第01章 平面连杆机构的运动分析

封面机构分析与综合的解张纪元编著二 七年八月上海海事大学研究生重点课程机构分析与综合机构分析与综合的解张纪元编著人民交通出版社二 七年八月 机构分析与综合的解第一章 平面连杆机构的运动分析 第二章 空间连杆机构的运动分析 第三章 机械手的位姿分析 第四章 机构的运动误差分析 第五章 机构的动力分析 第六章 平面机构的平衡第七章 机器人机构的动力分析 第八章 平面凸轮机构的设计与反求设计 第九章 机构的运动综合 附录 非线性代数方程组的求解方法 第一章 平面连杆机构的运动分析1 1 坐标变换及坐标变换矩阵在对机构进行分析与综合时，需要用到各种各样的坐标变换。本节概述各种常用的坐标变换关系 。一、共原点笛卡儿坐标系间的旋转变换1、任意两坐标系间的旋转变换矩阵如图 1-1所示， 和 为两共原点的笛卡儿坐标系。设 M点在两坐标系的坐标列阵分别为 和 若以 、和 表示坐标轴 、 和 （ l=1,2）上的单位矢量，则 M点的向径 可表示为：图 1-1分别以 、和 点乘上式，则可得： 若以两坐标轴间的方向余弦表示上式中相应的两单位矢量的点积，则上式可用矩阵表示为： （ 1-1）上式可简记为： （ 1-2）其中， 代表式（ 1-1）中的（ 33）矩阵，称为坐标系 到坐标系 的旋转变换矩阵。由 、和 （ l=1,2）为互相正交的单位矢量及方向余弦的定义，易知旋转变换矩阵 为一正交矩阵。因此，坐标系 到坐标系 的旋转变换矩阵。即：（ 1-3）2、绕坐标轴的旋转变换矩阵1）绕 x轴的旋转变换矩阵如图 1-2所示，设坐标系 是将坐标系 绕 x轴旋转角而得，即对着 x轴的正向看，将 平面沿逆时针方向绕 x轴旋转角 ，得 平面。根据式（ 1-2），易知式中， 和 分别是任一点 M在 坐标系和坐标系 中的坐标列阵， 为绕 x轴转 角后从新坐标系 到老坐标系 的旋转变换矩阵，其表达式为：2）绕 y轴的旋转变换矩阵如图 1-3所示，若将 坐标系绕其 y轴旋转 角，得新坐标系 ，仿上可得绕 y轴转 角后，从新坐标系 到老坐标系 的旋转变换矩阵 ，其表达式为（ 1-4）图 1-2图 1-3（ 1-5）3）绕 z轴的旋转变换矩阵如图 1-4所示，若将坐标系 绕其 z轴旋转 角，得新坐标系 ，则新坐标系 到老坐标系 的旋转变换矩阵为(1-6)图 1-4图 1-53、以欧拉角表示的旋转变换矩阵如图 1-5所示，设坐标平面 与 的交线（即节线）为 ON。对着轴正向看，在 平面内轴 沿逆时针方向转到与节线 ON重合时的角度 称为进动角；对着节线 ON的正向看，在 平面内 轴 沿逆时针方向转到与轴 重合时的角度 称为章动角；对着 轴正向看，在 平面内节线 ON沿逆时针方向转到与轴 重合时的角度 称为自转角。 、 和 统称为坐标系 对坐标系 的三个欧拉角。将坐标系 依次作三个运动：绕 轴转 角、绕节 ON线转 角和绕 轴转 角即得坐标系 。因此，可得欧拉角表示的旋转变换矩阵 的表达式为其中， 中的各元素为：（ 1-7）（ 1-8）根据上式，若已知欧拉角 、和 ，则可求得旋转变换矩阵 ；若已知 ，则可进一步求得坐标系 对坐标系 的三个欧拉角 、 和 。应当指出的是：由于一个矢量有其起点和终点，因此一个矢量的坐标表达式仅与坐标轴的方向有关，而与坐标系的原点无关。也即：矢量的坐标变换，只需用到旋转变换矩阵。二、不共原点笛卡儿坐标系间的坐标变换如图 1 6所示，设 M点在坐标系 和 中的坐标列阵分别为 和 ，原点 在坐标系 中的坐标列阵为 ，坐标系 到坐标系 的旋转变换矩阵为 ；若以 为原点，引进与 平行的坐标系 ；则M点在 坐标系中的坐标列阵为 因 ，故得： 图 1-6（ 1-9）例 1.1 图 1 7所示的楔块为一五面体，其 6个顶点 在与楔块相固联的坐标系 中的坐标如图所示。在楔块未运动时，楔块坐标系 与固定坐标系 相重合。若将楔块先绕 轴转 ，然后再绕 轴转 ，最后沿 轴正向平移 4个单位。求经上述 3个运动后，楔块 6个顶点 在固定坐标系 中的坐标。解 ：经 2个转动后的楔块坐标系 的位置分别记为 和 ，则由式（ 1 6）和式（ 1 4）知，相邻两坐标系间的旋转变换矩阵分别为：图 1-7楔块沿 （即 ）轴正向平移 4个单位后，原点 在固定坐标系 中的坐标为 。