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现代数值计算方法习题答案 李继云1现代数值计算方法习题答案习 题 一1、解:根据绝对误差限不超过末位数的半个单位,相对误差限为绝对误差限除以有效数字本身,有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此4910-2 : = 0.005; = 0.0102; 2 位有效数字.ErE0.0490 : = 0.00005; = 0.00102; 3 位有效数字.r490.00 : = 0.005; = 0.0000102;5 位有效数字.r2、解: = 3.1428 , = 3.1415 ,7取它们的相同部分 3.14,故有 3 位有效数字.= 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ; = = = 0.00041.ErE14303、解: 的近似值的首位非 0 数字 = 1,因此有101| | = 5,所以 n = 5 .)(*xr )1(2n24、证: )()() *1* xxEEnnn )(11)( *1* xEnxxx rnnnr 5、解:(1)因为 4.4721 ,20又 | | = | | = 0.0021 = 3 .所以, 4.47.)(*xr )1(42n *x6、解:设正方形的边长为 ,则其面积为 ,由题设知 的近似值为 = 10 x2xycm .记 为 的近似值,则*y现代数值计算方法习题答案 李继云20, = 2 0, = 4 0,所以系数矩阵是对称正1a31定的.记系数矩阵为 A,则平方根法可按如下三步进行:第一步 分解:A = L LT.由公式计算出矩阵的各元素:31l321l 362l31l 632l3l因此, L .23602第二步 求解方程组 LY = b . 解得 Y = ( , , ) T.3562第三步 求解方程组 LTX = Y . 解得 X =(0,2,1) T.(2)解:首先检验系数矩阵的对称正定性,这可以通过计算其各阶顺序主子式现代数值计算方法习题答案 李继云5是否大于零来判断. 3 0, = 2 0, = 6 0,所以系数矩阵是对称正1a123定的.记系数矩阵为 A,则平方根法可按如下三步进行:第一步 分解:A = L LT.由公式计算出矩阵的各元素:31l 321l 362l31l 62ll因此, L . 3630第二步 求解方程组 LY = b . 解得 Y = ( , , ) T .563第三步 求解方程组 LTX = Y . 解得 X = ( , , ) T .124、解: 对 , ;1i21ad对 , , , ;2t1l25d对 , , , , , .3i1273t31l73l523d所以数组 A 的形式为: 52710A求解方程组 LY = b . 解得 Y = (4,7, ) T .69求解方程组 DLTX = Y . 解得 X = ( , , ) T .1023现代数值计算方法习题答案 李继云65、解:(1)设 A = LU = 10015432ll 543210606uu计算各元素得: , , , , , 1u292u13l93, , , .6594l46525求解方程组 LY = d. 解得 Y = (1, , , , ) T .求解方程组 UX = Y. 解得 X = ( , , , , ) T .650946570396521(2)设 A = LU = 1032l3201u计算各元素得: , , , , .51u254223l4153u求解方程组 LY = d . 解得 Y = (17, , ) T .1求解方程组 UX = Y . 解得 X = (3,2,1) T .6、证:(1) (2)相同.因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵,所以雅可比迭代法和相应的高斯赛德尔迭代法都收敛.(1)雅可比迭代公式: 710271)(3)()(1kkkxx4)()(1)(2 39)(2)()1(3kkkxx高斯赛德尔迭代公式: 7107)(3)(2)1( kkk4)()1()(2xx329)1()(1)1(3kkk(2)雅可比迭代公式:现代数值计算方法习题答案 李继云754152)(3)()1( kkkxx2)()(1)(2)(2)()1(3kkkxx高斯赛德尔迭代公式: 545)(3)(2)1( kkk 2)()1()(2xx)1(2)(1)(3kkk7、(1)证:因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵,所以雅可比迭代法和相应的高斯赛德尔迭代法都收敛。