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小 h 自考复习资料,手动整理1设 都是 n 阶方阵,则下列命题正确的是(A BA,)A 2向量组的秩是(B ) B. 3 3 元线性方程组 有解AXb的充分必要条件是(A ) A. )(r4. 袋中有 3 个红球,2 个白球,第一次取出一球后放回,第二次再取一球,则两球都是红球的概率是(D ) D. 9/255设 是来自正态总体 的样xn1, N,2本,则(C )是 无偏估计 C. 315x6若 是对称矩阵,则等式(B )成立 B. 7 ( D ) D. 1543748若(A)成立,则 元线性方程组 有唯一nAXO解A. r()9. 若条件( C)成立,则随机事件 , 互为对立事B件 C. 且BU10对来自正态总体 ( 未知)的一N(,)2个样本 ,记 ,则下列各式中(C X123,1i)不是统计量 C. 211. 设 为 矩阵, 为 矩阵,当 为(B )A45矩阵时,乘积 有意义B . 12. 向量组 的极大线性123401,无关组是( A ) A13. 若线性方程组的增广矩阵为 ,则当2( D)时线性方程组有无穷多解 D1/2 14. 掷两颗均匀的骰子,事件“点数之和为 4”的概率是(C ). C.1/12 15. 在对单正态总体 的假设检验问题中, 检N(,)2T验法解决的问题是(B ) B. 未知方差,检验均值16. 若 都是 n 阶矩阵,则等式(B)成立 B. A,17. 向量组 的秩是(C 3,210,142) C. 318. 设线性方程组 有惟一解,则相应的齐次方程bX组 (A ) A. 只有 0 解 O19. 设 为随机事件,下列等式成立的是(D ) D. B,)(P1设 为三阶可逆矩阵,且 ,则下式(B )成,k立 B A2下列命题正确的是(C ) C向量组 , ,O21s的秩至多是 s3设 ,那么 A 的特征值是(D ) D-4,6154矩阵 A 适合条件( D )时,它的秩为 r DA 中线性无关的列有且最多达 r 列 5下列命题中不正确的是( D ) DA 的特征向量的线性组合仍为 A 的特征向量6. 掷两颗均匀的骰子,事件“点数之和为 3”的概率是( B ) B1/18 7若事件 与 互斥,则下列等式中正确的是AP()8. 若事件 A,B 满足 ,则 A 与 B 一定1)(P(A ) A不互斥 9设 , 是两个相互独立的事件,已知则(B ))(PB 2/3 10设 是来自正态总体nx,21的样本,则( B )是统计量 B)(ni11. 若 ,则 (A 0352x) A.3 2. 已知 2 维向量组 ,则4321,至多是(B ) B 2),(431r3. 设 为 阶矩阵,则下列等式成立的n是(C ) C. 4. 若 满足( B ) ,则 与 是相A,互独立 B. )(P5. 若随机变量 的期望和方差分别为X和 ,则等式(D )成立 D. )E21设 均为 阶可逆矩阵,则下列等,n式成立的是( ) A 12方程组 相容的充分必要条件是312ax(),其中 , B0i),(23设矩阵 的特征值为 0,2,A则 3A 的特征值为 ( ) B0,6 4. 设 A,B 是两事件,则下列等式中( )是不正确的 C. ,其中PA,B 互不相容5若随机变量 X 与 Y 相互独立,则方差=( ) D)3(96设 A 是 矩阵, 是 矩nmts阵,且 有意义,则 是(B )C矩阵 7若 X1、X 2 是线性方程组 AX=B 的解,而是方程组 AX = O 的解,则( 、)是 AX=B 的解 A 2138设矩阵,则 A 的对应于特征值 的一个特征向量 =()C1,1,09. 下列事 件运算关系正确的是( ) A B10若随机变量 ,则随机变量)1,0(NX( N2.,3) ) D 23Y11设 是来自正态总体 的1,x2样本,则()是 的无偏估计 C32512对给定的正态总体 的一个样),(2本 , 未知,求 的置信,(1nx区间,选用的样本函数服从( ) Bt 分布 设 ,则abc123(D 123) D. 6若,则 (A ) A. 1/2 a乘积矩阵 中元素 C. 10 405c23设 均为 阶可逆矩阵,则下列运算,n关系正确的是( B) B. ()B1设 均为 阶方阵, 且 ,Ak则下列等式正确的是(D) D. An下列结论正确的是( A) A. 若 是正交矩阵,则 也是正交矩阵1矩阵 的伴随矩阵为() C. 325方阵 可逆的充分必要条件是(B ) B.A设 均为 阶可逆矩阵,则C,n( D ) D. ()1()1设 均为 阶可逆矩阵,则下列等式成立的是 A. AB22用消元法得 的解 为(C x13401) C. ,线性方程组 (B ) B. 有x1236唯一解 向量组 的秩为( A) A. 3 04,设向量组为 ,则(B 1234,)是极大无关组B. 与 分别代表一个线性方程组的系数矩A阵和增广矩阵,若这个方程组无解,则(D) D. 