因此由式（ 1 9）知，经 3个运动后的楔块坐标系 到固定坐标系 的坐标变换矩阵为：即以楔块 6个顶点 在楔块坐标系 中的坐标代入上式，即得所求：三、齐次坐标及其变换1、齐次坐标不同时为零的任意四个数 称为三维空间点的齐次坐标。一个点的齐次坐标 与该点的直角坐标 间的关系为：（ 1-10）关于齐次坐标，下面几点值得注意：1）齐次坐标不是单值的。只要 ，齐次坐标 和 均表示三维空间中的同一个点。2）只有当 时，齐次坐标 才能确定三维空间中的一个点。3）原点的齐次坐标为 ；而 、 和 分别表示 Ox轴、 Oy轴和 Oz轴上的无穷远点，也即表示 Ox轴、 Oy轴和 Oz轴。4）为简便起见，在机构学中，一个点的齐次坐标的第 4个分量特取为 ，于是点 的齐次坐标为 。5）一个矢量的齐次坐标的第 4个分量为 ；即三维矢量 的齐次坐标为 。这是因为一个矢量的齐次坐标是其终点和起点的齐次坐标之差的原因。2、齐次坐标变换矩阵参见图 1-6，若记 M点在坐标系 和中的齐次坐标分别 为 和，则根据式（ 1-9）可得：式中，称为坐标系 到坐标系 的齐次坐标变换矩阵。 为一个（ 44）非奇异矩阵。其（ 33）的主子矩阵为式（ 1-1）中的旋转变换矩阵 ，而第 4列实为原点 对坐标系 的齐次坐标列阵。（ 1 11） （ 1-12） 易知，坐标系 到坐标系 的齐次坐标变换矩阵为即：3、 D-H矩阵在空间机构的分析与综合中，广泛地应用着一种特殊的齐次坐标变换矩阵，即 D-H矩阵。图 1-8所示的二个坐标系的配置特点是： 轴是 轴和 轴的公垂线， 和 是二个垂足。为表达两坐标系间的齐次坐标变换关系，需用到 4个参数： 、 、 和 。它们的含意为：（ 1-13）（ 1-14） 图 1-8 轴到 轴的有向距离， ；当有向线段 的方向与 轴正向相同时， 为正值；反之，为负值； 轴到 轴的有向夹角；即对着 轴正向看， 轴绕 轴沿逆时针方向转到与 轴平行时的角度； 轴到 轴的有向距离， ；当有向线段 的方向与 轴正向相同时， 为正值；反之， 为负值； 轴到 轴的有向夹角；即对着 轴正向看， 轴绕轴沿逆时针方向转到与 轴平行时的角度。在上述 4个参数中， 和 描述了异面轴线 和 的几何关系，而 和 则描述了异面轴线 和 的几何关系。根据 4个参数的定义，坐标系 （ 轴略画，由右手法则定，下同）可视作坐标 系 经二个螺旋运动所得。一个是 轴沿 轴的螺旋运动（ ， ）；另一个是 轴沿 轴的螺旋运动（ ， ）。因此，坐标系 到坐标系 的齐次坐标变换矩阵为展开上式，可得：(1-15)式中， 是 中的（ 33）主子矩阵，也即 j坐标系到 i坐标系的旋转变换矩阵；而 为原点 在 i坐标系中的坐标列阵。(1-16)由式（ 1-13）易知， i 坐标系到 j 坐标系的齐次坐标变换矩阵 (D-H矩阵 )为：(1-17)四、刚体作空间运动时的位移矩阵在进行空间机构的刚体导引综合时，必然要涉及到刚体空间位置间的位移描述。如图 1-9所示，当刚体从位置 1运动到位置 j时，刚体上的两点 P和 Q分别从 P1、 Q1运动到 Pj、 Qj位置。 设 为固定参考系（简称为 0坐标系），与刚体相固联的某一动坐标系在位置 1时处于 位置（简称为 1坐标系）；在位置 j时处于 位置（简称为 j坐标系）；并设 1坐标系和 0坐标系平行。若以 表示 j坐标系到 i坐标系的旋转变换矩阵， 为正交矩阵，其中， C01=C10=I（单位矩阵）； 以 和 表示点 和 在 k坐标系中的坐标列阵，因 ，于是有：根据刚体的性质知： 代入上式，可得：(1-18)若以齐次坐标表示上式，则得：(1-19)其中，(1-20)图 1-9称为刚体从位置 1移动到位置 j的位移矩阵。此处， 并不表示 1坐标系到 j坐标系的 D H矩阵。而是在已知 、 、和 j坐标系到 1坐标系的旋转变换矩阵 的条件下，根据式（1-19）可计算得刚体内任一点 Q运动到 j位置时的位置坐标列阵 。五、绕任意轴转动的坐标变换矩阵如图 1-10所示，当一矢量 绕轴 转 角后，到达 位置；其中，为转轴上的单位矢量， 为对着 的正向看， 绕 沿逆时针方向转过的角度；现求 的表达式。