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系统辨识讲稿,系统,辨识,讲稿
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1系统辨识实验一要点实验一 利用相关分析法辨识脉冲响应一、实验目的通过仿真实验掌握利用相关分析法辨识脉冲响应的原理和方法。二、实验内容下图为本实验的原理框图。过程传递函数为 ,其中)(sG； 分别为过程的输入和输出变Sec26Tec,38120.,K)(kzu中量； 为过程测量白噪声，服从正态分布，均值为零，方差为 ，记)(kv 2v作 ； 为过程的脉冲响应理论值， 为过程脉冲响),2vN)(kg0 )(kg应估计值， 为过程脉冲响应估计误差。(过程的输入驱动采用 M 序列，输出受到白噪声 的污染。根据过v程的输入和输出数据 ，利用相关分析算法估计出过程的脉冲响)(,kzu应值 ，并与过程脉冲响应理论值 比较，得到过程脉冲响应估计)(kg)(kg0误差值 ，当 时，应该有 。1、过程仿真模拟过程传递函数 ，获得过程的输入和输出数据 （采)(sG)(,kzu相关分析法 v(k)u(k) z(k)ckRtaNkgMzP)()()21 21210 TtkTtkeKkg/)()()(0)()(121sTKsG2样时间取 1 秒）。下面介绍的三种仿真方法都可以用。(1) 惯性环节其中， T 为惯性环节的时间常数， K 为惯性环节的静态放大倍数。若采样时间记作 ，则惯性环节的输出可写成：00011000 TkueTekyky )()()(/ / (2) 传递函数 仿真（串联）)(sG2121K/)(令 ，则 的表达框图为：21T中)(s编程语句可写成： ;);( ;/)()*)(*)( /)()()(;(););/(*/kyxu TkxTETkyky uKExyxTEK1 11251for0XP 0022211122101Ts/1u(k) y(k)1T/u(k) x(k) 21Ts/y(k)3(3) 传递函数 仿真（并联）)(sG2121 TsTK/)(令 ，则 的表达框图为：21中)(s编程语句可写成： ;);()(*( ;/)()*) /)( )()(*(;)(;);/(/kxukKy TkuTETkxxkyxTEK22112 002 2211 1121201152forXP1Ts/u(k) x1(k)2s/ y(k)x2(k) +- 1K4(4) 传递函数 仿真（双线性变换）)(sG Pade 逼近因有 ，则有 ，条sTsTezsT 00Pade210 / 102zT件是 ，其中 为传递函数的极点。kk,.50k 将 代入 ，连续模型化成离散模型 :12zTs)(G26516512zTKG)()(其中， 024013463512TTT,) 编程语句： ;);( ;)()(*)(););(*)/(/;/*kyukuKyTTkkyTT121251for0126564346504352、白噪声生成 利用乘同余法生成 U0,1均匀分布的随机数)(,mod)(,)(od,中18379226100151xAMUxkiii 利用 U0,1均匀分布的随机数生成正态分布的白噪声),()( 22106vivNk其中，标准差 分别取 0,0.1,0.5。 编程语句 ;);.(*);*;(),06FLOAT,MD12for05ksaiSigmv(k)xi/isaxiiksaik3、M 序列生成 用 M 序列作为辨识的输入信号，N 序列的循环周期取,时钟节拍 ，幅度 ,逻辑“0”为 a,逻辑6312PNec1t1a“1”为- a，特征多项式自选，如 。56sF)( 生成 M 序列的结构图C1 C2 C3 C4 C5 C6CPM(6)M(5)+M(4)M(3)M(2)M(1)M(0)6 编程语句 ; ;)()(;);() ;)(;)(,;akuMiiPforMkkthen10if00then2i15fr4、互相关函数的计算 PNriMz izkkR)()()(1其中， r 为周期数， 表示计算互相关函数所用的数据是从第二个Pi周期开始的，目的是等过程仿真数据进入平稳状态。5、c 的补偿补偿量 c 应取 ，不能取 。因为 是周期)(1PMzNR中)(PMzNR中)(kRMz函数，则有 ，故不能取 。)(0z6、计算脉冲响应估计值 脉冲响应估计值 cktaNkgMzP)()()21 脉冲响应估计误差 PNkkg g120120 )(中7、噪信比计算 噪信比定义 v(k)u(k) z(k)G(s) y(k)7噪信比 2yv其中， 为噪声方差， 为过程输出方差。