秩 秩()1若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解,则该线性方程组(A ) 可能无解 以下结论正确的是(D) D. 齐次线性方程组一定有解若向量组 线性相关,则向量组12, s内(A )可被该向量组内其余向量线性表出 A. 至少有一个向量 9设 A,为 阶矩阵, 既是又是的特征值,n既是又是的属于 的特征向量,则结论()成x立 是 A+B 的属于 的特征向量10设,为 阶矩阵,若等式( )成立,则称和相似 BP1 为两个事件,则( B)成立 B. A,()如果( C)成立,则事件 与 互为对立事件 C. 且 U10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券,每人购买 1 张,则前 3 个购买者中恰有 1 人中奖的概率为(D ) D. 072.4. 对于事件 ,命题(C )是正确的 C. 如果AB,对立,则 对立某随机试验的成功率为 ,则在 3 次重复)1(p试验中至少失败 1 次的概率为(D ) D. )()23p6.设随机变量 ,且XBn,,则参数 与 分别是(A E.48096) A. 6, 0.8 7.设 为连续型随机变量 的密度函数,则对任fx()意的 ,ab,EX()(A ) A. xfd8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是(B ) B. 9.设连续型随机变量 的密度函数为 ,分布函数Xfx()为 ,则对任意的区间 ,则Fx(),ab(D) D. aPfd10.设 为随机变量, ,E(),2当(C )时,有 C. Y01X设 是来自正态总体 (xn12, N(,)2均未知)的样本,则( A)是统计量 A. x1设 是来自正态总体 (3均未知)的样本,则统计量(D)不是 的,2无偏估计 D. x1二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 1设 均为 3 阶方阵, ,则BA,2,-18 2设 为 n 阶方阵,若存在数和非零 n 维向量 ,X使得 ,则称为 的特征值 X3)(7,001a其 它,02sin)(f小 h 自考复习资料,手动整理3 设随机变量 ,则 a = 0.3 012.5X4设 为随机变量,已知 ,此时3)(D27 ()5设 是未知参数 的一个无偏估计量,则有 E6设 均为 3 阶方阵, ,则BA,6,81()7设 为 n 阶方阵,若存在数 和非零 n 维向量 ,使X得 ,则称 为 相应于特征值 的特征向量 X8若 ,则 0.3 5.0)(,P9如果随机变量 的期望 , ,那2E9)(么 202D10不含未知参数的样本函数称为 统计量 11. 设 均为 3 阶矩阵,且 ,则BA,-8 112.设 , 2074_)(r13. 设 是三个事件,那么 发生,但 至少有ABC,B,一个不发生的事件表示为 .)(14. 设随机变量 ,则 1515,XE15. 设 是来自正态总体 的一个样nx,21 N,2本, ,则i)(D16. 设 是 3 阶矩阵,其中 ,则BA,121217. 当 =1 时,方程组 有无穷多解 21x18. 若 ,则5.0)(,69.)(P0.2)ABP19. 若连续型随机变量 的密度函数的是X,则 2/3其 它,012(xf)(E20. 若参数 的估计量 满足 ,则称 为 的无偏估计 n21行列式 的元素 的代数余子式 的值为= -7056831a21A562已知矩阵 满足 ,则 与nsijcCB)(,分别是 阶矩阵3设 均为二阶可逆矩阵,则 A,1OAB4线性方程组 一般解的自由未知32641x量的个数为 25设 4 元线性方程组 AX=B 有解且 r(A)=1,那么 AX=B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量 6 设 A,B 为两个事件,若 P(AB )= P(A ) P(B) ,则称 A 与 B 相互独立 7设随机变量 的概率分布为X则 a = 0.3 8设随机变量 ,则3.04210.9EX()9设 为随机变量,已知 ,那么)(D8 )72(10矿砂的 5 个样本中,经测得其铜含量为, , , , (百分数) ,1x2345x设铜含量服从 N( , ) , 未知,2在 下,检验 ,则取统计量 0.05sxt1. 设 均为 n 阶可逆矩阵,逆矩阵分别BA,为 ,则 11)()(2. 向量组 ),0(,0,32k线性相关,则 ._k3. 已知 ,则)(8)P(BA64. 已知随机变量 ,那么5.0132X)(E4.5. 