若分别以 ， 和 为坐标轴正向，建立图示的坐标系 ，并 设的模为 r， 和 的夹角为 ，则 、 和 轴上的各单位矢量分别为：图 1 10 易知， 在 坐标系中的坐标为 于是，将 i、 j和 k的表达式代入上式，整理可得：(1-21)上式是 关于 、 和 的矢量表达式。为求 的坐标表达式，设在某个坐标系中， 的坐标列阵为 ，单位矢量的坐标列阵为 ，则由式（ 1-21）可得 的坐标列阵 为(1-22)式中， 是 坐标的反对称矩阵， 为转动坐标变换矩阵；（ 1-23）展开式（ 1-22），可得 的三个坐标分别为（ 1-24）比较式（ 1-22）和式（ 1-24），易知转动坐标变换矩阵为（ 1-25）从式（ 1-22）知，只要将一个矢量转动前的坐标列阵 左乘转动坐标变换矩阵 后，即得转动后的矢量在同一坐标系中的坐标列阵 。1 2 封闭向量多边形法平面机构运动分析的解析方法有封闭向量多边形法、复数法和矩阵法等，但最常用的方法是封闭向量多边形法和复数法。本节重点介绍封闭向量多边形法。平面机构在其任一确定的运动位置，其构形为一封闭的平面几何图形。在排除了虚约束和局部自由度后，根据独立封闭形建立的位置方程个数恰好等于平面机构中待定的位置变量个数，求解机构的位置方程组，可得从动件的位置，进而可进行速度和加速度分析。这就是平面机构运动分析的基本原理。一、独立封闭形个数在根据机构示意图选出的 k个封闭形中，若 k=1，则该封闭形是独立的；若 k=2，如果在第 2个封闭形中，出现第 1个封闭形中未出现的新构件，则称此 2个封闭形是相互独立的；否则 ,独立封闭形个数仍为 1；一般地，设已得 i个独立封闭形，如果在一个未经判断的封闭形中，出现前 i个独立封闭形中未出现的新构件则此 i 1个封闭形为互相独立的封闭形；由此可在个封闭形中挑选出机构的一组独立封闭形。设其包含的独立封闭形个数为 l，则根据图论中的欧拉公式可知（ 1-26）式中， p为机构的运动副个数， N为机构中的构件总数。二、用封闭向量多边形法建立机构的位置方程组封闭向量多边形法建立平面机构位置方程组的主要步骤如下：1）取定与机架固联的直角坐标系（一般只画 x轴， y轴由右手法则定）；用矢量代表构件或封闭形的边（若构件为连架杆，则其代表矢量起自机架）；标注各矢量的位置角（为 x轴正向沿逆时针方向转到与该矢量指向相一致时的角度）；2）针对每个独立封闭形，写出 l个矢量封闭方程；3）将每个矢量封闭方程向 x轴和 y轴投影，可得由 2l个方程组成的机构位置方程组。三、机构位置方程组的求解1、三角函数的有理化机构的位置方程组是一非线性代数方程组。其解法有牛顿迭代法、区间分析法、同伦法和消元法等。机构位置方程组中含有三角函数，为将其化成多项式方程组，以便用区间分析法、同伦法或消元法求解，必须对三角函数有理化。三角函数有理化的方法主要有以下二种：1）半角正切法令 ，则(1-20)因为 ，故在对 、 替代后，可消去分母 ，从而把机构位置方程组化成一个多项式方程组。半角正切法不增加变量个数，但所得多项式方程组复杂，且容易引起增根。2）补充方程法令 ， （ 为第 j个角变量），再补充一个方程：(1-28)故在对机构位置方程组中的 、 替代后，连同补充方程一起构成一个多项式方程组。补充方程法需增加变量个数，但所得多项式方程组较简单，而且不易引起增根。实算表明，补充方程法更易成功。2、三角方程的求解求解机构位置方程组时，常需求解下列三角方程：(1-29)此时，可用半角正切法求解。令 ，并将式（ 1-27）代入方程（ 1-29），消去分母 ，整理可得： 其解为(1-30)式中的 “ ”号应根据机构的装配构形确定。在求得 x后，可由下式确定 ：(1-31)需注意的是： 的值应根据点 所在象限定。在FORTRAN语言或 C语言中，可调用内部函数确定四、平面连杆机构的速度和加速度分析1、速度分析设平面机构的位置方程组为(1-32)式中， 为 n维向量值函数， 表示 n个待定的位置变量， 是 F个输入运动参数 (即已知的原动件位置量 )。将机构位置方程组（ 1-32）对时间 t求导，并注意原动件位置 可得：(1-33)上式可用矩阵表示为： (1-34)式中， 的 对 的雅可比矩阵； 的未知的从动件速度列阵； 的系数矩阵； 的已知的原动件速度列阵。(1-35)(1-36)