2v 过程输出方差 的计算2y zdGjl)(11其中，积分围线 是 z 平面内沿逆时间方向的单位圆圆周。若定义l )()(11zAB式中 ,)( nzbzbzBaaA 2101 0则有 iniini kiiki kiikinii llybakababzdABjzdGj, ,;, )()( 102111210101002 11中中8、程序流程（供参考）启动定维输入数据 u(252)，输出数据（不含噪声）y(252)输出数据（含噪声）z(252) ，噪声数据 v(252)，M 序列M(7)互相关函数 R(63)，脉冲响应 g(63)，脉冲响应估计Eg(63)8赋初值过程仿真参数：K120, T 1=8.3, T2=6.2, T0=1.0生成 M 序列参数： a=1, P6, M(0), M(7)不能全为 0生成白噪声参数：M32768, A=179, x0=11人机对话噪声标准差： Sigma；生成数据周期数：r过程仿真生成 M 序列；生成白噪声；生成过程输入和输出数据计算脉冲响应估计值计算互相关函数；计算脉冲响应估计值计算脉冲响应估计误差计算脉冲响应理论值；计算脉冲响应估计误差计算过程噪信比计算噪声方差；计算过程输出数据方差打印实验结果脉冲响应估计曲线；数据分析；估计误差9三、实验步骤(1) 掌握相关分析辨识方法的基本原理。(2) 设计实验方案。(3) 编制实验程序。(4) 调试程序，研究实验问题，记录数据。(5) 分析实验结果，完成实验报告。四、实验报告实验报告包括实验方案设计、编程说明、源程序清单、数据记录、结果分析、误差计算、数据列表、曲线打印、实验体会等。1系统辨识实验二要点实验二 递推最小二乘估计(RLS)及模型阶次辨识(F-Test）一、实验目的 通过实验，掌握递推最小二乘参数辨识方法 通过实验，掌握 F-Test 模型阶次辨识方法二、实验内容1、仿真模型实验所用的仿真模型如下：框图表示模型表示 )(2(5.0)1()2(7.0)1(5.)( kvukzkz 其中 u(k)和 z(k)分别为模型的输入和输出变量； v(k)为零均值、方差为1、服从正态分布的白噪声； 为噪声的标准差（实验时，可取0.0、0.1、0.5、1.0）；输入变量 u(k)采用 M 序列，其特征多项式取,幅度取 1.0。1)(4sF2、辨识模型辨识模型的形式取 )()()(11 keuzBkzA为方便起见，取 ，即nbanzbzzBa 21)(根据仿真模型生成的数据 和 ，辨识Lku,),(Lk,1),(217.05.z21.z z(k)u(k)v(k) +y(k) e(k)2模型的参数 ；并确定模型阶次 n ，同时估计出nnba,2121 和模型误差 的方差（应近似等于模型噪声 的方差，即为 ）和模)(ke )(kv2型的静态增益 K。3、辨识算法 采用递推遗忘因子法： )1()(1)( )()()() 1kk zPhKIPh其中，遗忘因子 (具体值根据情况自已确定)；数据长度 L 可取0100、300、500；初始值 。I2a 损失函数的递推计算： kkzkJ)(1)(1()( 2hP 噪声标准差的估计 dim)(LJ。 模型静态增益估计 niiabK14、F-Test 定阶法统计量 t )2,(2)1()1,( nLFnLnJn其中， 为相应阶次下的损失函数值， 为所用的数据长度， 为模型)J的估计阶次。若 ,拒绝 ,若 ,接受 ，tt。,( 0:HtNt。1,( 001:H3其中 为风险水平 下的阀值。这时模型的阶次估计值可取 。t 1n注：F 分布值表（风险水平 ）05阀值 自由度 1t自由度 22100 3.09300 3.03500 3.015、噪信比计算 噪信比定义噪信比 2ye其中， 为噪声方差， 为过程输出方差。2e 过程输出方差 的计算2y zdGjl)(11其中，积分围线 是 z 平面内沿逆时间方向的单位圆圆周。若定义l )()(11zAB式中 ,)( nzbzbzBaaA 2101 0则有 nii llyabzdABjzdGj02 1121 )()(。e(k)u(k) z(k)G(z-1) y(k)4iniini kiiki kiikibakaba, ,10;,2110101010 6、计算性能指标 参数估计平方相对偏差 iiinii ,21 参数估计平方根偏差 iiinii ,212 静态增益估计相对偏差 niiniiKababK11,。