简单的线性规划2

第 1 页 共 9 页简单的线性规划一. 考纲要求：了解用二元一次不等式表示平面区域及简单的线性规划二. 重点、难点：1. 用二元一次不等式表示平面区域2. 准确理解：（线性）约束条件， （线性）目标函数，可行解，可行域，最优解 三近年考点分析：简单线性规划考法相对稳定，主要是以填选题为主，08 年开始在大题中有所体现。其考查方式主要集中在以下几个方面：根据约束条件：求最值 ； 求面积； 求值域；斜 率 的 最 值二 元 整 式 的 最 值求整数解； 求参数； 简单运用。四知识点回顾：1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线 Ax+By+C=0，坐标平面内的点 P（x 0，y 0）.B0 时，Ax 0+By0+C0，则点 P（x 0，y 0）在直线的上方；Ax 0+By0+C0，则点 P（ x0，y 0）在直线的下方 .对于任意的二元一次不等式 Ax+By+C0（或0） ，无论 B 为正值还是负值，我们都可以把 y 项的系数变形为正数.当 B0 时， Ax+By+C0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域； Ax+By+C0 表示直线 Ax+By+C=0 下方的区域.2. 线性规划：（1）约束条件、线性约束条件：变量 x、y 满足的一组条件叫做对变量 x、y 的约束条件，若约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，则约束条件又称为线性的约束条件。（2）目标函数、线性目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，叫做目标函数。若解析式是 x、y 的一次解析式，则目标函数又称线性目标函数。（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。（4）可行域：满足线性约束条件的解（x、y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。（5）最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的解，叫做这个问题的最优解。3.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量 x、y；（2）找出线性约束条件；第 2 页 共 9 页0 xy（3）确定线性目标函数 z=f（x，y ） ；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域） ；（5）利用线性目标函数作平行直线系 f（x ，y）=t（t 为参数） ；（6）观察图形，找到直线 f（ x，y）=t 在可行域上使 t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.五考点演练：1例 1：已知 x,y 满足约束条件 xy41（1） 求 x 2y 的最值；解：设 Z=x2y，则 y= ,易知直z21线过点（1，1）时 Z 有最大值-1，过点（1，3）时 Z 有最小值-5. 引申：求 的最大值（答案：3） 42yx（2） 求 x2+y2 的最值；max=10,minx=2 图 1解：Z= x2+y2 表示区域内的点到点 O（0，0）的距离的平方，显然Zmax=(1-0)2+(3-0)2=10, Zmin=(10) 2+(10) 2=2.引申：求（x+1） 2+(y-2)2-3 的最小值；(答案：1)求点（2，-1）到平面区域的最小距离。 (答案： )5（3） 求 的取值范围； xy解：Z= 表示过原点和区域内的点的直线的斜率的范围。Z 1,3引申：求 的取值范围。132xy（提示：Z= ，则 Z 3，5）1)(xy（4） 求平面区域的面积；解：S= (31)1=12引申 1：已知函数 ，且 ，),)的 定 义 域 为xf 1)2(4ff的导函数，函数 的图象如图 2 所示. )(xf为 (fy第 3 页 共 9 页则平面区域 所围成的面积是( )1)2(0yxfA2 B4 C 5 D8 解析：考查函数与导函数的关系，函数单调性及线性规划等知识。答案：B 引申 2: (09 安徽) 若不等式组034xy所表示的平面区域被直线 43ykx分为面积相等的两部分，则 k的值是( ) （A） 73 （B） 7 （C） 3 （D） 34 解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由 4xy得 A（1，1） ，又 B（0，4） ，C（0， ） SABC=1()23，设 3ykx与 34xy的交点为 D，则由2BCDS知 D， 5y 147,k选 A。 （5） 求平面区域内的整点个数；4解:平面区域内的整点有 (1,1),(1,2),(1,3),(2,2),共 4 个点.（6） 当 a 1 时，求函数 f(x,y)=y-ax 的最值；解:当-11 时， 过点（1，3）时 fmax=3-a , 过点（2，2）时 fmin=2-2a(7).若在区域内有无数个点（x,y）可使 Z=x+my 取得最大值，则 m= 解:据题意,目标函数所表示的直线应与区域的边界重合,故 m=1.（8） 若点（a，b）在以上平面区域内，则点(2a-b,a+3b)到原点的最小距离是 。解：点（a，b） ， ，令Dab417232xybayxBAxDyCOy=kx+第 4 页 共 9 页 从而转化为常规解法。283047yx例 2：线形规划思想的运用 在一个居民小区内设计一个边长为 5 米的菱形喷水池，规划者要求：菱形的一条对角线长不大于 6 米，另一条对角线长不小于 6 米。试问该菱形喷水池的两条对角线的长度之和的最大值为多少米？ 解:设两对角线的长度分别为 a,b，则 a,b 应满足约束条件：求 a+b 的最大值。由线性规划知识易得 a+b 的最大值为 14 米。25602ba例 3： （2007 年湖南卷理 14 题）设集合 ，则 BAbxyBxyA,21,（1） 的取值范围是 ；b（2）若 ，且 的最大值为 9，则 的值是 ()x， 答案：（1） （2）)，解析：（1）作出图象可知 的取值范围是b1).，（2）若 令 t= ，则在（0，b）处取得最大值，,xyAB2xy所以 0+2b=9，所以 b= .92跟踪练习：(1).