第2章自动控制系统的数学模型

第二章 控制系统的数学模型 2.1 建立动态微分方程 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 系统动态结构图 2.5 系统的传递函数 2.6 信号流图1数学模型 是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。 静态条件下系统变量间的代数方程。静态条件下系统变量间的代数方程。系统变量各阶导数间的微分方程。系统变量各阶导数间的微分方程。深入了解元件及系统的静态和动态特性，准确建立它们的深入了解元件及系统的静态和动态特性，准确建立它们的数学模型。数学模型。静态数学模型：静态数学模型：动态数学模型：动态数学模型：建模：建模：数学模型的几种表示方式数学模型的几种表示方式时时 (间间 )域模型：域模型： 微分方程、差分方程、状态空间表达式微分方程、差分方程、状态空间表达式频频 (率率 )域模型：域模型：复域模型复域模型 : 传递函数、动态结构图、信号流图传递函数、动态结构图、信号流图 频率特性频率特性 2数学分析法：数学分析法： 用微分方程的求解、分析系统的方法。用微分方程的求解、分析系统的方法。工程分析法：工程分析法： 把用传递函数、频率特性求解、分析系统的方法。把用传递函数、频率特性求解、分析系统的方法。3建立控制系统数学模型的方法 分析法：分析法：对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律、化学规律分别列写运动方程。依据的物理规律、化学规律分别列写运动方程。建立系统数学模型的几个步骤：建立系统数学模型的几个步骤：（ 1）建立物理模型；）建立物理模型；（ 2）列写原始方程。利用适当的物理定律（如牛顿定律、基尔霍夫电）列写原始方程。利用适当的物理定律（如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）；流和电压定律、能量守恒定律等）；（ 3）选定系统的输入量、输出量及状态变量（在建立状态模型时要求）选定系统的输入量、输出量及状态变量（在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。 实验法：实验法：人为施加某种测试信号，记录输入输出数据，并人为施加某种测试信号，记录输入输出数据，并用适当的数学模型去逼近用适当的数学模型去逼近 系统辩识。系统辩识。4例 RLC电路。（ 2） . 根据电路原理列出微分方程：根据电路原理列出微分方程：根据基尔霍夫定律有根据基尔霍夫定律有（ 3） . 消去中间变量，得到微分方程：消去中间变量，得到微分方程：消去中间变量（），可得消去中间变量（），可得（线性定常二阶微分方程式）（线性定常二阶微分方程式） 建立动态微分方程（ 1） . 确定输入量，输出量为确定输入量，输出量为 ur(t) 、 uc(t)5建立动态微分方程例例 2 弹簧弹簧 质量质量 阻尼器系统。阻尼器系统。（ 1）确定输入、输出量为）确定输入、输出量为 F 、 y （ 2）根据力学、运动学原理列微分方程）根据力学、运动学原理列微分方程f 阻尼系数阻尼系数 Fs (t) = Ky K 弹性系数弹性系数 （ 3）消去中间变量，可得电路微分方程）消去中间变量，可得电路微分方程（线性定常二阶微分方程式）（线性定常二阶微分方程式） 具有相同数学模型的不同物理系统称之为具有相同数学模型的不同物理系统称之为 相似系统相似系统 。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为在相似系统中，占据相应位置的物理量称为 相似量相似量 。对于同一个物理系统，当输入量、输出量改变时，所求出的数学模型却是不同的。对于同一个物理系统，当输入量、输出量改变时，所求出的数学模型却是不同的。利用相似系统的概念，我们可以用一个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系利用相似系统的概念，我们可以用一个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系统，并根据相似系统的理论出现了仿真研究法。统，并根据相似系统的理论出现了仿真研究法。6非线性微分方程模型的线性化齿轮减速器齿轮减速器在控制系统中非在控制系统中非线性是绝对的，线性是绝对的，而线性是相对的而线性是相对的 7非线性微分方程模型的线性化非非 线线 性模型的性模型的 线线 性化：性化： 将非线性微分方程转换为近似的线性微分方程。