(2) 雅可比迭代法:写出雅可比迭代法公式: 51252)(3)()1( kkkxx4)()(1)(210)(2)()(3kkkxx取 = ( 3,1,1) T,迭代到 18 次达到精度要求 ,)0(x= (3.999 ,2.999,1.999) T .)18(高斯赛德尔迭代法:写出高斯赛德尔迭代法公式: 51252)(3)()1( kkkxx4)()1()(210)(2)(1)1(3kkkxx取 = ( 3,1,1) T,迭代到 8 次达到精度要求 ,)0(x= (4.000,2.999,2.000) T .)8(8、SOR 方法考试不考。现代数值计算方法习题答案 李继云89、证明:雅可比法的迭代矩阵为:, 0321)(1ULDBJ 3210JBI解得 ,所以雅可比迭代法不收敛.)(J高斯-赛德尔法的迭代矩阵为:, 10)(1ULDM10MI求得 , ,则 , 所以高斯-赛德尔迭代法不收213)(敛.10、证明:雅可比法的迭代矩阵为:, 021)(1ULDBJ 21JBI求得 , , ,则 ,01i52i53)(J所以雅可比迭代法不收敛.高斯-赛德尔法的迭代矩阵为:, 43102)(1ULDM 43102MI求得 , ,则 , 所以高斯-赛德尔迭代法收2131)(敛.11、证明:当 - 0.5 0 , = (1 - a)2(1 + 2a) 0 , 所以 A 正定.1现代数值计算方法习题答案 李继云9雅可比迭代矩阵 BJ ,所以,0a| | = = JIa )2()23a所以, , 故当-0.5 = 4 ,12k2即应至少分 4 次,取 开始计算,于是有:5.0x当 k = 1 时, x1 = 0.35 , ,隔根区间是 ,0)(1xf 35.0当 k = 2 时, x2 = 0.325 , ,隔根区间是 ,22当 k = 3 时, x3 = 0.3375 , ,隔根区间是 ,)(3xf .7.当 k = 4 时, x4 = 0.34375 , ,隔根区间是 .043450所以 (0.3375 + 0.34375)/2 0.341.* 2、解: 在区间1,2上 ,故 在区间1,2上)(3xf 13)(2 xf )(xf严格单调增加,又 , ,所以方程在区间1,2上有唯一实0)2(f1根.令 = 13.3 ,即应至少分 14 次.12k43、解:作图,判断根的数目、找隔根的区间.(1)有唯一实根,隔根区间0, ,收敛迭代公式: ./4sinco1kkkxx(2)有唯一实根,隔根区间1,2,收敛迭代公式: .)(lg21kk4、解:取 的邻域1.3,1.6来考察.5.10x(1)当 1.3,1.6时, 1.3,1.6 ,| | 1,所以,x/)(x)(x在1.3,1.6上发散.1kk(4)当 1.3,1.6时, 1.3,1.6 ,所以, 在x1)(3x 131kkx1.3,1.6上发散.取 开始计算,于是有:510= 1.481448 , = 1.472705 , = 1.468817 , x2x3x= 1.467047 , = 1.466243 , = 1.465876 .45 6由于| | ,故可取 = 1.466.56x3102*x65、解:方程的等价形式为 = ,迭代公式为 .2.5x)(5120kkx作函数 和 的图像,可知其正根区间为0.5,1.5.5y.当 0.5,1.5时, 0.5,1.5 ,| | = 0.3 = L 1,所x5.0)(x)(x以, 在0.5,1.5上收敛.321kkx取 开始计算,于是有:5.0x= 0.93114992, = 1.0249532 , = 1.04141516 , 1 2x3x= 1.04419321, = 1.0446673 , = 1.04474582,4x5 6= 1.04475903, = 1.0447613 , = 1.04476123.7 8x9x由于| | ,故可取 = 1.04476.89x3102*9x6、解:当 0,0.5时, 0,0.5 ,| | = 0.825 = L 1,/)()xe)(x所以 在区间0,0.5上收敛./(1kxkex现代数值计算方法习题答案 李继云12取 开始计算,于是有:5.0x= 0.10000000, = 0.08948290 , = 0.09063913 , 1 2x3x= 0.09051262, = 0.09052647 , = 0.09052495.4x5 6由于| | ,故可取 = 0.0905.564102*x67、解:由于 在根 附近变化不大, = - 0.607 = q.)