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电大资料整理电大微积分初步考试小抄一、填空题函数 的定义域是xf51)((,5)5 0 5 1 xsinlm,x 01x时 ,已知 ,则 = xf2)()(f2ln)(若 ,则cFdfd)3C)3(21微分方程 的阶数是 三阶 yxyxesin)(4 y6.函数 的定义域是(-2,-1)U(-)2l(1)f1,) 12-1ln)2(lx0n2 xx , 1- |且7. 2 xsilm0sinli0xx 21:2sinlm0x8.若 y = x (x 1)(x 2)(x 3),则 (0) = y-6 y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-x)(x2-5x+6)=x4-5x3+6x2-x3+5x2-6x=x4-6x3+11x2-6x , 62184y3xx(把 0 带入 X),6)0(9. xde22或)()(ff)( dxfxf)()(10.微分方程 的特解为 y=e x . 10,yydx yd1两 边 积 分又 y(0)=1 (x=0 , y=1)ecln010c,11.函数 的定义域是24)l()xxf2,-, 12ln)l(-0)(ln4x 12.若函数 ,在 处连续,0,3sin)(kf x则 1 k( 在 处连续) )(lim00xffxf0f)(无穷小113sin0lim)13sin(0limxxx量 x 有界函数)13.曲线 在点 处的切线方程是y),(2, x1x21切ky| 21y)1(2xx方 程14. sin x+csd)in(15.微分方程 的阶数为 三阶 ysin45316.函数 的定义域是(2,3))2l()xfU(3,) 3x2|12)ln(0)ln(且 xx17. 1/2 silm18.已知 ,则 = 27+27ln3 xf)(3)(fln2xf 3ln2719. = ex2+c d电大资料整理20.微分方程 的阶数为 四阶 xyxysin4)(7)(3二、单项选择题设函数 ,则该函数是(偶函数)2e函数所 以 是 偶 函 数)()(xfxf的间断点是( )分母2322,1x无意义的点是间断点 03下列结论中( 在 处不连续,则一定在)(xf处不可导)正确可导必连续,伹连续并一定可导;0x极值点可能在驻点上,也可能在使导数无意义的点上 如果等式 ,则 ( cxf11ed)( )(xf)21x)()1()(,u),()()( 11 xexeyfFCf uxx, 令2212)()(xfxefu下列微分方程中,( )是线性微ysin分方程 6.设函数 ,则该函数是(奇函数)2exy7.当 (2 )时,函数 在k0,2)(xkf处连续.0x8.下列函数在指定区间 上单调减少的是((,)) 39.以下等式正确的是( )3lndxx10.下列微分方程中为可分离变量方程的是()yxd11.设 ,则 ( )1)(2f )(xf)2(12.若函数 f (x)在点 x0处可导,则(,但 )是错误的 Axlim0 0f13.函数 在区间 是(先减后增) 2)1(y,(14. ( )xfdcxff)15.下列微分方程中为可分离变量方程的是()y16.下列函数中为奇函数是( ))1ln(2x17.当 ( )时,函数 在k20,e)kf处连续.0x18.函数 在区间 是(先单调下降再单12y)2,(调上升) 19.在切线斜率为 2x 的积分曲线族中,通过点(1, 4)的曲线为( y = x2 + 3)20.微分方程 的特解为( )1)0(, xye三、计算题计算极限 423lim2x解: 41)(li)(1li22 x)设 ,求 .yxeyd解: x23212- x1,u= -2xu(-2x)=e u(-2))(1ey= -2e-2xy= -2e -2x+ x213dy=(-2e -2x+ )dx计算不定积分 xdsin解:令 u= ,u=21x21 du 2du= =2(-cos)+csinusin电大资料整理= -2cos cx计算定积分 xde210u=x,v=e x,v= ex vdx=uv10uvu-10|1)(01|exddxx原式=25.计算极限 952lim3x34li)(lix6.设 ,求ycosnyd解: xxcoslnl221y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx xucosi)sin(1ly1= xcosin23dy=( )dx17.