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本 试 卷 共 二 页 , 此 页 为 A 卷 第 1 页 ( 注 : 参 加 重 修 考 试 者 请 在 重 修 标 识 框 内 打 钩 )中 原 工 学 院2007 2008 学 年 第 二 学 期理 工 科 各 专 业 高 等 数 学 课 程 期 末 试 卷题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分一 、 填 空 题 ( 每 题 5 分 )1、 设 zyxxyzyxzyxf 62332),( 222 , 则 )1,1,1(gradf 。2、 椭 球 面 632222 zyx 在 点 ( 1, 1, 1 ) 处 的 切 平 面 方 程 是 。3、 设 22 20 ( , )yyI dy f x y dx , 交 换 积 分 次 序 后 , I 。4、 设 L为 取 正 向 的 圆 周 422 yx , 则 曲 线 积 分 L xx dyxyedxyey )2()1( 。5、 级 数 11 ( 1)2 nnn 的 和 等 于 。二 、 选 择 题 ( 每 小 题 5 分 ) 。1、 二 元 函 数 ),( yxf 在 点 ),( 00 yx 处 的 两 个 偏 导 数 ),( 00 yxfx , ),( 00 yxfy 存 在 是 ),( yxf在 该 点 连 续 的 ( ) 。(A) 充 分 条 件 非 必 要 条 件 ; (B) 必 要 条 件 非 充 分 条 件 ;(C) 充 分 必 要 条 件 ; (D) 既 非 充 分 条 件 又 非 必 要 条 件 。2、 设 ),( xzyxfu 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , 则 2ux z =( ) 。( A) 2212112 )( fxzfzxfxf ; ( B) 2212 fxzfx ;( C) 22122 fxzfxf ; ( D) 22fxz 。3、 设 D: 41 22 yx , f 在 D 上 连 续 , 则 D dyxf )( 22 在 极 坐 标 系 中 等 于( ) 。( A) drrrf21 )(2 ; ( B) drrrf21 2)(2 ;( C) 10 220 2 )()(2 drrfrdrrfr ; ( D) 10 220 2 )()(2 drrrfdrrrf 。4、 设 是 取 外 侧 的 单 位 球 面 1222 zyx , 则 曲 面 积 分xdydz ydzdx zdxdy =( )(A)0 ; (B) 2 ; (C) ; (D) 4 。5、 若 1 )1ln(n nna 收 敛 )0( a , 则 a的 范 围 为 ( )(A) (0,1) ; (B) (1,2) ; (C) ),1( ; (D) ),0( 。三 、 解 答 下 列 各 题1、 函 数 ,z z x y 由 方 程 , 1F x yz y xz 所 确 定 , 其 中 F 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ,求 dz。 ( 7 分 )2、 设 ),(),( vuyyvuxx 是 由 方 程 组 01yvx yxu 所 确 定 的 隐 函 数 , 求 ux , xv ( 7 分 )A 卷重 修 标 识班级姓名学号装订线本 试 卷 共 二 页 , 此 页 为 A 卷 第 2 页3、 求 2 2 1z x y 在 1y x 下 的 极 值 。 ( 7 分 )四 、 解 答 下 列 各 题1、 2 211D dx y , 其 中 D 是 由 圆 周 x2y21 及 坐 标 轴 所 围 成 的 在 第 一 象 限 内 的 闭区 域 。 ( 7 分 )2、 计 算 积 分 L xx dyxyedxyyeI )cos()sin( , 其 中 L 是 从 点 1,0A 经 下 半圆 周 9)4( 22 yx 到 点 7,0B 的 路 径 。 ( 7 分 )3、 求 解 曲 面 积 分 dxdyzdzdxydydzx 333 其 中 为 球 面 2 2 2 2x y z a 的 外 侧 ( 7分 ) 。五 、 将 函 数 ln 2 3y x 展 开 为 x的 幂 级 数 , 并 写 出 其 收 敛 域 。 ( 8 分 )班级姓名学号装订线本 试 卷 答 案 共 一 页 , 此 页 为 第 1 页中 原 工 学 院2007 2008 学 年 第 二 学 期理 工 科 各 专 业 高 等 数 学 课 程 期 末 试 卷 标 准 答 案 ( 即 评 分 标 准 )一 、 填 空 题 ( 每 题 5 分 )1、 kji 036 ; 2、 632 zyx ; 3、 40 2 ( , )xxdx f x y dy ;4、 8 ; 5、 23二 、 选 择 题 ( 每 小 题 5 分 )1、 D; 2、 C; 3、 A; 4、 D; 5、 A三 、 解 答 下 列 各 题1、 解 : 1 21 2x F zFz yF xF , 1 21 2y zF Fz yF xF 6 分1 2 1 21 2 1 2x y F zF zF Fdz z dx z dy dx dyyF xF yF xF 7 分2、 解 : 对 所 给 方 程 组 两 端 求 微 分 得 : ydvvdydx xdudyudx解 得 , 1 uv ydvxvdudx 5 分所 以 uvxvux 1 , 1x yv uv 7 分3、 解 : 22 21 1 2 2 2z x x x x 2 分令 4 2 0z x , 得 12x 。 4 0z , 12x 为 极 小 值 点 。 6 分故 2 2 1z x y 在 1y x 下 的 极 小 值 点 为 1 1,2 2 , 极 小 值 为 32 。 7 分四 、 解 答 下 列 各 题1、 解 : 2 2 21 11 1D Dd d dx y 3 分 11 22 20 0 01 1ln 1 ln21 2 2 4d d 7 分2、 解 : 令 sinxP e y y , cosxQ e y x 得 1cos yeyP x , 1cos yexQ x 2 分连 接 AB ,记 L及 AB 所 围 区 域 为 D, 则 由 Green公 式 得 :I= BAABL 5 分= D dxd 712 = 63212 2 = 3 7 分3、 解 : 原 式 dvzyxdvzRyQxP )(3)( 222 4 分 2

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