将非线性微分方程转换为近似的线性微分方程。 方法：方法： （ 1）小偏差法（或称增量法）小偏差法（或称增量法） ；（ 2）针对不同情况的简化方法。）针对不同情况的简化方法。 饱和特性的放大器饱和特性的放大器小信号输入时小信号输入时 机械系统机械系统动态性能，在有润滑剂的情况下，动态性能，在有润滑剂的情况下，往往忽略小的干摩擦，往往忽略小的干摩擦，只考虑与速度成比例的粘性摩擦力只考虑与速度成比例的粘性摩擦力 将非线性特性用一段直线来代替将非线性特性用一段直线来代替 8非线性微分方程模型的线性化一假一假 设设 ： x、 y在平衡点（在平衡点（ x0、 y0）附近）附近作增量作增量 变变 化，即化，即 x=x0+ x ， y=y0+ y二近似处理：二近似处理： 在平衡点（在平衡点（ x0、 y0）处，）处，以曲线的切线代替曲线，得到近似式以曲线的切线代替曲线，得到近似式原非线性方程的线性化增量方程原非线性方程的线性化增量方程 三数学方法：三数学方法： 设具有连续变化的非线性函数设具有连续变化的非线性函数 y=f(x)，若取，若取某一平衡状态为工作点某一平衡状态为工作点 A(x0,y0)。 A点附近点附近有点为有点为 B(x0+ x,y0+ y)，当，当 x, y很小时，很小时，AB段看成线性的。段看成线性的。设设 f(x)在在 A(x0,y0)点连续可微，则将函数在该点展开为点连续可微，则将函数在该点展开为泰勒级数，得：泰勒级数，得：9非线性微分方程模型的线性化 x是微小量，故可略去高阶无穷小项及余项是微小量，故可略去高阶无穷小项及余项 y=kx 在此的输入与输出针对平衡点（在此的输入与输出针对平衡点（ x0、 y0）的增量，当平衡点位置）的增量，当平衡点位置变化时，输入与输出关系就变化了。变化时，输入与输出关系就变化了。 注意：注意：10非线性微分方程模型的线性化两个变量的非线性函数两个变量的非线性函数 y=f（ x1， x2） 略去二级以上导数项，并令略去二级以上导数项，并令 y y-f(x10,x20) x1=x-x10 x2=x-x20 则线性化增量方程将为则线性化增量方程将为 11非线性微分方程模型的线性化总结总结 （ 1）线性化方程描述的不是自变量自身，而是变量对平衡点的增量，有时）线性化方程描述的不是自变量自身，而是变量对平衡点的增量，有时为了简便，增量符号常常略去。为了简便，增量符号常常略去。 （ 2）线性化方程中的增量，不应认为是无穷小量，而应理解为是有工程实）线性化方程中的增量，不应认为是无穷小量，而应理解为是有工程实际概念的较小的变化量。际概念的较小的变化量。（ 3）平衡点应依据系统的平衡工作状态而定，各部件应统一，而不能任意）平衡点应依据系统的平衡工作状态而定，各部件应统一，而不能任意选取。否则线性化方程中的有关系数将不符合实际。选取。否则线性化方程中的有关系数将不符合实际。（ 4）关于增量假设的可靠性：所有变量都在平衡点附近变化。）关于增量假设的可靠性：所有变量都在平衡点附近变化。（ 5） 尽管是小范围变化，线性化增量方程也仍是近似方程。尽管是小范围变化，线性化增量方程也仍是近似方程。（ 6）对于某些严重的非线性，如继电特性、间隙、摩擦特性等，不能进行）对于某些严重的非线性，如继电特性、间隙、摩擦特性等，不能进行求导运算，因此原则上不能用小偏差法进行线性化，只能作为非线性问题求导运算，因此原则上不能用小偏差法进行线性化，只能作为非线性问题处理。处理。 （ 7）如果多变量非线性函数）如果多变量非线性函数 y=f（ x1， x2），其平衡点（），其平衡点（ x10， x20， y0） 则线性化增量方程将为则线性化增量方程将为 12传递函数 拉普拉斯变换13 定义传递函数线性系统在线性系统在 零初始条件下零初始条件下 ，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。线性定常系统线性定常系统初始情况为零时，两端取拉氏变换：初始情况为零时，两端取拉氏变换： 传递函数的两种表达形式传递函数的两种表达形式零极点零极点 表示形式表示形式时间常数时间常数 表示形式表示形式14关于传递函数的几点说明 1.递函数的概念只适用于线性定常系统。 2.传递函数可以作为系统的动态数学模型，与输入量的形式（幅度与大小）无关。3.传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律 。4.