初中数学重点：从一道数学压轴题谈起

初中数学重点：从一道数学压轴题谈起由于工作的关系，我经常接到一些学生的咨询，反映在考试时，一见数学压轴题就发怵，经常折腾个把小时做不完；还有的学生以为压轴题一定很难，不敢碰它，所以不如干脆放弃，挪些时间检查，保证基础题少丢分，这也是部分老师的谆谆教导和学生家长的千叮万嘱.这种做法是否明智？数学压轴题是在初中主干知识的交汇处命制，是多个基础知识点的融合或深挖，所涉及的知识点多，覆盖面广，综合性强，对思维能力思维品质的考查要求很高，几乎都涉及到数学学科的基础知识、基本技能、基本思想与基本方法，如三角形的全等、相似；函数解析式的求法与应用、方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等，所以具有一定难度，绝大部分学生难以全部完成.1 压轴题真的就不能碰吗？下面以 2009 年东营市压轴题为例谈谈我们的看法题目：（2009 年东营市 24 题）已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E点作 EFBD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG （1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF 中点 G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）这一压轴题改编自广州市 2007 年初中学生学业考试数学试题第 25 题，原题如下：已知 RtABC 中，AB=AC，在 RtADE 中，AD= DE，连结 EC，取 EC 中点 M，连结DM 和 BM.（1）若点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合，如图，求证：BM=DM 且 BMDM；（2）如图中的ADE 绕点 A 逆时针转小于 45的角，如图，那么（1）中的结FBA DCEG图FBA DCEG图DFBACE图论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明该题主要考查三角形、图形的旋转、特殊四边形等基础知识，考查空间观念、演绎推理能力命题组给出的参考解答及评分意见如下：解：（1）证明：在 RtFCD 中， G 为 DF 的中点， CG= FD 1 分2同理，在 Rt DEF 中， EG= FD 2 分1 CG=EG 3 分（2） （1）中结论仍然成立，即 EG=CG4 分证法一：连接 AG，过 G 点作 MNAD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点在DAG 与 DCG 中， AD=CD，ADG=CDG ，DG=DG， DAG DCG AG=CG 5 分在DMG 与FNG 中， DGM =FGN，FG =DG，MDG=NFG， DMG FNG MG =NG在矩形 AENM 中，AM =EN 6 分在 Rt AMG 与 RtENG 中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG EG=CG 8 分证法二：延长 CG 至 M,使 MG=CG，连接 MF，ME，EC， 4 分在DCG 与FMG 中，FG=DG ， MGF=CGD，MG =CG，DCG FMGMF=CD，FMG DCG MFCD AB5 分 EFMFB CEG图 FBA DCEGMNN图 （一）FBA DCEGM图 （二）在 Rt MFE 与 RtCBE 中， MF=CB，EF=BE，MFE CBE 6 分MEFCBMECMEFFECCEBCEF 90 7 分 MEC 为直角三角形 MG = CG， EG= MC21 8 分EGC（3） （1）中的结论仍然成立，即 EG=CG其他的结论还有: EGCG10 分分析：解答压轴题，除了要具备扎实的数学知识和良好的的读题习惯外，还要具备较高的应考能力，要特别关注题目中的特殊图形，如题目中的“正方形的对角线” ；特殊的位置关系，如“EF BD”；特殊的点“中点 G”等；要找准压轴题的“题眼” ， “题眼”一般在于某一个特殊图形中或在于某个思想方法中该压轴题由 3 个小题组成.第（1）题要求证明两条线段相等，这可以分别在 RtFCD和 Rt DEF 中利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到要证得结论，这一问是比较简单的，容易上手；第(2)题是改变图中BEF 的位置，将图 中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由这一问稍难，但仍还属于常规题型，证明的过程需要添加辅助线，通过证两次三角形的全等，借助于等量代换，得到 ；EGC第(3)题较难，能力要求较高如果从合情推理的角度出发，可以通过量一量、猜一猜的办法解决在解答时把最容易的第（1）小题的分数完全拿到，中等难度的第（2）小题力争拿到全分，最难的第（3）小题要争取得到一点分，这样就大大提高了获得数学高分的可能性另外，从评分标准可以看出，一定要重视分段得分.一道压轴题做不出来，不等于一点思路没有，要考虑各种可能由浅入深的分析，知道一步做一步.因此，对压轴题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平所以，我要大声疾呼：千万莫轻易向压轴题投降！