三、程序流程（供参考）启动定维输入数据 u(534)，输出数据 z(534)，M 序列 M(5)参数估计向量 THETA(8)，数据向量 h(8)，协方差矩阵P(8,8)损失函数 J(4)，噪声标准差 LAMBDA5赋初值生成 M 序列参数： a=1, P4, M(0), M(5)不能全为 0生成白噪声参数：M32768, A=179, x0=11人机对话噪声标准差：Lambda ；数据长度： L；遗忘因子： Model Order: from Nbeg to Nend过程仿真生成 M 序列；生成白噪声；生成过程输入和输出数据设定模型阶次，从 Nbeg 到 Nend模型参数估计：RLS 算法损失函数计算模型阶次辨识打印实验结果及性能指标计算性能指标6四、实验步骤(1) 掌握最小二乘递推算法和 F-Test 模型阶次辨识的基本原理。(2) 设计实验方案。(3) 编制实验程序。(4) 调试程序，研究实验问题，记录数据。(5) 分析实验结果，完成实验报告。五、实验报告实验报告包括实验方案设计、编程说明、源程序清单、数据记录、结果分析、误差计算、数据列表、曲线打印、实验体会等。1系统辨识第 10 讲要点第 5 章 线性动态模型参数辨识最小二乘法引言：最小二乘法的缺陷：（1）噪声问题，（2）数据饱和问题（适应算法）下面的一些算法就是为了解决上面两个问题而引入的。5.10.3 遗忘因子法遗忘因子算法通过对数据加遗忘因子的办法来降低老数据的信息量，为补充新数据的信息创造条件。取准则函数为 2)()(L1kkzJh其中 称遗忘因子，取值为 极小化这个准则函数，可得到参数0辨识算法： *1*F)(LLzH式中 221*)()()(,LzLhH这种参数辨识方法称作遗忘因子法，记作 FF(Forgetting Factor algorithm)。如果遗忘因子 ，算法退化成普通最小二乘法。与推导加权最小二乘递推算法一样，同样可以推导出遗忘因子算法的递推计算形2式 )1()(1)( () 1kkzPhKPhI式中遗忘因子 可按下面的原则取值： 若要求 步后数据衰减至 ,则 ；Tc36%Tc 取作时变因子 ，其中 。()()k001095.,().遗忘因子 的取值大小对算法的性能会产生直接的影响。 值增加时，算法的跟踪能力下降，但算法的鲁棒性增强； 值减少时，算法的跟踪能力增强，但算法的鲁棒性下降，对噪声更显得敏感。遗忘因子法和加权最小二乘算法主要的差别： 加权方式不同加权最小二乘法各时刻权重是不相关的，也不随时间变化；遗忘因子法各时刻权重是有关联的，满足 关()()k1系，各时刻权重的大小随时间变化，当前时刻的权重总为 1。 加权的效果不一样加权最小二乘法获得的是系统的平均特性；遗忘因子法能实时跟踪系统明显的变化，具有跟踪能力。 算法的协方差矩阵 P(k)的内容不一样，两者的关系为。PFWLS()()kk和加权最小二乘递推算法一样，遗忘因子算法下的残差 与新息()k关系：z )(1)()( kkzkhP或 1)( zh由此可推出准则函数 J(k)的递推计算式：3 )(1)()1()( 2kkzkJhPh式中 ， 是 k 时刻的新息，它与 k-1 时刻)()(zk的参数估计值有关。5.10.4 限定记忆法限定记忆法依赖于有限长度的数据，每增加一个新的数据信息，就要去掉一个老数据的信息，数据长度始终保持不变。这种方法的参数估计递推算法如下： .)1,()(),(),( )(,(11, ),()()1( (1), ),( 1LkLkLk Lkzkkk LLLkzPhKP hPhPhK-I+I算法前三个式子用于去掉老数据的信息，后三个式子用来增加新数据的信息，初始值取 (,),02aI其中 a 为充分大实数， ，为充分小实向量相应的准则函数递推计算式为： ,)()1,()(1 )(,(),(),(2 21LkkLkz kLzJJ hPh hP 其中4 )1,()()(,21 LkLkzz h5.10.5 折息法折息法把加权最小二乘法和遗忘因子法融合起来，形成如下算法： )1()()(1)()()() 1kkk kzPhKPI折息因子与加权因子和遗忘因子之间的关系为 ，(,)()ijjik1当遗忘因子取常数时，折息因子又可表示成 。折息法同,kki时具备加权最小二乘法和遗忘因子法的作用，既可获得系统的平均特性，又具有时变跟踪能力。5.10.6 协方差重调最小二乘法在辨识递推计算过程中，协方差矩阵 P(k)衰减很快，此时算法的增益矩阵 K(k)也急剧衰减。这种现象的出现，促使人们去考虑一种修正的方案，即在指定的时刻重新调整协方差矩阵 P(k)，使算法始终保持较快的收敛速度。