设 fxabx()2，且 1214ff()()， ，则 的取值范围是 .(2).已知实数 x，y 满足 ，则 y-3x 的最小值为 ；012yx第 5 页 共 9 页（3）.实系数方程 x2+(a+1)x+a+b+1=0 的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则 的取值范围是 ； ab姊妹题：已知 是三次函数 f(x)= 的两个极值点，且, bxax2130 则 的取值范围是 .,21Rba(4)已知点 A（ 2，1）和 B（3 ， ）在直线 l： 0cyx的两侧，则实数 c的取值范围是 。(5). (2009 湖北 ) 在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇，现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙型货车运输费用 300 元，可装洗衣机 10 台。若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A.2000 元 B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元(6). 已知集合 1|),(yxM， 0)(|),(xyxN，NP，则 P的面积为 。(7). （08 山东卷 12）设二元一次不等式组 所表示的平面区域0142,89yx，为 M，使函数 y ax(a0， a1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是( )（A）1,3 (B)2, (C)2,9 (D) ,91(8). （08 陕西卷 10）已知实数 满足 如果目标函数 的xy， 12xm ， ， zxy最小值为 ，则实数 等于（ ）1mA7 B5 C4 D3(9). （08 安徽 15）若 为不等式组 表示的平面区域，则当 从2 连A02xya续变化到 1 时，动直线 扫过 中的那部分区域面积为 xya第 6 页 共 9 页(10). （08 浙江卷 17）若 ，且当 时，恒有 ，0,ba1,0yx1byax则以 ,b 为坐标点 P（ ，b）所形成的平面区域的面积等于_。a（11）m 若 ，,R25),(,352)( yxmyx且则 m 的范围为 。(12) 已知集合 A= ，BARykxB若其 中 ,2),(,1),(2则实数 k 的取值范围是 。（13）已知 如果一个线性规划问题的可行域是 边0,5,AxyCC界及其内部，线性目标函数 ，在 B 处取得最小值 3，在 C 处取得最大值zaxby12，则下列关系一定成立的是 （ ） A、 B、 C、 D、012axby03012axby03axby（14）设 ， ，则满足条件 ，(,)OM(,1)NOPM的动点 P 的变化范围（图中阴影部分含边界）是（ ）1PA B C D （15）设 p: ,(x、yR),q:x 2+y2r2(x、y R,r0),若非 q 是非 p43120xy的充分不必要条件,则 r 的取值范围是_.（16）已知不等式组 表示的平面区域面积是 f(a),则2,04axyf(a)的图象可能是( )A B C D2xxxyyyy0 001 11122xxxxyyyy0000第 7 页 共 9 页(17)(09 湖南) 已知 D 是由不等式组 203xy，所确定的平面区域，则圆 24xy在区域 D 内的弧长为 ( ) A B 2 C 4 D 2(18)(09 年山东 )设 x，y 满足约束条件 ，若目标函数0,263yxz=ax+by（a0 ，b0）的是最大值为 12，则 的最小值为( ). abA. B. C. D. 46253831（19）.(08 年四川文) 设函数 。2()fxx（）求 的单调区间和极值；(fx（）若当 ， ，求 的最大值。1,23()3afxbab（理）设函数 f(x) = （）求 的单调区间和极值；x（）对任意的 x ， ，求 的最大值。R()fx（20） （2009 全国卷理） 设函数 32fbc在两个极值点 12x、 ，且 120,1,.x，（I）求 c、 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点,b的区域；(II)证明： 2110fx跟踪练习参考答案:1. -1,10 2. ,提示: 作出图形,对 f(x)=x2 求导，用 f (x)=3 或解方程组49第 8 页 共 9 页，=0 可求切点，再代如 y=3x+z 即可。3. (-2, )，( ,1)zxy32 2144.（-12，-1 ） 5.B，解析: 设甲型货车使用 x 辆，已型货车 y 辆.则048210y,求 Z=400x+300y 最小值.可求出最优解为（4，2）故min. 6. 1 7.C8. B 9. , 10.1 11. 12. 13.C 14.A 15. （0， 7434,03,51216.C 17.B 18.A 解析:作出不等式表示的平面区域 ,当直线 ax+by= z（a0，b0）过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时,目标函数 z=ax+by（a0，b0）取得最大 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而 = ,2ab132()()66aba【命题立意】:本题综合考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题. 19. 解： （文科） ()略。 （ ）根据（）及 ， 在 的最(),24ff()fx1,大值为 4，最小值为 1，因此，当 时， 的充要条件是1,2x3axb，即 满足约束条件 ，根据线性规划的知识可求得3ab,43ab的最大值为 7.(理科)（） 当 时， ；当 时，2()1)xf(2,)x(0fx(,2)(1,，所以函数 在 单调增加，在 ， 单调减少。0fx(f,),2),的极小值为 ，极大值为 。()12)(1)f（）由 0，又因为2()()(xfxf第 9 页 共 9 页，所以 ，所以 的最大值0)(;0)(xxfxf时 ，时 ， 1()2fx()fx为 1，最小值为 .因此，对一切 的充要条件是12,33Rab，即 满足约束条件33ab,a132ab根据线性规