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八年级数学上册知识点总结（新人教版） 第十三章 轴对称 一、轴对称图形 .把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分 能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直 线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线 （成轴）对称。 2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个 图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这 条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系 4.轴对称的性质 关于某直线对称的两个图形是全等形。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任 何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段 的垂直平分线。 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分， 那么这两个图形关于这条直线对称。 二、线段的垂直平分线 . 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条 线段的垂直平分线，也叫中垂线。 2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距 离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直 平分线上 三、用坐标表示轴对称小结： 在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的点横坐标相等, 纵坐标互为相反数.关于 y 轴对称的点横坐标互为相反数, 纵坐标相等. 2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到 三角形三个顶点的距离相等 四、 （等腰三角形)知识点回顾 .等腰三角形的性质 .等腰三角形的两个底角相等。 （等边对等角） .等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上 的高互相重合。 （三线合一） 2、等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 边也相等。 （等角对等边） 五、 （等边三角形）知识点回顾 .等边三角形的性质： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 600。 2、等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是 600 的等腰三角形是等边三角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于 300，那么它所 对的直角边等于斜边的一半。 、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等 角） 推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底 边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上 的高重合。 推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等 于 60。 （2）等腰三角形的其他性质： 等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直 角） ，但顶角可为钝角（或直角） 。 等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b， 则 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角 为B、c，则A=1802B，B=c= 2、等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理及推论： 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等（简称：等角对等边） 。这个判定定理常用 于证明同一个三角形中的边相等。 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。 推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30， 那么它所对的直角边等于斜边的一半。 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形性质 等腰三角形判定 中线 、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角； 2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与 底边两端点距离相等。 、两边上中线相等的三角形是等腰三角形； 2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个 边的对角） ，那么这个三角形是等腰三角形 角平分线 、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边； 2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到 底边两端点的距离相等。 、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平 分对边） ，那么这个三角形是等腰三角形； 2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是 等腰三角形。 高线 、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边； 2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底 边两端点距离相等。 、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条 边的对角） ，那么这个三角形是等腰三角形； 2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。 角 等边对等角 等角对等边 边 底的一半/FoNT腰长/FoNT 周长的一半 两边相等的三角形是等腰三角形 4、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一 个新的三角形。 （2）要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角 形周长的一半。 结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角 形。 结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的 平行四边形。 结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对 的三角形的顶角相等。 第十四章 整式乘除与因式分解 一回顾知识点 、主要知识回顾： 幂的运算性质： amanamn （m、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 amn （m、n 为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘 （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积 amn （a0，m、n 都是正整数，且 mn） 同底数幂相除，底数不变，指数相减 零指数幂的概念： a01 （a0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 l 负指数幂的概念： ap （a0，p 是正整数） 任何一个不等于零的数的p（p 是正整数）指数幂， 等于这个数的 p 指数幂的倒数 也可表示为：（m0，n0，p 为正整数） 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的 因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指 数作为积的一个因式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分 别相乘，再把所得的积相加 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另 一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的 因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作 为商的一个因式 多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这 个单项式，再把所得的商相加 2、乘法公式： 平方差公式：（ab） （ab）a2b2 文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等 于这两个数的平方差 完全平方公式：（ab）2a22abb2 （ab）2a22abb2 文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两 个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍 3、因式分解： 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形 叫做把这个多项式因式分解 掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式， 且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差 化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式 二、熟练掌握因式分解的常用方法 、提公因式法 （1）掌握提公因式法的概念； （2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成 一般情况下有三部分：系数一各项系数的最大公约数； 字母各项含有的相同字母；指数相同字母的 最低次数； （3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二 步是提取公因式并确定另一因式需注意的是，提取完公 因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一 点可用来检验是否漏项 （4）注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式， 即分解到“底” ；如果多项式的第一项的系数是负的，一 般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的 2、公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反 过来使用； 常用的公式： 平方差公式： a2b2（ab） （ab） 完全平方公式：a22abb2（ab）2 a22abb2（ab）2 第十五章 分式 知识点一：分式的定义 一般地，如果 A，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母， 那么式子叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 分式有意义：分母不为 0（） 分式无意义：分母为 0（） 分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（） 分式值为正或大于 0：分子分母同号（或） 分式值为负或小于 0：分子分母异号（或） 分式值为 1：分子分母值相等（A=B） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整 式，分式的值不变。 字母表示：， ，其中 A、B、c 是整式，c0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本 身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 c0 这个限制 条件和隐含条件 B0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分 母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分 母的公因。 注意：分式的分子与分母为单项式时可直接约分， 约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相 同因式的最低次幂。 分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因 式分解，再约分。 知识点四：最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母 的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分 式的通分。 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的 积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： 取各分母系数的最小公倍数； 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式 连同它的指数作为一个因式； 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数 最大的。 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂 的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 知识点六分式的四则运算与分式的乘方 分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作 为积的分母。式子表示为： 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与 被除式相乘。式子表示为 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子 分式的加减法则： 同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子 表示为 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然 后再加减。式子表示为 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式 前面是负号，要加括号，看作是分母为 1 的分式，再通分。 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺 序 先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算 谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题 质量。 注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依 据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有 无错误或分析出错的原因。 加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式） 。 知识点六整数指数幂 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广 到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂 一样适用。即 科学记数法 若一个数 x 是 0 的数，则可以表示为（，即 a 的整数 部分只有一位，n 为整数）的形式，n 的确定 n=从左边第一 个 0 起到第一个不为 0 的数为止所有的 0 的个数的相反数。 如 0.000000125= 若一个数 x 是 x10 的数则可以表示为（，即 a 的 整数部分只有一位，n 为整数）的形式，n 的确定 n=比整数 部分的数位的个数