传递函数分子多项式的阶次总是低于至多等于分母多项式的阶次，即 mn。这是由于系统中总是含有较多的惯性元件以及受到能源的限制所造成的。 5.一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系 。6.传递函数已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。7.一旦建立 G(s)，可以给出该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同 。 8. 若加于系 统 的 输 入信号是 单 位脉冲函数 (t)， 则 其 输 出量的 时间响 应 函数等于 该 系 统传递 函数的拉氏反 变换 。15关于传递函数的几点说明 9. 传递函数与微分方程之间有关系：传递函数与微分方程之间有关系： 如果将如果将 置换置换 10. 传递函数提供了两条研究系统的途径：传递函数提供了两条研究系统的途径： 传递函数与系统内部的结构传递函数与系统内部的结构系数系数 a0 an， b0 bn有关，则通分析系统内部的结构了解系统的性能。有关，则通分析系统内部的结构了解系统的性能。 传递函数定义为输出信号的拉氏变化与输入信号的拉氏变化之比，对于传递函数定义为输出信号的拉氏变化与输入信号的拉氏变化之比，对于一个复杂系统而言，可以通过给系统输入一个给定的输入信号，从所获一个复杂系统而言，可以通过给系统输入一个给定的输入信号，从所获得的输出信号中，分析系统的特性得的输出信号中，分析系统的特性 实验分析法。实验分析法。 11. 在求实际系统的传递函数时，总是将一个系统分解成若干个单元，在求实际系统的传递函数时，总是将一个系统分解成若干个单元，先分别求出各单元的传递函数，然后再综合。先分别求出各单元的传递函数，然后再综合。 16 自动控制原理 国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 17传递函数的性质：传递函数的性质：（ 1）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输 入输出无关；入输出无关；（ 2）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变函）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变函 数的所有性质；数的所有性质；（ 3）传递函数是复变量）传递函数是复变量 s 的有理真分式，即的有理真分式，即 nm ；（ 4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；（ 5）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系；）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系；（ 6）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均 为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对 的共轭复数。的共轭复数。17典型环节及其传递函数 比例环节实例：实例： 分压器，放大器，无间隙分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。无变形齿轮传动等。时域方程：时域方程：传递函数：传递函数：放大环节，无惯性环节放大环节，无惯性环节放大系数放大系数特点：特点： 输入量与输出量的关系为一种固输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系。定的比例关系。 积分环节特点：特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。输入消失，输出具有记忆功能。时域方程：时域方程：传递函数：传递函数：实例：实例： 电机角速度与角度关系，模拟计算电机角速度与角度关系，模拟计算机积分器等。机积分器等。 18 惯性环节惯性环节时域方程：传递函数：当输入为单位阶跃函数时当输入为单位阶跃函数时当当 k=1时，输入为单位阶跃函数时时，输入为单位阶跃函数时 ,时域响应曲线时域响应曲线典型环节及其传递函数特点：特点： 只只 包含一个储能元件，使其输出量不能立即跟随输入量的包含一个储能元件，使其输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上的延迟。