2018电大经济数学基础期末复习指导小抄

电大复习资料经济数学基础第一部分 微分学一、单项选择题1函数 的定义1lgxy域是（ 且 ）02若函数 的定义域是0，1，)(f则函数 的定义域是(x),3下列各函数对中，（ xf22cossin(， ）中的两个函数相1)xg等 4设 ，则(f=（)x1）5下列函数中为奇函数的是（）lnxy6下列函数中，（不是基本初等函)1l(数7下列结论中，（奇函数的图形关于坐标原点对称）是正确的 8. 当 时，下列变量中（x0）是无穷大量219. 已知 ，1tan)(xf当（ ）时， 为x0(f无穷小量.10函数si,()0xfxk在 x = 0 处连续，则 k = ( 1)11. 函数0,1)(xf在 x = 0 处（右连续 ）12曲线 在点（0, y1）处的切线斜率为（ ） 2113. 曲线 在点(0, 0)xysin处的切线方程为（ y = x ）14若函数 ，则f)1(=（ ）2x15若 ，则fcos)(（）sin16下列函数在指定区间上单调增加的是（e (,)x）17下列结论正确的有（ x0是 f (x)的极值点 ）18. 设需求量 q 对价格 p 的函数为，则需求23)(弹性为 Ep=（ ） 二、填空题1函数 20,15)(2xxf的定义域是 -5，22函数 xf2)5ln()的定义域是(-5, 2 )3若函数 1(2xf，则 )64设函数 ，uf，则xu()2f435设 ，10(x则函数的图形关于 y 轴对称6已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量 q = 50 时，该产品的平均成本为 3.67已知某商品的需求函数为 q = 180 4p，其中 p 为该商品的价格，则该商品的收入函数 R(q) = 45q 0.25q 28. 1 .xxsinlim9已知 ，f)(当 时，0为无穷小量 xf10. 已知 1)(2xaf，若 在 内x),连续，则 2 .11. 函数 的间()1exf断点是 0x12函数 )2()(f的连续区间是 ，1,，,113曲线 在点yx处的切线斜率是),(0.514函数 y = x 2 + 1 的单调增加区间为(0, + )15已知 ，则fln(= 016函数 的驻yx32)点是 117需求量 q 对价格 的函数为p，则需2e0)(求弹性为 Ep18已知需求函数为，其中 p 为价q32格，则需求弹性 Ep = 10三、极限与微分计算题1解 =423lim2x= )(12x= li2解： =231lim21xx)()(= 21)(2li1xx3解 =0sinlm1x()i2lix x= xx2sinlm)1(li00=2 2 = 4 4解 =3lisn()x1ix= 33limli()sn()xx= 2 5解 )1(2tanli)1ta(li21 xxxx1)tan(lim2li1xx36解 )2)(1(li65xx= )32)(1(lim625xx=电大复习资料23)(657解： (x)=y=)cos2cosinl2xx= 2cosinl2xx8解 xf xx 1cossinl)( 9解 因为 5lnsi2)c(5l)5( coscos2cos2 xxxy所以 lnl2sin)(cosy10解 因为 )(lnl331xy31ln2)(l2xx所以 xydln32d11解 因为 )(cos5)(sie4i xxxinco4sin所以 xyx d)sic5se(d4in12解 因为 )(2ln)(cos132xx2lncs32x所以 xyxd)lo(d3213解 )(cos)(sin)( 2 xx2sl2ix14解： )(e)(l3xyxe15解 在方程等号两边对 x 求导，得)e()1l(2xyy0)(e1)l( yxyxyyxyxye1e)l(故 e)1)ln(xyy16解 对方程两边同时求导，得0ecoyxyyy)=(x.yxecos17解：方程两边对 x 求导，得 ye1当 时，0所以， xe0118解 在方程等号两边对 x 求导，得)(ecosyy11)si(y)sin()sin( xxy )sin(1yxy故 d)si(d四、应用题1设生产某种产品 个单位时的成本函数为： xC625.0)(（万元）,求：（1）当 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量 为多少时，平均成x本最小？1解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为： xxC625.01)(625.01)(xxC， .所以， 1851.)10(2.605.1)(C， 1.（2）令 025.1)(xC，得 （ 舍0去）因为 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当 20 时，平均成本x最小. 2某厂生产一批产品，其固定成本为2000 元，每生产一吨产品的成本为 60元，对这种产品的市场需求规律为（ 为需qp10q求量， 为价格）2解 （1）成本函数 = 60C()+2000因为 ，即qp0，p1所以 收入函数 =Rq()=( ) =0 12（2）因为利润函数 =Lq()- =Rq()C-(60 +2000) 012= 40- -2000 q2且 =(40 -L()q-2000 =40- 0.212电大复习资料令 = 0，即 40- 0.2 = Lq()0，得 = 200，它是 在其()定义域内的唯一驻点所以， = 200 是利润函数的最大值点，即当产量为()200 吨时利润最大3设某工厂生产某产品的固定成本为50000 元，每生产一个单位产品，成本增加 100 元又已知需求函数，其中pq420为价格， 为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？3解 （1） C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400p R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2 利润函数 L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000，且令 =2400 8p = 0得 p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为 p =300 元时，利润最大. （2）最大利润 10253040)3( L（元）4某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为 p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？