2 还有其他解法吗下面再给出（2）的另外几种证法：证法三：过点 G 作 MNAD 交 AB 于 M，交 CD 于 N，GPAD 于 P，则BMG 与DNG 均是等腰直角三角形，四边形 MNCB 是矩形，四边形 PDNG 是正方形.所以 MG=BM=CN.由于 G 为 DF 的中点，所以 EM=AM=DN=GN,所以 RtEMGRtGNG ,FBA DCE图GFBA DCEGPN图 （三）M所以 EGC证法四：过 G 作 GMAD 交 AB 于 M，因为 EFAD ,DG=GF,所以 AM=ME，所以 GA=GE.因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AD=CD,GD=GD,AGD=CGD ，所以AGD CGD,所以 AG=CG.所以 EGC3 该压轴题能推广吗？将试题中“E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F”变换为“E 为直线BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交直线 BC 于 F”，可得：变式 1：已知正方形 ABCD 中，E 为直线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交直线 BC 于F，连接 DF， G 为 DF 中点，连接 EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，取 DF 中点 G，连接 EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将BEF 绕 B 点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？.将变式 1 中“将BEF 绕 B 点逆时针旋转 45”变换为“将BEF 绕 B 点顺时针旋转45”，可得：变式 2：已知正方形 ABCD 中，E 为直线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交直线 BC 于 F，连接DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将BEF 绕 B 点顺时针旋转 45，取 DF 中点 G，连接 EG，CG问（1）中的AB CDEFGAB CDEFGAB CDEFGFBA DCEGMN图 （四）结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将BEF 绕 B 点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？如果将条件“过 E 点作 EFBD 交直线 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接EG，CG ”变换为“过 E 点作 EFBC 交直线 BC 于 F，连接 DE，G 为 DE 中点，连接FG，CG ”可得：变式 3：已知正方形 ABCD 中，E 为直线 BD 上一点，过 E 点作 EFBC 交直线 BC 于 F，连接DE，G 为 DE 中点，连接 FG，CG （1）求证：FG=CG；（2）将BEF 绕 B 点顺（或逆）时针旋转 45，取 DE 中点 G，连接 FG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将BEF 绕 B 点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？由证法四，可得变式 4：如图，P 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（P 与 A、C 不重合） ，点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB.求证： PE=PD ； PEPD.若将条件“知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于F，连接 DF， G 为 DF 中点，连接 EG，CG ”变换为“知正方形 ABCD 中，P 为对角线AC 上一点，过 P 点作 PEBC 交 BC 于 E，PF CD 交 CD 于 F ”可得：变式 5：AB CDFGAB CAB CDEEF FGG如图 1，已知 P 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点(不与 A、C 重合)，PE BC 于点 E，PFCD 于点 F(1) 求证：BP=DP；(2) 如图 2，若四边形 PECF 绕点 C 旋转任意一个角度，在旋转过程中是否总有 BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形 ABCD 的两个顶点，分别与四边形 PECF 的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论4 能得到什么启示？（1）回归课本，夯实基础近年来中考数学有许多新题型，多数试题取材于教科书，试题的构成是在教科书中的例题、练习题、习题的基础上通过类比、加工改造、加强条件或减弱条件、延伸或扩展而成的，也就是说，教科书中的例题、练习题、习题为编拟中考数学试题提供了丰富的题源.所以，我们要回到教材，认真研究教材，发挥教材的示范作用.（2）注重过程，发展能力要亲身经历数学问题的提出过程、解决方法的探索过程、问题结论的深化过程、方法能力的迁移