的熵记为H（X），给定有D个元素的码符号集，对扩展信源进行编码，总可以找到一种惟一可译码，使码长 满足 (3-23),记 为信源每个符号所对应的平均码字数，则式(3-23)为 （3-24）,Shannon第一定理的物理意义在于：对信源进行编码，使编码后的码集中各码字尽可能等概分布，如果将这码集看成为一个新的信源，这时新信源所含信息量最大。,定义编码效率 (3-26)是一个无量纲的数，一般情况下1，在极限情况下=1。,对于同一种信源，三种编码法中以香农编码法的编码效率最低，费诺编码法也不是一种最佳编码法，但用这种方法有时候也能找到紧致码。一般情况下，霍夫曼编码法得到的平均码长 最短，即编码效率 最高。,3.4 变长码的编码方法,3.4.1 香农编码法,二进制香农编码法其码长的取值范围: -log q (xm) nm -log q (xm) +1 （3-30）,记离散信源 ，给定有D个元素的码符号集，对信源进行变长编码，将各消息概率q(xm) (m = 1, 2, , M) 写成如下的形式：,取码长nm (m = 1, 2, , M) 满足： tm nm tm +1 （3-28）,香农编码法具体步骤如下，,（4）计算出第m个消息的累加概率 ，再将pi变换成二进制小数，取小数点后面nm位作为第m个消息的代码组,（3）根据式（3-31）：-log q (xm) nm -log q (xm) +1 （-log q (xm)为整数时取等号），计算出每个消息的二进制代码的长度nm。,（2）计算出各消息的 -log q(xm) 值，m =1, 2, , M；,（1）将信源发出的M个消息，按其概率递减顺序进行排列,【例3.14】 对给定信源 进行D =2进制香农编码。,表3-8 香农编码,以消息x5为例，对其进行编码：计算出 -log q(x5) = -log 0.15 = 2.74，取整数n5 = 3作为x5的码字的码长，计算出消息x1, x2, x3, x4累加概率将0.74变换成二进制小数 (0.74)10 = (0.1011110)2，取小数点后面三位101作为 x5的代码。,平均码长 =3.14(比特/符号),则编码效率,3.4.2 费诺编码法,费诺编码法的具体步骤如下：,（1）信源发出的M个消息，按其概率递减顺序进行排列，把消息集 x1 , x2, x3, , xM 按其概率大小分解成两个子集，使两个子集的概率之和尽可能接近相等，把第一个子集编码为“0”，第二个子集编码为“1”，作为代码组的第一个码元 ；,（2）对子集做第二次分解，同样分解成两个子集，并使两个子集的概率尽可能接近相等，再把第一个子集编码为“0”，第二个子集编码为“1”，作为代码组的第二个码元；,（3）如此一直进行下去，直到各子集仅含一个消息为止,（4）将逐次分解过程当中得到的码元排列起来就是各消息的代码。,【例3.15】 对例3.14给出的 信源进行费诺编码,（1）将信源消息分成两个子集 x1，x2，x3和 x4，x5，x6，x7，两个子集的和概率分别为0.2+0.19+0.18=0.57与0.17+0.15+0.10+0.01=0.43，赋予第一个子集码元“0”，赋予第二个子集码元“1”；,（2）又将子集分成和概率尽可能接近相等的两个子集，分别赋予第一个子集码元“0”，赋予第二个子集码元“1”；,（3）一直进行下去，直到每个子集仅含一个消息为止。,该编码的编码效率 ：例3.14中已算出信源熵 H（X）=2.61（比特/符号）,平均码长 =2.74,则编码效率：,表3-9 费诺编码,3.4.3 霍夫曼编码法,设信源消息数M 2，记概率分布为，存在D进制惟一可译码C = c1, c2, , cM，对应的码长分别为n1, n2, , nM ，不失一般性，设q(x1 ) q(x2 ) q(xM )，则C = c1, c2, , cM是最佳码必须具备如下两条性质：1. n1 n2 nM；2.最后（最长）的D*个码字，它们具有相同的前缀c，惟一的区别是最后一位码符号不同，可将这D*个最长的码字分别表示为c0，c1，c（D*-1）其中 D*2，3，D （3-31）且 D*= M mod (D-1) （3-32）,定理3.5假定C * =c1 , c2 , cM-D，c 为最佳码，对应概率Q*= q(x1 ) , q(x2 ) , q(xM-D*)，q* 其中q*可记为 q*= q(x M-D*+1) + q (xM-D*+2 ) + + q(xM)且概率分布满足q(x1 ) q(x2 ) q(x M-D*) q (xM-D*+1 ) q(xM )则对应概率分布为 Q =q(x1 ) , q(x2 ) , , q(xM-D*), q(x M-D*+1), q(xM) 的最佳码是C =c1 , c2 , cM-D*, c0, c1, , c( D*-1),（3）将上述概率之和作为一新消息的概率，与余下的消息一起组成一新的信源，再按概率递减顺序重新排列，如果概率之和与原信源的某个概率相等，则把概率之和排在上面，这样可使合并消息重复编码的次数减少，使短码得到充分利用。,（4）如此一直进行下去，直到两个合并消息的概率之和为1；,（5）从最后一步骤开始，沿编码逆程取下各步骤得到的码符号，如此构成的码符号序列即为对应消息的码字。,（2）将概率最小的二个消息分别编码为“1”和“0”，（一般，将概率大的编码为“1”，概率小的编码为“0”），再对这两个消息求概率之和,可以按照如下步骤编码（先考虑D =2的情况），参见图3-7