4解 （1）由已知 201.4)01.(qqqpR利润函数 222 0. qCL 则 ，令q04.1，解出唯一驻点 .25因为利润函数存在着最大值，所以当产量为 250 件时可使利润达到最大， （2）最大利润为123050250.2501)( L（元）5某厂每天生产某种产品 件的成q本函数为 9836.)(2C（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？5. 解 因为 = =q()（0536980.） =Cq()=(.05369802令 =0，即q()=0，得05982.=140， = -140（舍去）.1=140 是 在其定义qC()域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以 =140 是平均成本函数的最小值点，即为使平均成q()本最低，每天产量应为 140 件. 此时的平均成本为=C()140053698.=176 （元/件）6已知某厂生产 件产品的成本为C()12（万元）问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？6解 （1） 因为 =()= q()501q=C()=(2q1q令 =0，即C()，得=50， =-50（舍去），q12=50 是 在其定义域()内的唯一驻点所以， =50 是 的最1Cq小值点，即要使平均成本最少，应生产 50 件产品第二部分 积分学一、单项选择题1在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ y = x2 + 3 ）2. 若 = 2，则10d)(kk =（1） 3下列等式不成立的是（） )(lnx4若，cf2ed)(则 =（ ）.x1x5. （)(） cxe6. 若fxx11d)(，则 f (x) =（ ）27. 若 是 的一个原F)f函数，则下列等式成立的是()(daxfxa8下列定积分中积分值为 0 的是（）xxe19下列无穷积分中收敛的是（）12d10设 (q)=100-4q ，若销售量R由 10 单位减少到 5 单位，则收入 R 的改变量是（350 ）11下列微分方程中，（）是线xye2性微分方程12微分方程 0)()(432y的阶是（1）.二、填空题1 xde222函数 的原fsin)(函数是- cos2x + c (c 是任意常数)3若 cxf2)1(d，则 )4若，Ff(则 =xx)dec(5 e12)ln0 6 012d)(x7无穷积分是收敛的02)(x（判别其敛散性）8设边际收入函数为 (q) = 2 + R3q，且 R (0) = 0，则平均收入函数为 2 + 9. 是 e)(23yx2 阶微分方程.10微分方程 的通解是2cxy3三、计算题 解 cxxx1os)(dsin1sin2电大复习资料2解 cxxx2ln)(d23解 cxxx sincocsosin4解 =xd1)l(x)(2n22= cxx4)ln(2125解 =xxd)e1(3ln02l= = 3ln0)e(x566解 )(lnd2ln2)(dll e1e1e1 xxxx e1e142xe2de17解 =xln2e1)d(2= =2e1lx)3(8解 =xd2cos0-in1x=dsi10=4219解法一 xd1)l(d)l(e011e0 = x1e0= 1e0)ln( =1 el解法二 令 ，则xuuud1lndl)1ln( eee0 = u10解 因为 ，xP)(1)(2xQ用公式 (1dcy)lxccx232由 471)(3cy， 得 c所以，特解为 xy24311解 将方程分离变量：yde32等式两端积分得 cxy312将初始条件 代入，)(得 ，c33e12c = 6所以，特解为：3e23y12解：方程两端乘以 ，得 xln2即yl)(两边求积分，得 cxxx2ln)(l通解为： cxy2l由 ，得1x所以，满足初始条件的特解为：y2ln13解 将原方程分离变量 xydotl两端积分得 lnln y = lnC sinx 通解为 y = eC sinx 14. 解 将原方程化为：，它是一阶xln1线性微分方程，P)(xQln1用公式 ()d()deePPxycln1xxdeln1ll cxx)l(15解 在微分方程中，yx2xQP)(,1)(由通解公式 )de2()ded cxcxx )e2( cxxx )e2xc16解：因为 ，xP1)(，由通解公式得Qsi)dein(e1d1cxyx= )si(lnlnx= d1c= )sino(xx四、应用题1投产某产品的固定成本为 36(万元)，且边际成本为 =2x + 40(万(C元/百台). 试求产量由 4 百台增至 6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.1解 当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为=64d)02(xC= 100（万元） 又 电大复习资料xcC00d)()(= =x36420令 ， 361)(2xC解得 .x = 6 是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为 6 百台时可使平均成本达到最小. 2已知某产品的边际成本 (x)C=2（元/件），固定成本为 0，边际收益 (x)=12-0.02x，问产量为多少R时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产 50 件，利润将会发生什么变化？2解 因为边际利润=)()(xCRxL12-0.02x 2 = 10-0.02x 令 = 0，得 x = 500 x = 500 是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为 500 件时，利润最大.当产量由 500 件增加至 550 件时，利润改变量为50250 )1.0(d)2.1( xxL=500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少 25 元. 3生产某产品的边际成本为 (x)C=8x(万元/百台)，边际收入为 (x)R=100-2x（万元/百台），其中 x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润有什么变化？ 3. 