这种协方差重调的最小二乘算法描述如下： )1()()( (1) 1TkkzPhKPhI当 时， P(k)按上式算法计算；当kl,125时，把 P(k)重调为 kki l,12 ()kaiiI,。0aminiax5.10.7 协方差修正最小二乘法对时变系统辨识来说，为了防止矩阵 P(k)趋于零，当参数估计值超过某阀值时，矩阵 P(k)自动加上附加项 Q, 具体算法如下：0IPhKh,)()1( (1) 1kkz注意：上面的方法是为了解决“数据饱和”问题而引入的。下面的方法处理噪声是有色噪声时的问题，学习的时候注意区别。引言最小二乘法是一种最基本的辨识方法，但如果模型的噪声不是白噪声，最小二乘法不一定能给出无偏、一致估计。以下着重讨论模型噪声是有色噪声时的各种最小二乘辨识方法。5.11 增广最小二乘法5.11.1 增广最小二乘原理考虑如下模型 AzkBzukNzvk()()()111式中 u(k)和 z(k) 分别为模型输入和输出变量；v(k) 是均值为零、方差为的不相关随机噪声或称白噪声； 为噪声模型； 和v2 1Az()16为迟延算子多项式，记作Bz()1AzazazBbbnab()112其中 na 和 nb 为模型阶次。为了运用最小二乘原理来辨识这种模型的参数，需要把上述模型写成最小二乘格式 )()(kvkzh这样就必须把噪声模型的参数包含在参数向量 中，从而引出增广概念，用来构造上式的参数向量 和数据向量 ，具体的构成形式会因噪声模型的结构不同而不同。下面是三种不同噪声模型的向量构成方法： 若 ，可按下式构成参NzDdzdznd()112数向量和数据向量： )(1)(1)(1)( , )(,)(,(,)()()1 ikvdikubikzakzvb nndb niini dba h 若 ，参数向量和数据NCczcznc()112向量的构成形式为： )(1)(1)( , )(,)1(,(,)()()1 ikubikzakzecb nkenini cba h 若 ，参数向量和数据向NDCdzdzccndc()112量的构成形式为：7 )(1)(1)( , )()1()1( ,1 ikubikzakze vdecvcbnkvnke uzzk ca nini ii ndc ba h以上这种构成参数向量和数据向量的思想就是所谓的增广原理，它是增广最小二乘法的根本。5.11.2 增广最小二乘算法运用最小二乘原理，可导出如下的增广最小二乘批处理算法 LLzH1ELS)(式中 )(2)1()(,LzLh又有如下与之对应的参数估计递推算法，记作 RELS(Recursive Extended Least Squares algorithm)： )1()()( (1) 1kk kzPhKPhI式中数据向量 视不同的噪声模型可以具有不同的增广结构。h这种参数估计算法的实质，在于把噪声模型参数混在参数向量 中一起进行辨识就这种意义上说，称之为增广最小二乘法。它是普通最小8二乘法的一种推广，其递推形式和性质与普通最小二乘法完全相同。优点是可用来解决有色噪声模型的辨识问题，但噪声模型部分本身的辨识并不一定是无偏、一致估计。5.12 广义最小二乘法5.12.1 批处理算法考虑如下模型 AzkBzukCzvk()()()111式中 u(k)和 z(k)分别为模型输入和输出变量； v(k)是均值为零、方差为的白噪声；迟延算子多项式 、 和 记作：v2 z()111aazBzbbCczcnnabc() 12112 其中 na、 nb和 nc 为模型阶次令 ,且定义ekCzvk()()1 )(,)(,)1(), bann nukzba h则可写成如下的最小二乘格式： HeLL式中9)(,2),1()(1)(,2,LeLzzLLLehH为了获得模型参数的无偏、一致估计，可运用 Markov 估计算法（假设此时 v(k)为正态白噪声）获得如下的模型参数估计： LeLezH11GLS)( 其中 为噪声向量 的协方差阵根据噪声 e(k)和 v(k)之间的关系，可ee求得： 12Cve式中 1011cccnn 0C若令 ，则算法可写成：HzfLff, fffzH1GLS)(如果噪声模型已知，则可直接估计出模型参数 。如果噪声模型未知，则要用迭代的方法先求得参数 的估计值，再求噪声模型参数的估计值。求 估计值的方法依然可以是最小二乘,21cnece法。把噪声 e(k)和 v(k)之间的关系写成最小二乘格式： )()(kveh式中10)(,)2(),1)( ce nkekekh则有 eezH1e)(其中 )(2)1(),LLzeeeh这种迭代估计模型参数的方法称作广义最小二乘法。