设 是来自正态总体21,x的一个样本,则 N10i)4,(1设 ,则 的根是 2)(xf0)(f,2设向量 可由向量组线性表示,则表示方法唯n1一的充分必要条件是 线性n,21无关3若事件 A,B 满足 ,则 P(A - B)= )(P4 设随机变量的概率密度函数为,则常数 k =其 它,01)(2xf45若样本 来自总体n,,且 ,则NXi1x),0(7设三阶矩阵 的行列式 ,则A2=218若向量组: , ,1302,能构成 R3 一个基,则数 k 3k 9设 4 元线性方程组 AX=B 有解且 r(A)=1,那么 AX=B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量10设 互不相容,且 ,,P()0则 0 ()11若随机变量 X ,则 2,UD1/312设 是未知参数 的一个估计,且满足,则 称为 的无偏估计)(E 7 14 是关于 的一个一次多项式,x则该多项式一次项的系数是 2 若 为 矩阵, 为 矩阵,A4B5切乘积 有意义,则 为 54 矩C阵二阶矩阵 10设 ,则AB243,()8156设 均为 3 阶矩阵,且,,则 72 2设 均为 3 阶矩阵,且AB,则1,3 2()若 为正交矩阵,则 a00 矩阵 的秩为 2 1403设 是两个可逆矩阵,则A2,OA1212O当 1 时,齐次线性方程组 有非零x120解向量组 线性 相关 120,向量组 的30秩 设齐次线性方程组的系数行列式123x,则这个方程组有 无穷多 解,0且系数列向量 是线性 相关 的,向量组的极1230,大线性无关组是 1,向量组 的秩与矩阵 s的秩 相同 12,设线性方程组 中有 5 个未知量,且秩AX,则其基础解系中线性无关的解向量有 2 ()3个设线性方程组 有解, 是它的一个特解,b0且 的基础解系为 ,则 的12,通解为 0Xk9若 是的特征值,则 是方程 的AI根10若矩阵满足 ,则称为正交矩1阵从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 个,组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率为 2/52.已知 ,则当事件PAB().,.05互不相容时, 0.8 ,,)0.3 3. 为两个事件,且 ,则()4. 已知 ,则PABp(,)P(15. 若事件 相互独立,且,则q(),()p6. 已知 ,则当事件.035相互独立时, 0.65 ,AB,P()0.3 ()7.设随机变量 ,则 的分布函数XU,1Fx0kx0 1 2pa 0.2 0.5小 h 自考复习资料,手动整理8.若 ,则 6 XB(,.)203E(9.若 ,则NP)10. 称为二维随机变量Y()(的 协方差 ,1统计量就是不含未知参数的样本函数 2参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 常用的参数点估计有 矩估计法 和最大似然估 两种方法3比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性,有效性 4设 是来自正态总体 (xn12, N(,)2已知)的样本值,按给定的显著性水平 检验,需选取统计量H010:;:nxU/5假设检验中的显著性水平 为事件(u 为临界值)发生的概率|0三、 (每小题 16 分,共 64 分)A1设矩阵 ,且有AB12354,,求 X解:利用初等行变换得120315即 由矩阵乘法和转置运算得A1207XB362.设矩阵 ,求 502,31BAA1解:利用初等行变换得 242160351即 由矩A阵乘法得5201846351BA3.已知 ,其中 ,求X3,7B解:利用初等行变换得1052310857364即 6125A由矩阵乘法运算得28350461BX4.设矩阵 ,1,372A是 3 阶单位矩阵,且有I,求 BX)(1. 解:由矩阵减法运算得94372180AI利用初等行变换得1327490231即 1()IA30由矩阵乘法运算得65192403)(1BIX5设矩阵 ,求,A(1) ;( 2) (1)I)(=307425120(2)因为 =)(AI034所以 =BI)(12 093546设矩阵 ,65312,40BA解矩阵方程 X解:因为 1207341205,得 12341A所以 BX75 1329687 设矩阵 ,求(1) ,45A(2) 解11) 023(2)利用初等行变换得1451020597即 A1258 .,3XB,求且BAXI求且己 知例 于 是得 出 18305274)(1、9设矩阵 ,求:,(1) ;(2) 1解:(1)因为 203A121B所以 (2)因为 103IA所以 2/102/310已知矩阵方程 ,其中 ,BAX301,求 35021B解:因为 ,且XAI)(10201即 2)(1AI所以 3450)(1BIX11设向量组 , ,)1,42(,),68(, ,求这53, 3,个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组解:因为( )=1234456823071所以,r( ) = 