简单的线性规划3

xyo 线性规划的简单应用 使 z=2x+y取得 最大值 的可行解为 ，且最大值为 ；复习引入1.已知二元一次不等式组 x-y0x+y-10y-1（ 1）画出不等式组所表示的平面区域；满足 的 解 (x,y)都叫做 可行解 ；z=2x+y 叫做 ；（ 2）设 z=2x+y， 则式中变量 x,y满足的二元一次不等式组叫做 x,y的 ；y=-1x-y=0x+y=12x+y=0返回(-1,-1)(2,-1)使 z=2x+y取得 最小值 的可行解 ，且最小值为 ；这两个 最值 都叫做问题的 。线性约束条件线性目标函数线性约束条件(2,-1)(-1,-1)3-3最优解xy011例题分析1:某工厂生产甲、乙两种产品 .已知生产 甲 种产品 1t需消耗A种矿石 10t、 B种矿石 5t、煤 4t； 生产 乙 种产品 1吨需消耗 A种矿石 4t、 B种矿石 4t、煤 9t.每 1t甲种产品的利润是 600元 ,每 1t乙种产品的利润是 1000元 .工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A种矿石不超过 300t、 消耗 B种矿石不超过200t、 消耗煤不超过 360t.甲、乙两种产品应各生产多少 (精确到 0.1t),能使利润总额达到最大 ?甲 产 品（ 1t）乙 产 品（ 1t）资 源限 额（ t）A种 矿 石（ t） B种 矿 石（ t） 煤（ t） 利 润 （元） 产品消耗量资源列表 ：51046004491000300200360设生产甲、乙两种产品 .分别为 x t、 yt,利润总额为 z元例题分析甲 产 品（ 1t）乙 产 品（ 1t）资 源限 额（ t）A种 矿 石（ t） B种 矿 石（ t） 煤（ t） 利 润 （元） 产品消耗量资源列表 ：51046004491000300200360把题中限制条件进行 转化：约束条件10x+4y3005x+4y2004x+9y360x0y 0z=600x+1000y. 目标函数：设生产甲、乙两种产品 .分别为 x t、 yt,利润总额为 z元xt yt例题分析解 :设生产甲、乙两种产品 .分别为 x t、 yt,利润总额为 z=600x+1000y. 元 ,那么 10x+4y3005x+4y2004x+9y360x0y 0z=600x+1000y.作出以上不等式组所表示的可行域作出一组平行直线 600x+1000y=t，解得 交点 M的坐标为 (12.4,34.4)5x+4y=2004x+9y=360由 10x+4y=3005x+4y=2004x+9y=360600x+1000y=0M答 :应生产甲产品约 12.4吨， 乙产品 34.4吨， 能使利润总额达到最大。(12.4,34.4)经过可行域上的点 M时 ,目标函数在 y轴上截距最大 .9030 0 xy10 201075405040此时 z=600x+1000y取得最大值 .例题分析2 要将两种大小不同规格的钢板截成 A、 B、 C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ： 解： 设需截第一种钢板 x张，第一种钢板 y张，则 规格类型钢板类型第一种钢板第二种钢板A规格 B规格 C规格21 21312x+y15,x+2y18,x+3y27,x0y0 作出可行域（ 如图 ）目标函数为 z=x+y今需要 A,B,C三种规格的成品分别为 15， 18， 27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。X张y张例题分析x0y2x+y=15 x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, x Ny0 y N直线 x+y=12经过的 整点是 B(3,9)和 C(4,8)， 它们是最优解 . 作出一组平行直线 z=x+y，目标函数 z= x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)当直线经过点 A时 z=x+y=11.4,x+y=12解得交点 B,C的坐标 B(3,9)和 C(4,8)调整优值法2 4 6 18128 2724681015但它不是最优整数解 . 作直线 x+y=12答（略）例题分析x0y2x+y=15 x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, x N*y0 y N*经过可行域内的整点 B(3,9)和 C(4,8)时， t=x+y=12是最优解 .答 :(略 )作出一组平行直线 t = x+y，目标函数 t = x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法在可行域内打出网格线，当直线经过点 A时 t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，将直线 x+y=11.4继续向上平移 ，121218 2715978不等式组 表示的平面区域内的 整数点 共有（ ）个巩固练习 1:1 2 3 4 xy432104x+3y=12在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一般方法是：1.若区域 “顶点 ”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）2.