这种方法的基本思想是基于对数据先进行一次滤波预处理，然后利用最小二乘算法来辨识模型的参数。广义最小二乘参数估计存在全局收敛问题，当噪声较大时，一般难以获得更高的辨识精度。5.12.2 递推算法可以进一步推出广义最小二乘递推算法，记作 RGLS(Recursive Generalized Least Squares algorithm)：)1()()( 1)(1()()( )(1)1kkk kekkk kzeee eee ffff ffffPhKPhPhPhKII式中 )()(,1 )(,)(,()()kzkenenkuzzc bffafff h 1系统辨识第 11 讲要点第 5 章 线性动态模型参数辨识最小二乘法5.13 辅助变量法5.13.1 辅助变量法原理考虑如下模型 )()()(11 keuzBkzA式中 u(k)和 z(k)分别为模型输入和输出变量； e(k)是均值为零、方差为的有色噪声； 和 为迟延算子多项式，记作：2e11azazBzbbnab()21其中 na和 nb 为模型阶次。由于 e(k) 是有色噪声，利用最小二乘原理不能获得模型参数的无偏、有效、一致估计。把模型写成最小二乘格式： zHLL式中 )(,2),1( )(,)1(,)2(1)(,LenkunkzzkzzbaL baLnn ehH为了获得模型参数的无偏、一致估计，设模型残差为： LLzH2可以证明，如果能够设法使上式中的残差序列 与过去L)(,1的数据序列不相关，则可获得模型参数 的无偏估计。为此，就须从过去的数据集合中设法衍生出一个有限维的向量 ，使之与残差序列不)(*kh相关，即 。这样，准则函数就可写成如下形式：Lk1*0)(limhLLJ*)(H式中 )(2)1(*LLh上式可以看作加权阵取 的一种加权准则函数。极小化LH之，当 非奇异时，可以获得模型参数的辅助变量估计：*LH LLz*1*IV)(这种辨识思想称作辅助变量原理，对应的辨识方法叫作辅助变量法。是从过去数据集合中引伸出来的向量，称作辅助向量，由此组成的)(*kh称作辅助矩阵。不难证明，如果下面两个条件能够满足，则由算法获L得的模型参数估计是收敛的，即有 。,0 LIV1.WP 是非奇异的；)(1* kEkLhH 。. , eek通过适当选择辅助变量向量 ，上述两个条件是可以满足的。)(*k5.13.2 辅助变量的选择当噪声 e(k)与模型输入 u(k)不相关，且输入 u(k)为持续激励信号时，可按下列方法之一选择辅助向量：3 10,.01),()1()( )(,* dadkakx nkunxba h )()(,* bbb kunu ,()() add nunzz ),1* bakkh式中 为噪声模型 的阶次。dn()(1vDe特别应该指出，如果选第种辅助向量，以此构成的辅助变量法相当于另一种称作相关二步法的辨识方法。这可简要分析如下： 当辅助向量选 时，所构成的辅助变)(,)1()* bankukh量算法相当是如下正则方程： LLkLkzvh 1*1* )()(的最小二乘解，式中 ，为模型噪声向量。,2,vvL 如果数据是平稳的，那么上述正则方程也可写成以相关函数表示的最小二乘格式： )|(,)|1(),|(,)|1()|( knlRklknlRklRklv buuauzuzuz h式中相关函数定义为： lLlzkukuz(|)()|11 对上述以相关函数表示的正则方程，运用最小二乘原理亦可获得模型的参数估计值。 这种先建立相关函数正则方程，即模型两边同乘以 u(k-l)，并取数学期望，再求最小二乘解的方法就叫作相关二步法。它与辅助向量取时的辅助变量算法是等价的。)(,)1()* bankukh45.13.3 递推算法和推导最小二乘递推算法一样，由辅助变量批处理算法可导出如下的递推计算形式，记作 RIV(Recursive Instrumental Variable algorithm)：)1()()( 1)(1 *kk kzPhKPhI同理，也可推导出辅助变量法的残差 与新息 的关系：)(z)(1()1)(*kkzkh或 )(*zP及准则函数 J(k)的递推计算式 1)()1(*2kkkJhh式中 是 k 时刻的新息。)()kzh5.14 相关两步法考虑如下模型 AzkBzuke()()()11式中 u(k)和 z(k)分别为模型输入和输出变量； e(k)是均值为零、方差为的有色噪声； 和 为迟延算子多项式，记作：2e11azazBzbbnab()211其中， na和 nb 为模型阶次， e(k)是零均值噪声，且与输入信号无关。