3 42,它的一个极大线性无关组是 (或41,) 32,1设 ,求ABC0,小 h 自考复习资料,手动整理解: 1024630)(CBA13 写出 4 阶行列式中元素 的代数余子式,并求其值126530a14,: )(1453062)(414 求矩阵 的秩23解 01012344rr3)(AR15用消元法解线性方程组 x1234685261093784231025rrA 687934rrr方 101053424rr 程组解为 432xA2求线性方程组的全部解解: 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 04623184730方程组的一般解为(其中 为自由未知量) x14235令 =0,得到方程的一个特解 . )01(0X方程组相应的齐方程的一般解为(其中 为自由未知量)43215x令 =1,得到方程的一个基础解系x4. )15(X于是,方程组的全部解为 (其中10kX为任意常数) k2.当 取何值时,线性方程组4796321x有解,在有解的情况下求方程组的全部解解:将方程组的增广矩阵化为阶梯形 190258401由此可知当 时,方程组无解。当时,方程组有解。 7 分此时齐次方程组化为432159x分别令 及 ,得0,1,齐次方程组的一个基础解系54,192X令 ,得非齐次方程组的x34一个特解080由此得原方程组的全部解为k12(其中 为任意常数) 1612,分3.求线性方程组的全部解解: 将方程组的增广矩阵化为阶梯形0462318721方程组的一般解为 (其x435中 为自由未知量) 4令 =0,得到方程的一个特解. )01(X方程组相应的齐次方程的一般解为(其中 为自由未知量)43215x令 =1,得到方程的一个基础解系. )15(1X于是,方程组的全部解为(其中 为任意常数) 0k4.求线性方程组8325941x的全部解解:将方程组的增广矩阵化为阶梯形 2413058293021此时相应齐次方程组的一般解为是自由未知4321x量令 ,得齐次方程组的一个基础解系411X令 ,得非齐次方程组的一个特解0x2由此得原方程组的全部解为(其中10k为任意常数)k5设齐次线性方程组 的系数矩AX阵经过初等行变换,得 求此齐次2013线性方程组的一个基础解系和通解 因为 012/3得一般解: (其4321x是自由元) 43,x令 ,得 ;01X令 ,,43得 2所以, 是方程组的一个基21,础解系 方程组的通解为: X,其中 是任意常数 21k1,6设齐次线性方程组 , 为083521x何值时方程组有非零解?在有非零解时,解:因为 A = 8352610301时, ,5即当 3)(Ar所以方程组有非零解 方程组的一般解为: ,其中 为321x自由元令 =1 得 X1= ,则方程组的基础解3x),(系为X 1通解为 k1X1,其中 k1 为任意常数 求出通解 7. 当 取何值时,线性方程组253421x有解,在有解的情况下求方程组的全部解解:将方程组的增广矩阵化为阶梯形0123由此可知当 时,方程组无解。当 时,3方程组有解。 8 分此时相应齐次方程组的一般解为( 是自由未知量)x134243,分别令 及 ,得0x1齐次方程组的一个基础解系X12,令 ,得非齐次方程组的一个特解x34,0由此得原方程组的全部解为8.k 为何值时,线性方程组 且 方 程 组 的 一 般 解 为方 程 组 有 解时当 为 阶 梯 形将 方 程 组 的 增 广 矩 阵 化解 并 求 出 一 般 解有 解 ,kAx5,037241:3421281743x843721x小 h 自考复习资料,手动整理),(573614432为 自 由 未 知 量其 中 xx9求齐次线性方程组 的通0295314x解解: A= 62103一般解为 ,其中 x2,x 4 是自由元 543令 x2 = 1,x 4 = 0,得 X1 = ;),(x2 = 0,x 4 = 3,得 X2 =,(所以原方程组的一个基础解系为 X1,X 2 原方程组的通解为: ,其中 k1,k 2 是任意常数 10设有线性方程组12xyz为何值时,方程组有唯一解?或有无穷多解?解: 2322)1(0333rrA当 且 时,方程组有唯一解)(R当 时, ,方程组有无)(A穷多解11判断向量 能否由向量组 线性表出,123,若能,写出一种表出方式其中 837105623,解:向量 能否由向量组 线性表出,321,当且仅当方程组有解321xx这里 5710470658,321A)(R方程组无解不能由向量线性表出321,12计算下列向量组的秩,并且(1)判断该向量组是否线性相关 123478906,解: 018236314,321该向量组线性相关13求齐次线性方程组x123405的一个基础解系解: 307142540531223rrA 23134321rrr方程组的一般解为 令014532x,得基础解系 13x04514求下列线性方程组的全部解 x123459756解: 02871456031574922rrA方程组一般解为 0221r9432x令 , ,这里 , 为1k21k2任意常数,得方程组通解A3设 ,试求: (1)4,3(NX;(2) (已知95P7),81.08.0,2.