(x.*5.0 |)(xe迭代-加速公式为 67.1/.067.1/1kkxxek取 开始计算,于是有:5.0x= 0.5662917, = 0.5671223, = 0.56714277.12x3x由于| | ,故可取 = 0.5671.23x410*38、解:埃特金加速公式为:kkkkxx122131取 开始计算,于是有:5.10x= 1.32489918, = 1.32471796, = 1.32471637.2x3x由于| | ,故可取 = 1.3247.23x410*9、解:对于 , ,因此牛顿迭代法为afn)()(nxf, 0,1,2,3, 111 nknkk axx 对于 , ,因此牛顿迭代法为naf)(1)(nxf axfxnkkk )(1, 0,1,2,3,现代数值计算方法习题答案 李继云13因为 所以,nna1)( 对于 , .0)(xfn nknk axa21)(lim1对于 , .1)(naf nknk)(li2110、解: 在区间1,2上, , ,3xf 0)ff, .0)(2 6)( xf又因为 ,所以收敛且以 作初值。)(f 20取 ,用牛顿迭代法, 20x )1(32231 kkkxxx计算得 = 1.8889, = 1.8794, = 1.8794,1x2由于| | ,故可取 = 1.879.2330*x311、解:设 ,则 , .牛顿法迭代公式为:Cxf)( 2)(fxf6)(0,1,2,3,312kkx k当 时, , , 当 时, , .0x0)(xf0)(fx0)(xf0)(xf因此,对于 ,当 时, ,牛顿序列 收敛到C3)(0fk.3当 时, ,)0(3x 0)2(3)(323203031 xCxCxx所以 ,因此,从 起 , 牛顿序列 收敛到 .31C1k对于 ,当 时, ,牛顿序列 收敛到 .03x)(0xfkx3现代数值计算方法习题答案 李继云14当 时, ,)0(30Cx 0)2(3)(323203031 xCxCxx所以 ,因此,从 起 , 牛顿序列 收敛到 .311k当 时,迭代式变为 .0 kkkxx321该迭代对任何 均收敛,但收敛速度是线性的.Rx0取 开始计算,于是有:10x= 1.66666667 , = 1.23111111 , = 1.48053039 , 2x3x= 1.44323083 , = 1.44225024 , = 1.44224957 ,4x5 6= 1.44224957 .7由于| | ,故可取 = 1.442250 .6x6102*x712、解:令 ,取 , 开始计算,fsin)(1经过 4 次计算可以得到 = 0.51098 .*x4习 题 五现代数值计算方法习题答案 李继云151、解: )()()()( 2102 xlfxlfxlfxL.3765)1(4)2(1)3( 2 x2、解: )()( 32103 lfxlfxlfxlfxL 120)(3)(2)1( x.6)(23 xxx3、解: )()()()()( 3103 lflflflfL .(直接代入数据,因较复杂,省略)124.4、证:(1)当(2)中的 时,即可得结论.0k(2)函数 及 均为被插值函数 的关于互异节点 的不超过kx)(0xlini kxix次的插值多项式,利用插值多项式的唯一性可知结论.5、证:以 和 为插值点,建立 的不超过一次的插值多项式:axb)(xf0)()(1 affL应用插值余项公式有:)(max)(21)()(!21)( bfbxfxf bbxa ,因此可得结论。ma82fbbx6、解:选 , ,4.10x5. 为节点,计算得:6.12现代数值计算方法习题答案 李继云16)54.1(6)54.1()54.1()54.1( 202 lflflfL )6.1)(.(837.).)(.(62.942.1)5.6)(4.1(5. 