上述模型可变换成：5)()1()()1()(1 bunuauznuzuz lRlRbllRal ba 定义： )(,)1(),(,)()(,2121 buuauzuznn lllllbba h写成最小二乘格式： LLH )(1)0()1( )(,1),0(, )(,)(LnpnLRRRbLL uzuzzuzbuz hhHn 说明：模型噪声 已经不存在， 是计算相关函数带来的误差。对上keLn述最小二乘格式可利用最小二乘算法来估计模型参数 。注意：1、当输入为白噪声序列的时候，由 ，0,)(;0,)(lRlRuzu及： ，我们有：)(1)(2lRlguz,LgzL 0)()2()1(0)( bnaL ILgLgH2、当输入是 M 序列时，由：60;)(2lNalRPu我们有： )(,)2(,1LRzuzuzzL PPPauzuzuz zzz PPauL NaaNnLRLRH /)()2()1( /20 /)1(0 222 222 3、当取 时，可将模型banl, )()1()()1()(1 bnuauzuzuz lRlblR ba 写成： )()1()()1()()2(1-E)(2-E bababa nkukunzkznkukukznk 若令 )()1()()1()(* ba aankukunzkzku h则有7)(E)(E* kkzhh或 LkLk11* )()(写成 LLLnHz*对该式运用最小二乘算法，可得 LL LLLLzHz *1* *1*得到的结果与辅助变量法的结果是一致的。5.15 多级最小二乘法考虑如下模型 AzkBzukCzvk()()()111式中 u(k)和 z(k)分别为模型输入和输出变量； v(k)是均值为零、方差为的白噪声。应用广义最小二乘法时，当噪声较大时，很难得到全局最v2小。现在用多级最小二乘法来辨识。第一级：辅助模型参数辨识 )()()()( 11 kvuzCBkzCzA令： )(111 cacannzeeE)()( cbbfzfzzF则有： )()()(11 kvuFk置：8,2121 cbca nnffe )()()()(1 cbkukzkzh 则有： )1vh由此可以辨识参数： 11(zH其中： )(,1Lz )(1h第二级：过程模型参数辨识由于： )()(11zEBzFA令： ,21212 bann比较上式两边的次数，有： 22Hz其中： )(10,12 cban nfzcb （见书 P190）)()(bacbaneolyH用 的估计值 代替上面的矩阵得 ，则有：ief,if, 2,z22Hz由此可以辨识参数： 12)(第三级：噪声模型参数辨识由： )()(11zCAzEBF9令： ,213cn比较上面式子两边得次数，我们有： 33Hz其中：（见书 P190）)12(,3 cbanfebaonlyz（见书 P190）cH用第一级、第二级获得的估计值 代替上式 中的 ，iife,3,Hziifeba,得： 33nHz由此可以辨识参数： 13)(注意：和广义最小二乘法的比较。5.16 Yule-Walker 辨识算法考虑如下 AR 模型：（A）)()(1kdvzA其中： 是可以观测的数据序列； 是不可观测的、均值为零、)(kz 方差为 1 的白噪声序列；并且 nzazaz 1211)记模型残差为： niikk1)()(取准则函数为： )()(2EJ其中： ，极小化准则函数，令：,21na100)(jajJ可得：（B）nkzE,21,)(即有： nj jkziEajnii,21 0)()1因此，可得： njijRjiiz ,21,0)()(1 其中 的自相关函数 可由下式计算：)(kzz jkLjjkz ,)()(1 其中 为数据的长度。L令： )(,)2(,nRRrzzzz )0()2()1( 20)1(zzz zzzz n 我们有： zzrR上式称作 Yule-Walker 方程，矩阵 为 Toeplitz 矩阵，它是对称正定矩阵，且是可逆的矩阵，因此我们可得参数估计值： zr1其中 称为参数 的 Yule-Walker 估计。ia1系统辨识第 12 讲要点第 6 章 模型阶次的辨识（结构辨识）6.1 引言各种模型参数辨识方法一般需要假定模型的结构已知，实际上在多数情况下这是不现实的。当没有模型结构的先验知识时，需要利用系统的输入输出数据来确定模型的结构。这就是所谓的模型结构辨识问题。对单输入单输出(SISO) 系统来说，模型结构辨识也就是模型的阶次辨识。下面给出各种模型结构辨识方法（线性系统）。