白噪声simulink仿真研究

白噪声相关问题的 Simulink 仿真研究SQ10158115003 高旭东 航天学院6151816681前言对于一个实际系统而言，其测量信号常会受到噪声的干扰，在理论分析时常常用白噪声作为干扰信号，虽然理想的白噪声物理上并不存在，但由于白噪声在数学处理上具有简单方便的特点，所以在实际应用中占有重要的地位。实际上，当我们所研究的随机过程，在比所考虑的有用频带宽得多的范围内具有均匀的功率谱密度时，就可以把它当作白噪声来处理，而不会带来多大的误差。在完成这次作业的过程中，我利用 Simulink 对白噪声的相关特性进行了探究，共对 5 个小问题进行仿真实验，以期加深对白噪声的理解。基于当正弦信号通过线性系统时，其频率保持不变，而相位发生改变这样的事实，在实验中我采用的是一个单一频率的正弦信号，其它频率信号的响应可以类似地得到。所用正弦信号的相关参数如下图所示：信号频率为 1Hz，振幅为 1。叠加的白噪声信号参数为：均值为 0，方差为 1，服从高斯分布。图 1-1a 原始信号的参数 图 1-1b 白噪声信号的参数考虑到白噪声“均值为零，功率谱密度在整个频率轴上有非零常数” ，由于原信号是频率为 1Hz 的正弦信号，所以首先考虑用低通滤波器进行滤波，系统的完整结构图如下：图 1-2 Simulink 系统模型在上图中，右上角示波器的四个输入分别为原正弦信号、叠加了高斯白噪声的正弦信号、高斯白噪声以及通过滤波器之后的信号。2实验过程2.1 低通滤波低通滤波器的参数如下：8 阶 Butterworth 低通滤波器，截止频率 2Hz图 2-1 低通滤波器参数补充：滤波器的阶数1 阶 Butterworth 低通滤波器 2 阶 Butterworth 低通滤波器 8 阶 Butterworth 低通滤波器2.1.1 频域分析结果图 2-2a 原正弦信号的功率谱密度函数 图 2-2b 白噪声的功率谱密度函数图 2-2c 叠加后信号的功率谱密度函数 图 2-2d 滤波后信号的功率谱密度函数2.1.2 时域分析从上到下，依次为：原正弦信号、叠加了高斯白噪声的正弦信号、高斯白噪声以及低通滤波之后的信号。图 2-3 时域响应图 从图上可以看出滤波之后的信号大致恢复了原来的信号，但可以较明显地看出在原来的正弦信号之上还叠加有低频信号，初步考虑之后认为，低通滤波器虽然滤除了信号的高频部分，但白噪声的功率谱密度在整个频率轴上都有非零常数，于是自然想到利用带通滤波器可以得到更好的滤波效果，以下为了简化，作图时只研究未加噪声的原始信号和滤波后的信号。2.2 带通滤波带通滤波器的参数如下图所示：图 2-4 带通滤波器参数图 2-4 低通与带通滤波器结果对比为了进行对比，这里给出低通滤波的放大结果。从图上可以直观地看出，带通滤波器的滤波效果优于低通滤波器，但其不足在于动态响应特性不如低通滤波器。2.3 真实白噪声与理想白噪声白噪声是一种不自相关的随机过程，我们可以这样理解，由于白噪声是不自相关的，其组成一定是大量无限窄的彼此独立的脉冲的随机组合。下图是其示意图图 2-5 理想白噪声示意图而对于实际的随机过程而言，在非常邻近的两个时刻的状态总会存在一定的相关性，也就是说其相关函数不可能是一个严格的 函数。回顾以上实验中所用的白噪声信号。对红色区域放大显示图 2-6 Simulink 仿真中产生的白噪声从上图可以看出，实验中使用的白噪声实际上并不是理想白噪声，为了更加接近理想白噪声，可以对产生白噪声的参数进行调整结合上两幅图，容易看到，如果改变 Sample time，则得到的信号可以更加接近白噪声。2.4 白噪声对系统基本频率的影响由于滤波不可能完全滤除除信号之外的全部噪声，其它频率的噪声叠加在信号之上会改变原信号的频率。以下用实验证实这个猜想。对示波器的显示结果进行缩放，可以确定出这两个未知的时间，结果如下：由上图可以看出滤波后的信号因为依然含有其它频率的噪声，使得其频率不再为 1Hz。至于为什么会想到这点，从数学的角度来看并不困难，周期函数可以展开成傅里叶级数，那么不同频率的谐波叠加之后自然可以产生不同的波形，而我之所以有这个疑问是因为受到另一门课程应用非线性动力学的启发，主要是看到了二次非线性系统的自由振动的精确解、零次解以及一次解的关系而想到的。补充：二次非线性系统的自由振动问题。2.5 非线性系统中的白噪声线性系统结构图如下所示，这是一个二阶非线性振动系统，初始条件为 s=1（表示位置）, sd=0.1（表示速度） ，弹簧的非线性回复力为 ln(s)，这个系统不是从实际物理系统建模而得到的，这里仅仅是将其作为一个普通的非线性系统来进行一些理论上的分析。在图中，黄色区域是一个手动转换器，用来选择在仿真过程中是否要加入白噪声，绿色部分是一非线性函数运算模块。2.5.1 未添加白噪声时图 2-7 非线性系统结构图图 2-8 原始非线性系统相图及时域响应曲线2.5.2 添加白噪声之后图 2-9 非线性系统相图及时域响应曲线(仿真时间 50s)图 2-10 非线性系统相图及时域响应曲线(仿真时间 100s)图 2-11 非线性系统相图及时域响应曲线(仿真时间 500s)由图 2-9图 2-11 可以看出，白噪声的引入使系统的解不再规则，从相图上可以看出其有随机特征，但长时间的仿真结果表明，系统的周期解也具有一定的规律性，从而猜想利用白噪声可以有助于发现系统的周期轨道簇，并有助于判断周期轨道的稳定性。3. 结论对于系统中的白噪声，如果利用模拟滤波器进行滤波，则在已知原系统频率的基础上，利用带通滤波器的效果会比低通滤波器好，Simulink 中