若区域 “顶点 ”不是整点或不包括边界时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值 Z， 然后在可行域内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与 Z最 接近，在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解解线性规划应用问题的一般步骤 ：2）设好变元并列出不等式组和目标函数3） 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；4） 在可行域内求目标函数的最优解1）理清题意，列出表格：5)还原成实际问题 (准确作图，准确计算 )咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉 9g 、 咖啡 4g、糖 3g,乙种饮料每杯含奶粉 4g 、 咖啡 5g、糖 10g 已知每天原料的使用限额为奶粉 3600g ， 咖啡 2000g 糖 3000g,如果甲种饮料每杯能获利 0.7元，乙种饮料每杯能获利 1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大 ？ 解：将已知数据列为下表：消耗量资源甲产品（1 杯）乙产品 (1杯 )资源限额（ g）奶粉（ g） 9 4 3600咖啡 (g) 4 5 2000糖 (g) 3 10 3000利润（元） 0.7 1.2 产品设每天应配制甲种饮料 x杯，乙种饮料 y杯，则作出可行域：目标函数为： z =0.7x +1.2y作直线 l:0.7x+1.2y=0，把直线 l向右上方平移至 l1的位置时，直线经过可行域上的点 C， 且与原点距离最大，此时 z =0.7x +1.2y取最大值解方程组 得点 C的坐标为（ 200， 240）_0_9 x + 4 y = 3600_C (200 ,240 )_4 x + 5 y = 2000_3 x + 10 y= 3000_7 x + 12 y = 0_400_400_300_500 _1000_900_0 _x_y二元一次不等式表示平面区域直线定界，特殊点定域简单的线性规划约束条件目标函数可行解可行域最优解应用求解方法：画、移、求、答练习巩固1.某家具厂有方木材 90m3， 木工板 600m3， 准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料 0.1m3、 木工板 2m3； 生产每个书橱需要方木料 0.2m3， 木工板1m3， 出售一张书桌可以获利 80元，出售一张书橱可以获利 120元；（ 1）怎样安排生产可以获利最大？（ 2）若只生产书桌可以获利多少？（ 3）若只生产书橱可以获利多少？由上表可知：（ 1）只生产书桌，用完 木工 板了，可生产书桌 6002=300张 ,可获利润 :80300=24000元 ,但木料没有用完 （ 2）只生产书橱，用完方木料，可生产书橱 900.2=450 张 ,可获利润 120450=54000元 ,但 木工 板没有用完产品 资源 书桌（张） 书橱（张） 资源限额m 3方木料 m 3 0 1 0 2 90 木工板 m 3 2 1 600利润 （元） 80 120分析：xy02x+y-600=0300600x+2y-900=0A(100,400)1.某家具厂有方木材 90m3， 木工板 600m3， 准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料 0.1m3、 木工板 2m3； 生产每个书橱需要方木料 0.2m3， 木工板 1m3， 出售一张书桌可以获利 80元，出售一张书橱可以获利 120元；（ 1）怎样安排生产可以获利最大？（ 2）若只生产书桌可以获利多少？（ 3）若只生产书橱可以获利多少？（ 1）设生产书桌 x张，书橱 y张，利润为 z元， 则约束条件为 0.1x+0.2y902x+y600x， yN *Z=80x+120y作出不等式表示的平面区域，当生产 100张书桌， 400张书橱时利润最大为z=80100+120400=56000元（ 2）若只生产书桌可以生产 300张，用完木工板，可获利 24000元；（ 3）若只生产书橱可以生产 450张，用完方木料，可获利 54000元。将直线 z=80x+120y平移可知：900450求解：Xy0 84x=8y=47654321321x+y=104x+5y=30320x+504y=02.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送 180吨支援物资的任务，该公司有 8辆载重量为 6吨的 A型卡车和 4辆载重量为 10吨的 B型卡车，有 10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为 A型卡车4次， B型卡车 3次，每辆卡车每天往返的成本费 A型卡车为 320元， B型卡车为 504元，问如何安排车辆才能使该公司所花的成本费最低，最低为多少元？ (要求每型卡车至少安排一辆）解： 设每天调出的 A型车 x辆， B型车 y辆，公司所花的费用为 z元，则 x8y4x+y10x,y N*4x+5y30Z=320x+504y作出可行域中的整点，可行域中的整点（ 5， 2）