7、解: )()() 32103 xlfxlfxlfxlfxL 69)210)(360)9(6)(3 .242123xx8、解:(略)9、证:设 , .)()(xgfxF )()()(101 nn xx将差商(均差)用函数值表示,则有:nj jjnjj xgfxFx010110 )()(, njjnjjf0101)()(,00 nnxgxf 取 得结论(1) ,取 得结论(2).c, 110、证:现代数值计算方法习题答案 李继云17. nj njjjjjjnjj xxxfxfxf 0 1100110 )()()()(, 11、解:制造向前查分表: iixiyiyiy2iy30123012312176411547143218由题意, , .当 时, .0x1h5.0x50hxt将查分表上部那些画横线的数及 代入公式,有.t.875016).(142).(5.01).(3 N当 时, .将查分表下部那些画横线的数及 代.2x0hxt .t入公式,有.375186)5.(0.32)5.0(.476)5.(3 N12、解:制造向前查分表: iixiyiyiy2iy30123-1012-2-1121211-1-2现代数值计算方法习题答案 李继云18由于其根在-1,2之间,故采用牛顿后插公式, 计算得 ,所以 .5.1t50x13、证:采用差分的定义来证明.14、解:方法同第11题.15、解:以 , 和 为插值节点的插值多项式的截断误差,则有1ixi1i,)()(!3)( 112 iii xxfR式中 , ,,1ii hiihii1则 34341142 926)()(max6)(1 heexexRiiiii 令 得 .53409h0658h现代数值计算方法习题答案 李继云19习 题 六1、解:由题意得 , , 所以 , .24153A1463b4930AT 2973bAT又 , 所以 .bXTT56.0X2、解:设拟合曲线为一次多项式: . 计算各元素:xay101)(, , , , ,8n26.15ix56.3812ix27.4581iy93628.81iiyx故法方程组为 = ,.0.10a938.解得 , .所以 .916.30a479164.7)(1xy二次多项式拟合曲线与一次多项式拟合曲线类似(略).3、解:设拟合曲线为二次多项式: . 计算各元素:2bxay, , , , ,5n3271ix769514ix4.7151iy5.3692152iiyx故法方程组为 = ,ba5.32解得 , .所以973.0a50b.20.97.xy现代数值计算方法习题答案 李继云204、解:经描图发现 和 符合二次曲线. ts设拟合曲线为二次多项式: . 计算各元素:2ctbas, , , ,6n7.14it63.5612it1it614it, ,28061is0861iist612iist故法方程组为 = ,63.5.743.5cba1078解得 , , .所以 .abc2tas5、略.6、解:对公式 两边取常用对数有 .ateI0 eatIlglg0令 , , ,则得线性模型 .计算各元素:ulg0lAeBlBtAu, , , , ,7n5.31it3.271it863.071iu0867.71iit故法方程组为 = ,0.BA7.解得 , ,得 , .759.A2546.135.0I892a所以 .teI8263.7、解:对公式 两边取常用对数有 .bxay ebxaylglg现代数值计算方法习题答案 李继云21令 , , ,则得线性模型 .计算各元素:yulgaAlebBlgBtAu, , , , ,5n.71ix875.152ix084.1iy2645.51iiyx故法方程组为 = ,.5BA26.解得 , ,得 , .487.0A19703a57b所以 .xey5.238、解:令 ,则 .计算各元素:XxlnbXa)(, , , , ,4178.31ii 60914.342ii 4.iy9605.121iiyX故法方程组为 = ,ba5.2解得 , ,所以 .496.2a02.1b xxyln402.19)(现代数值计算方法习题答案 李继云22习 题 七1、解:利用梯形公式: .68394.02110edxeI利用辛普森公式: .2.6021102 Ix计算误差: .83.12)(1(031 efabR

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