解 (x) = (x) - (x) LC= (100 2x) 8x =100 10x 令 (x)=0, 得 x = 10（百台）又 x = 10 是 L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故 x = 10 是 L(x)的最大值点，即当产量为 10（百台）时，利润最大. 又 xxLd)10(d)(12012051即从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润将减少 20 万元. 4已知某产品的边际成本为(万元/百台)，3)(xx 为产量(百台)，固定成本为 18(万元)，求最低平均成本.4解：因为总成本函数为=xxd)3()c2当 x = 0 时， C(0) = 18，得 c =18即 C(x)=1832又平均成本函数为 xxA3)(令 ， 0182)(x解得 x = 3 (百台)该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当 x = 3 时，平均成本最低. 最底平均成本为98A(万元/百台) 5设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中 x3为产量，单位：百吨销售 x 百吨时的边际收入为（万元/百x21)(吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产 1 百吨，利润会发生什么变化？5解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润)(xC)()(xCRxL= 14 2x 令 ，得 x = 7 由该题实际意义可知， x = 7 为利润函数 L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为 7 百吨时利润最大. (2) 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时，利润改变量为87287 )14(d)214(xxL=112 64 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少 1 万元. 第三部分 线性代数一、单项选择题1设 A 为 矩阵， B 为23矩阵，则下列运算中（ AB ）可以进行.2设 为同阶可逆矩阵，则下,列等式成立的是（ T11T)()(BA3设 为同阶可逆方阵，则,下列说法正确的是（秩秩 秩 ）)(4设 均为 n 阶方阵，在下,列情况下能推出 A 是单位矩阵的是（）I15设 是可逆矩阵，且，则B（ ）.1I6设 ，)2(， 是单位矩3阵，则 （IAT）527设下面矩阵 A, B, C 能进行乘法运算，那么（ AB = AC， A 可逆，则 B = C ）成立.8设 是 阶可逆矩阵， 是不nk为 0 的常数，则 （()1） 1k9设 31420A，则 r(A) =（ 2 ）10设线性方程组 的增bX广矩阵通过初等行变换化为 0014361，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ 1 ）11线性方程组 0121x解的情况是（无解）12若线性方程组的增广矩阵为，则当012A（ ）时线性方程组无解13 线性方程组 只有X零解，则（可能无Ab()0解）.14设线性方程组 AX=b 中，若 r(A, b) = 4， r(A) = 3，则该线性方程组（无解）15设线性方程组 有唯bX一解，则相应的齐次方程组（只有零解）O二、填空题1两个矩阵 既可相加又可BA,相乘的充分必要条件是 与 是同阶矩阵2计算矩阵乘积= 1023143若矩阵 A = ， B = 2，则 ATB=26414设 为 矩阵， 为mn矩阵，若 AB 与 BA 都可进行st运算，则 有关系式st,电大复习资料5设 ，1320aA当 0 时， 是对称矩阵.6当 时，矩阵可逆a17设 为两个已知矩阵，且BA,可逆，则方程I的解X1)(8设 为 阶可逆矩阵，则 (A)nr= 9若矩阵 A = ，则 r(A) =23024110若 r(A, b) = 4， r(A) = 3，则线性方程组 AX = b 无解11若线性方程组有非零解，则021x-112设齐次线性方程组，且秩( A) = 1nmXAr n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 n r13齐次线性方程组 的0系数矩阵为 0213A则此方程组的一般解为(其中4231x是自由未知量) 3,14线性方程组 的增广AXb矩阵 化成阶梯形矩阵后为 100241d则当 时，方程组d1有无穷多解.AXb15若线性方程组有唯一解，AXb()0则 只有 0 解 三、计算题1设矩阵，342，求01BI)2(T2设矩阵 ，01，2B，计算416CBT3设矩阵 A =，求124614设矩阵 A =，求逆矩阵0125设矩阵 A =， B =021，计算( AB)-14366设矩阵 A = ， B =02，计算( BA)-210317解矩阵方程243X8解矩阵方程. 01519设线性方程组baxx3210讨论当 a， b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.10设线性方程组 ，05223112x求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.11求下列线性方程组的一般解：03522412xx12求下列线性方程组的一般解：126423521xx13设齐次线性方程组08352312xx问 取何值时方程组有非零解，并求一般解.14当 取何值时，线性方程组 1542312x有解？并求一般解.15已知线性方程组的增广矩阵经初等行变bAX换化为 300116问 取何值时，方程组有解？当方程组有解时，bAX求方程组 的一般解.三、计算题1解 因为 = T2I0T1342=20=1430所以 =BAI)(T1403= 3052解： =CBAT012电大复习资料2416= 0= 24163解 因为 ( A I )= 10123620741302710742107311所以 A-1 =210734解 因为( A I ) = 1208301401212340123010213410所以 A-1=213425解 因为 AB = 011436= (AB I ) = 12014120120所以 ( AB)-1= 126解 因为 BA= 03= 2125(BA I )= 1045所以 ( BA)-1=57解 因为 104323