解:1 )()1574.39.(2 )(7XP)28.2.设 ,试求:(1) ;N(,4()1(2) (已知)75)9.03,.解:(1) PX(12()84).(2 ()537).109153.设 ,求 和2,NXP.(其中(,6)(, )84)7.3解:设 )10(2Y84.5XP)2(= .().= 170693.14.设 ,试求 ;N(,2 (已知PX)58,4.),7.0解: (13().0987 P)852(.4155某射手射击一次命中靶心的概率是 0.8,该射手连续射击 5 次,求:(1)命中靶心的概率; (2)至少 4 次命中靶心的概率解:射手连续射击 5 次,命中靶心的次数(1)设 :“命中靶心” ,则XB(,.)AP()0 239685C.(2)设 :“至少 4 次命中靶心” ,则BXP()()5 545087328.6设 是两个随机事件,已知 ,BA,4.0)(AP, ,求:5.0)(P4.(1) ; (2) )(解(1) = = = )(.018(2 BA)(P.850.7设随机变量 X 的密度函数为,求:(1) k; (2) E(X ),D(X)解:(1)因为 1= = = 3 k, 所以 xfd)(22k = 3(2) E(X) = = = 21dx2145E( ) = =23D(X) = E( ) - = 8058设随机变量 X N(8,4) 求 )1(P和 ( ,69.), )13.072解:因为 X N( 8,4) ,则 YN(0,1) 所以 = =)(P5.02)5.2(= = = =0.381(69.3 = = .)2(X8P730)2(9. 设 ,试求4,N; (已知9),413.0)(9.)(.解: 325XP174.08.)(237X)(9110.假设 A,B 为两件事件,己知 P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B| )=0.4, 求 P(A+B)A其 它(2kf小 h 自考复习资料,手动整理解:P( )=P( )P(B| )=0.5 0.4=0.2P(AB)BA=P(B)P( B)=0.60.2=0.4P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.7。11设随机变量 (1)求 ;),4(NX)2(P(2)若 ,求 k 的值 (已知93.0) 58,7.)(解:(1) 1)(= 1 1 ( )4P= 2(1 )0.045 ((2) )kX11 5.1(93.0()4k即 k4 = -1.5, k2.5 12罐中有 12 颗围棋子,其中 8 颗白子,4 颗黑子若从中任取 3 颗,求:(1)取到 3 颗棋子中至少有一颗黑子的概率;(2)取到 3 颗棋子颜色相同的概率解:设 =“取到 3 颗棋子中至少有一颗黑子” ,1A=“取到的都是白子 ”, =“取到的都是黑子 ”,2B =“取到 3 颗棋子颜色相同” ,则(1) )(1)(2P (2)745.0328C)()(32AP .1.312413设随机变量 X N(3, 4) 求:(1)P(1 1.96 ,所以拒绝237|0H11某零件长度服从正态分布,过去的均值为20.0,现换了新材料,从产品中随机抽取 8 个样品,测得的长度为(单位:cm):20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化() 5.解:由已知条件可求得:12.067.s135.9|8/|/|0T2).,(5.,tnt | T | 2.62 接受 H0即用新材料做的零件平均长度没有变化。四、证明题(本题 6 分)1设 是 阶对称矩阵,试证:BA,也是对称矩阵证明: 是同阶矩阵,由矩阵的运算性质可知)(已知 是对称矩阵,故有,,即BA)(由此可知 也是对称矩阵,证毕 2 设随机事件 , 相互独立,试证:也相互独立,证明: )(1)()(APBPBA所以 也相互独立证毕 ,3、设 , 为随机事件,试证:)(证明:由事件的关系可知 )(U而 ,故由概率的性质可知ABP()即 )(证毕4 设 是线性无关的,证明, 321也线性无关1.证明:设有一组数 ,使得2,k0)()(321k成立,即 )()(3213k,由已知 线性无关,故有2,031k该方程组只有零解,得 ,0321k故 是线性无关21,的证毕5设 n 阶矩阵 A 满足 ,)(I则 A 为可逆矩阵证明: 因为 ,即 0)(2I

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