变化，存在时间上的延迟。k为放大系数，为放大系数， T为时间常数。为时间常数。非周期环节非周期环节19时域形式有三种形式：时域形式有三种形式：相应的传递函数为：相应的传递函数为：典型环节及其传递函数 微分环节：纯微分纯微分一阶微分一阶微分二阶微分环节二阶微分环节特点：特点： 是积分环节的逆运算，其输出量反映了输入信号的变化趁势。是积分环节的逆运算，其输出量反映了输入信号的变化趁势。在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。般都是微分环节加惯性环节。实际微分环节实际微分环节20时域方程：传递函数：传递函数：传递函数有两种情况：传递函数有两种情况：当当 时，可分为两个惯性环节相乘。时，可分为两个惯性环节相乘。即：即：有两个实数极点：有两个实数极点：典型环节及其传递函数 振荡环节：振荡环节：21分析分析 ： y(t)的上升过程是振幅按的上升过程是振幅按指数曲线衰减的的正弦运动。与指数曲线衰减的的正弦运动。与 有关。有关。 反映系统的阻尼程度，称反映系统的阻尼程度，称为为 阻尼系数阻尼系数 ， 称为称为 无阻尼振荡圆无阻尼振荡圆频率频率 。当。当 时，曲线单调升时，曲线单调升，无振荡。当，无振荡。当 时，曲线衰时，曲线衰减振荡。减振荡。 越小，振荡越厉害。越小，振荡越厉害。若若 ，传递函数有一对共轭复数。还可以写成：，传递函数有一对共轭复数。还可以写成：设设 输入为：输入为：则则 振荡环节：振荡环节：特点：特点： 有两个独立的储能元件，可进行能量交换，其输出出现振荡。有两个独立的储能元件，可进行能量交换，其输出出现振荡。22大写 小写 英文注音 国际音标注音 中文注音 alpha alfa 阿耳法 beta beta 贝塔 gamma gamma 伽马 deta delta 德耳塔 epsilon epsilon 艾普西隆 zeta zeta 截塔 eta eta 艾塔 theta ita 西塔 iota iota 约塔 kappa kappa 卡帕 lambda lambda 兰姆达 mu miu 缪 nu niu 纽 xi ksi 可塞 omicron omikron 奥密可戎 pi pai 派 rho rou 柔 sigma sigma 西格马 tau tau 套 upsilon jupsilon 衣普西隆 phi fai 斐 chi khai 喜 psi psai 普西 omega omiga 欧米伽 23它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号。 延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起见，化简如下：见，化简如下：或或典型环节及其传递函数 延迟环节延迟环节 时滞，时延环节时滞，时延环节时域方程：传递函数：传递函数：特点：特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：实例： 管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节 。24惯性环节惯性环节 从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值滞后一段时间才接近所要求的输出值惯性环节与延迟环节的区别： 延迟环节延迟环节 从输入开始后在从输入开始后在 0 时间内没有输出，在时间内没有输出，在 t =之后，才有输出。之后，才有输出。25控制系统的传递函数求一个较为复杂的控制系统的传递函数，同样需要首先列求一个较为复杂的控制系统的传递函数，同样需要首先列写控制系统中各个变量之间的微分方程，得到微分方程组写控制系统中各个变量之间的微分方程，得到微分方程组。根据列写的微分方程组，可以通过两种途径求系统的传。根据列写的微分方程组，可以通过两种途径求系统的传递函数：递函数： 一是首先在微分方程组中消去中间变量，然后在零初始一是首先在微分方程组中消去中间变量，然后在零初始条件下进行拉氏变换，求得系统的传递函数；条件下进行拉氏变换，求得系统的传递函数；二是先对微分方程组在零初始条件下进行拉氏变换，然二是先对微分方程组在零初始条件下进行拉氏变换，然后在获得的代数方程组中消去中间变量，求得系统的传后在获得的代数方程组中消去