计算不定积分 xd)2(9解: 9令 u=1-2x , u= -2 duxdu21ccu20192)(10998.计算定积分 xde0解:u=x, v, )()(1010|xddxxx= 1|ex9.计算极限 4586lim24x321li)(1li4xx10.设 ,求yxsnydy1=sin3x y1=sinu , u=3x , co3iu )()(y=2 xln2+3cos3x dy=(2 xln2+3cos3x)dx11.计算不定积分 dsu=x , v=cosx , v=sinxdcoscxx)os(ini12.计算定积分 xdln51e令 u=lnx, u= , eeeedxxd11e11ln5ll| x1du= dx , 1xe 0lnx1x 21ln|0101 ude原式=1+5 =2713.计算极限 63limxx解: 51li)(1li22 x14.设 ,求xyey解: x12( ) , , , x1u1)eeyxuu 2121(电大资料整理exex121x1x2x2)()y15.计算不定积分 d10解: u=2x-1 , =2 du=2dx10 cduux1221010)()( 116.计算定积分 0ex解: u=x , , dx10 xvex)(10|ex四、应用题(本题 16 分)用钢板焊接一个容积为 4 的底为正方形的无盖3m水箱,已知钢板每平方米 10 元,焊接费 40 元,问水箱的尺寸如何选择,可使总费最低?最低总费是多少?解:设水箱的底边长为 x,高为 h,表面积为 s,且有 h=x24所以 S(x)=x2+4xh=x2+16xS216令 (x)=0,得 x=2因为本问题存在最小值,且函数的驻点唯一,所以x=2,h=1 时水箱的表面积最小。此时的费用为 S(2)10+40=160 元欲用围墙围成面积为 216 平方米的一块矩形的土地,并在正中用一堵墙将其隔成两块,问这块土地的长和宽各选取多大尺寸,才能使所用建筑材料最省? 设长方形一边长为 x,S=216 另一边长为 216/x总材料 y=2x+3216/x=2x + 648y=2+648(x -1)=2+648(-1)=2 - x2648y=0 得 2 = x 2=324 x=18一边长为 18,一边长为 12 时,用料最省.欲做一个底为正方形,容积为 32 立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?设底边长为 a 底面积为 a2a2h=v=32 h= 3表面积为 a2+4ah= a2+4a = a2+18y= a2+ , y=2a+128( - )=2a-182y=0 得 2a= a 3=64 a=4a218底面边长为 4, h= =26设矩形的周长为 120 厘米,以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时,才能使圆柱体的体积最大。解:设矩形一边长为 x ,另一边为 60-x以 AD 为轴转一周得圆柱,底面半径 x,高 60-xV= 32260)(v221360得: 4xx矩形一边长为 40 ,另一边长为 20 时,V max电大资料整理作业(一)函数,极限和连续一、填空题(每小题 2 分,共 20 分)1.函数 )ln(1xf的定义域是 答案:,3),22函数 f5的定义域是 答案:),(3.函数 24)ln(1)xxf的定义域是 答案: 2,()1, 4.函数 7(xf,则 f 答案:625函数 0e)2xf,则 )( 答案: 2 6函数 1(,则 xf 答案: 2x7函数 32xy的间断点是 答案: 8. x1sinlm 答案: 1 9若 2i40k,则 答案: 2 10若 3snl0x,则 k 答案: 1.5; 二、单项选择题(每小题 2 分,共 24 分)1设函数 ey,则该函数是( ) 答案:BA奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数2设函数 xsin2,则该函数是( ) 答案:AA奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D既奇又偶函数 3函数 2)(xxf的图形是关于( )对称答案:DA y B 轴 C y轴 D坐标原点4下列函数中为奇函数是( C ) A xsin B xl C )1ln(2x D 2 5函数 )5l(41y的定义域为( ) 答案:DA x B x C 5x且 0 D 且 6函数 )1ln()xf的定义域是( ) 答案:DA ,1( B ),1(),0 C20D 2(, 7设 )2f,则 f( )答案:CA (x B x C )x D18下列各函数对中, ( )中的两个函数相等答案:DA 2)(f, g( B 2)(f,xg)(C ln, xln D 3lnx39当 0时,下列变量中为无穷小量的是( )答案:C.A x1 B xsi C )1l( D 2x 10当 k( )时,函数 0,1)(2xkxf,在0处连续 . 