模型结构辨识的过程： 、 、 WinerVolta3216.2 根据 Hankel 矩阵的秩来估计模型的阶次 脉冲响应值的确定： 利用经典辨识方法中的相关分析法确定； 利用最小二乘类方法确定；设线性系统的输入输出序列分别为： ，脉Lkzku,21),(,冲响应值序列为 ，它们之间由卷积表示为：Nig,210),( )()0wiigkzi 2其中： 是过程的输出白噪声。)(kw令： )(,)2,1(,LwwNggzzL )()1()0)NLuuLH 则有： LLwgz利用最小二乘法可以获得脉冲响应的估计值： SzH1)( 利用脉冲响应值确定模型的阶次： 定义 Henkel 矩阵： lXkglkglkgll )2()()1(2)1()()(),( H其中， 为系统的脉冲响应值， 决定 Henkel 矩阵的维数。)(g注意： 的取值范围， 。k)2(lL Henkel 矩阵的性质：（此为定阶的依据） knlkl,ran00H 定阶准则（弱噪声的情形）： lLklkl lD21),(det,3 强噪声下的 Henkel 矩阵：（强噪声的情形） lXklklkll )2()()1(2)1()()(),( H其中， ， 。)0(gRkLigig16.3 根据行列式比确定模型的阶次6.3.1 无噪声情形假设模型为：（阶次参数为 ）nnii ikubkya11 )()()(令： ，其中，nnUYH )()2()1( )()()( LyLnyny )()2()1( 1LuLnunuU 如果输入是持续激励信号，则有 ，关于矩阵 ，有以下性质：rakUnH,mi0Hn其中： 为过程模型的真实阶次。0n记：4nHL1)(则有以下结论：（判别模型阶次的依据） 0,)(det为了提高判别阶次的精度，一般用以下的判别式子： )1(det)(nHDR若 较 有显著增加时，则取阶次估计值为 。)(nDR)1( n06.3.2 白（弱）噪声情形假设模型为：（阶次参数为 ）n)()()(11 kviubikzaznii 令： ，其中，nnUZH )()2()1( )1()()( LzLnznz zzz )()2()1( 1LuLnunuU 定义判别式子（行列式比）： )1(det)(HDR其中： 1)(,1)( nnLLH5若 较 有显著增加时，则取阶次估计值为 。)(nDR)1( n06.3.3 有色噪声情形假设模型为： )()()(11 kvidikeceubzazmimi nini其中有两个阶次参数 。n,记： ,)(,)2(1,2121dcbadcaaLnvvvzzzmnn 及： ，其中：, mnmnVEUZH )()2()1( )1()()( LzLnznz zzz )()2()1( 1LuLnunuU 6 )()2()1( 2)1()()( LmneLneneEm )()2()1( 21LnvLnvnvVm 由此可得： nmnHz,依据最小二乘法估计参数 ，得：nnz,1,)(利用以下的估计式代替 中得元素，迭代计算得 。mVE, mVE,dvceba)()()(kkvzeu其中： )(,)2(,1)( , mkvkvkeenuuzz ve因此得到： ,nmnVEUZH记：7 )()( 11),(211,mHn VEUVZEZLmmnnnmnnnmn 定义判别式子（行列式比）： )1(det)(nHnDR和 )(et)(2m即可对参数 进行估计。mn,为了减少计算量，可以用以下的判别式子： )1(det)(nDRt2m其中： )()(1221Hn6.4 利用残差的方差估计模型的阶次6.4.1 残差方差分析考虑如下模型 )()()(11 kvuzBkzA式中 u(k)和 z(k) 分别为模型输入和输出变量； v(k) 是均值为零、方差8为 不相关随机噪声； 和 为迟延算子多项式，记作2v)(1zA)(1zBaazBbbn() 211其中 n 为假设模型的阶次参数。模型的最小二乘格式可写成 zkvkn()()hT式中，数据向量和参数向量定义为 hnnuznuab(),),1 TT运用最小二乘原理，可获得模型参数 的最小二乘估计为n()nnHzTT1式中，数据矩阵和输出向量定义为 hznnLzLTT T()(),(),()1212其中， L 为数据长度。