答案:BA 0 B1 C D 11当 k( )时,函数 0,2)(xkexfx在处连续 答案:DA 0 B1 C 2 D 3 12函数 3)(xf的间断点是( )答案:AA ,x B C2D无间断点三、解答题(每小题 7 分,共 56 分)计算极限 423lim2x 解 412lim)(1lili22 xxxx2计算极限 651x 电大资料整理解 2716lim)(16li15lim21 xxxx3. 39 解:原式 233lili.11xx4计算极限 4586lim24x 解 321lim)(2lili 4424 xxxx5计算极限 6582x 解 234li)2(34li6lim22 xxxx6.计算极限 x1li0 解 )1(1li0 xxx 2lim)(0xx7计算极限 x4sin1l0 解 0 01limli .8sx xx8计算极限 24sinlm0x解 0 0i 42l li16.x x 一、填空题(每小题 2 分,共 20 分)1曲线 1)(xf在 ),(点的斜率是 答案:2曲线 xfe)(在 ),0(点的切线方程是 答案: 1y 3曲线 2在点 ),(处的切线方程是 答案: 3x 4 )( 答案: x2ln或1ln2x5若 y = x (x 1)(x 2)(x 3),则 y(0) = 答案:66已知 f3),则 )(f= 答案:ln(277已知 xl,则 = 答案:2x8若 xfe)(,则 )0(f 答案:29函数 yx312()的单调增加区间是 答案:),(10函数 af在区间 ),0(内单调增加,则a 应满足 答案: 二、单项选择题(每小题 2 分,共 24 分)1函数 )1(xy在区间 ),(是( ) 答案:DA单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增2满足方程 0f的点一定是函数 )(xfy的( )答案:C.A极值点 B最值点 C驻点 D 间断点3若 xxfcose)(,则 )(f=( ) 答案:C A. 2 B. 1 C. -1 D. 2 4设 ylg,则 dy( ) 答案:B A x B xln0 C ln0xd D1d5设 )(fy是可微函数,则 )2(cosdf( ) 答案:D A x)2cos Bxfin2cosC xdin D ( 6曲线 1ey在 处切线的斜率是( ) 答案:C A 4 B 2 C 4e D 27若 xfcos)(,则 )(f( ) 答案:C A ins BxcoC xcossin Di2电大资料整理8若 3sin)(axf,其中 是常数,则 )(xf( ) 答案 C A 2co B x6si C sin D 9下列结论中( A )不正确 答案:C A)(xf在 0处连续,则一定在 0处可微. B )(xf在处不连续,则一定在 x处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D若 在 a,b内恒有 )(f,则在a,b内函数是单调下降的. 10若函数 f (x)在点 x0 处可导,则( )是错误的 答案:B A函数 f (x)在点 x0 处有定义 B Axf)(lim0,但0C函数 f (x)在点 x0 处连续 D函数 f (x)在点 x0 处可微 11下列函数在指定区间 ,上单调增加的是( ) 答案:BA sinx Be x Cx 2 D3 x12.下列结论正确的有( ) 答案:A Ax 0 是 f (x)的极值点,且 f(x0)存在,则必有 f(x0) = 0 B x0 是 f (x)的极值点,则 x0 必是 f (x)的驻点C若 (x0) = 0,则 x0 必是 f (x)的极值点 D使 不存在的点 x0,一定是 f (x)的极值点 三、解答题(每小题 7 分,共 56 分)1 设 xy12e,求 y 解 )1(2)1(2)()( 21 xexexxx xxee11)2(2或 12xye2设 x3cos4sin,求 y.解 ins3设 yx1e,求 . 解 212e)1()( xxxx 4设 ycosln,求 y. 解 xcosin3)()(或 3ita2cos2x5设 )(y是由方程 4y确定的隐函数,求 d.解 对方程两边同时对 x 求微分,得022dyydx6设 )(是由方程 12x确定的隐函数,求 y. 解原方程可化为 xy, ,1,dyx7设 )(y是由方程 4e2yx确定的隐函数,求 yd.解:方程两边同时对 x求微分,得20xyeed2yexdxy.8设 1)cos(yx,求 解:方程两边同时对 求微分,得in0desinyxdxy一、填空题(每小题 2 分,共 20 分)1若 )(f的一个原函数为 2lnx,则 )(f 。 答案: x ( c 为任意常数)或 lxc 2若 )(f的一个原函数为 x2e,则 )(f 。 答案: xe21 或 4 3若 cfd,则 f 答案:xe或 x4若 f2sin)(,则 )(xf 答案: co2 或 c 5若 xfld,则 f 答案: 1 6若 cxxf2os)(,则 )(xf 答案: cn4 电大资料整理7 xde2 dxe2答案: dxe28 )(sin 答案: csin 9若 cFf)(,则 f)3( 答案: x321 10若 f)(d)(,则 xfd)1(2 答案: cxF122二、单项选择题(每小题 2 分,共 16 分)1下列等式成立的是( ) 答案:AA )(d)(xffx B)(fC )(d)(xff D )(f3若 cxf2ed,则 )(xf( ). 答案:AA. )1(e2x B. C. x2e D. 4若 )0(xf,则 fd)(( ). 答案:A A. cx B. cx2 C. 23D. 315以下计算正确的是( ) 答案:AA 3lndxxB )1(d22x C D )lnx 6 xfd)(( )答案:AA. c B. cf)( C. f)(21 D. x1( 7 xad=( ) 答案:C A B axdln2 C 2 D c 8如果等式 fxx11e)(,则 )(xf() 答案 BA. 1 B. 2 C. D. 2三、计算题(每小题 7 分,共 35 分)1 xxdsin3 解 cxxos32ln)si3(或 3sinlcxdx2 )1(0 解 11222xc3 xd1sin2 解 cx1os)(sii24 xdin111co2s2in4dxc5 ex 解 xx xdeece 四、极值应用题(每小题 12 分,共 24 分)1设矩形的周长为 120 厘米,以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时,才能使圆柱体的体积最大。1解: 设矩形 ABCD的一边 x厘米,则60BCx厘米,当它沿直线 旋转一周后,得到圆柱的体积2,60V令 x 得 20x当 0,时, V;当 ,时, V.2是函数 的极大值点,也是最大值点.此时 64答:当矩形的边长分别为 20 厘米和 40 厘米时,才能使圆柱体的体积最大.)(3201602)0(2 立 方 厘 米V2欲用围墙围成面积为 216 平方米的一成矩形的土地,并在正中用一堵墙将其隔成两块,问这块土地的长和宽选取多大尺寸,才能使所用建筑材料最省? 电大资料整理2. 解:设成矩形有土地的宽为 x米,则长为 216x米,于是围墙的长度为 432,0L令 2430Lx得 1取 正易知,当 时, 取得唯一的极小值即最小值,此时 168x答:这块土地的长和宽分别为 18 米和 12 米时,才能使所用的建筑材料最省.五、证明题(本题 5 分)1 函数 xef)(在( )0,是单调增加的1 0, ,0.xxxfe证 : 当 时当 时从 而 函 数 在 区 间 是 单 调 增 加 的一、填空题(每小题 2 分,共 20 分)1 ._d)cos(inx答案: 322 .45x答案: 或2 3已知曲线 )(fy在任意点 处切线的斜率为 x,且曲线过 )5,4(,则该曲线的方程是 。答案:32xy或3216yx4若 d)(1 答案:2 或 45由定积分的几何意义知, xad02= 。答案: 24a6 e1d)ln(dxx . 答案:0702= 答案: 21 8微分方程 )0(,y的特解为 . 答案:1或 xye9微分方程 3的通解为 . 答案:x3或 xc10微分方程 xysin4)(7)( 的阶数为 答案:2 或 4二、单项选择题(每小题 2 分,共 20 分)1在切线斜率为 2x 的积分曲线族中,通过点(1, 4)的曲线为( ) 答案:AA y = x2 + 3 By = x2 + 4 C 2xy D2若 10d)(k= 2,则 k =( ) 答案:A A 1 B-1 C0 D 21 3下列定积分中积分值为 0 的是( ) 答案

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