模型阶次为 n 时，输出残差向量可写成 nnvHz式中 (),()nnnvvL012 T且残差的方差具有如下性质 PP+PTTTlim()lilimliLLnLnLbnVn1v它会呈现如下的变化特性96.4.2 白噪声过程的 F-Test 定阶法通过观察残差方差 的变化情况，可确定模型的阶次，具体步骤：)(nV 阶次 n 逐一增加，当 n 增加至 时，若 呈现显著下降，)(nV则确认模型阶次为 ； 引进统计量 tVnLnL()()(),)1221212Ft 服从 F 分布，自由度为 2(n2-n1) 和 L-2n2； 设零假设 ，取风险水平 ，对应的阀值00:H%5。),(221Lnt 按下式判断模型阶次若 ,拒绝 ,若 ,接受 ，tt, 0:ntt1,( 001:nH其中 为风险水平 下的阀值。这时模型的阶次估计值可取 。6.4.3 有色噪声过程的 F-Test 定阶法考虑如下模型V(n)nv2n0显著下降点10 )()()( 11 ikvdkieckeiubizazmimi nini式中 u(k)和 z(k) 分别为模型输入和输出变量； v(k) 是均值为零、方差为 不相关随机噪声； n 和 m 为模型阶次。v2 引进统计量 )2,(2)1,()1,( ,)(),(, nLFLnVmt nn 设零假设 ，取风险水平0)(0)0 1: mHHm，对应的阀值 。%5,2(Ft 按下式判断模型阶次若 ,拒绝 ,若 ,接受tnt1,( 0)(0:ntt1,(，其中 为风险水平 下的阀值。这时过程模型的阶次估0)(0:H计值可取 。若 ,拒绝 ,若 ,接受tmt, 0)(0:mHtt,(，其中 为风险水平 下的阀值。这时噪声模型的阶次0)(01:估计值可取 。1系统辨识第 13 讲要点第 6 章 模型阶次的辨识（结构辨识）6.5 Akaike 准则模型阶次辨识法6.5.1 引言考虑线性模型： )()()()(21 kehkhkz N为了确定以上参数模型的阶次，Akaike 引入了如下的准则：（A）LNAICMlog其中 AIC 表示 Akaike Information Creterion， 为参数L的极大似然估计， 为在条件 下的似然函数，,21N)(LM为模型参数的估计值。（A）是一准则函数，我们要找使得（A）达到最小值的 作为模型N的阶次。6.5.2 定性解释 极大似然估计的物理解释物理意义：对一组确定的随机序列 ，设法找到参数估计值 ，使LzML 得随机变量 在 条件下的概率密度函数最大可能地逼近随机变量 在zML z（真值）条件下的概率密度函数，即有：0 )()(0max zpzpML KullbackLeibler 信息测度我们称：2 )(log)(log)(log),( 000 zpEzpEzpEI为 KullbackLeibler 信息测度。可以证明： ,0I KullbackLeibler 信息测度与极大似然参数估计的关系 AIC 准则函数与模型阶次 的关系（P349 图 13.7）N6.5.3 AIC 准则的推导 KullbackLeibler 信息测度的性质（1） 0),(I（2） )()(21 000 MLMLL（3） 即),(0NI NIE,2 AIC 准则的推导6.5.4 AIC 定阶法 白噪声情形给定参数 ，模型为：n )()()(11 kviubikzaznini 式中 u(k)和 z(k) 分别为模型输入和输出变量； v(k) 是均值为零、方差为 服从正态分布的不相关随机噪声。令：2v,)(2)1(,21nn nnnUZHbaLvvzz 3其中： )()2()1(0)1()()( nLzLzzzZn )()2()1(01LuLuUn 由此可得： nnvHz输出变量在 条件下的似然函数为： n )()(21exp)2() nnz vLv HL对应的似然函数为： )()()log()l()(log nn2n vvl 由极大似然原理可得： nnMLzHT1T)()(MLML2 nv将上面两式代入对数似然函数，有： )log(2)(Lvcstl 将此式代入（A），去掉常数项，我们得到此情形下的 AIC 准则：nnAICv4)l()(注意：噪声按下式计算。 )()(1 MLML2 zznnv H4因此，对不同的 ，计算 的值，当 的 即为模型n)(nAICmin)(AIC的参数值。 有色噪声情形给定参数 ，模型为：mn, minii ikvdikubkzaz 111 )()()()(式中 u(k)和 z(k) 分别为模型输入和输出变量； v(k) 是均值为零、方差为 服从正态分布的不相关随机噪声。2v此时的对数似然函数为： LkvvLl 122n )()log()2l()( 噪声方差的极大似然估计为 Lkv122)(
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