振动与冲击理论基础

第 3章 振动与冲击理论基础 力学基础（冲击、振动） 数学基础（微分方程、随机过程） 1 概述 商品破损的原因 : （ 1）冲击 冲击过程的时间历程不能用数学式描述； 冲击幅值是多峰状态，包装的响应是随机分布的； 冲击波的形状比较复杂，难以用简单的函数表达； 没有明确的冲击作用时间，很难用脉宽来定量时间 ； (2) 振动 某个物理量的值在观测时间内不断地经过极大值 和极小值地变化，这种状态的改变称为振动。 机械振动 物体在平衡位置附近所做的周期性往复运动 ，称为机械振动。（包装动力学研究的重点） （ 3）气候条件 （温湿度、风雨、盐雾等） （ 4）其他因素 （如有害气体、热源、放射源、气味源和日光照 射等） 脆 值 1.1 机械振动 组成： 振动系统（单摆），振源（给一初始位移 ），响应 振动问题：已知振源、系统特性，求响应 环境预测：已知系统特性、响应，求输入 系统识别：已知输入、响应，求系统特性 车床 +混凝 土机座 弹性垫 振动系统激励 响应 1.1 实际包装系统 简化 1.2 力学模型 简化力学模型的原则： （ 1）要正确反映包装系统的特性； （ 2）在正确反映包装系统的特性的前提下尽可能简 化模型。 考虑的具体问题： （ 1）包装产品是均质刚体，还是由多个部件组成？ 产品的摆放方式？ （ 2）是否考虑外包装箱的质量和弹性？ （ 3）是否考虑缓冲材料的质量？ （ 4）是否考虑缓冲材料的粘性？ 1.2 力学模型 单自由度系统 假设： 被包装产品为均质刚体，略去 外包装箱的质量和弹性，不计缓冲 材料的质量，并视为粘性和阻尼的 弹性体。 m： 产品质量 k： 缓冲衬垫材料的弹性系数 c： 缓冲衬垫材料的粘性阻尼系数 1.2 力学模型 二自由度系统 假设： 略去外包装箱的质量和弹性，不 计缓冲材料的质量，并视为粘性和阻 尼的弹性体。 m1, m2： 易损件和产品质量； k1， c1： 易损件与产品间的弹性系数 和粘性阻尼系数； k2， c2： 产品主体与外包装箱间的缓 冲材料的弹性系数和粘性阻尼系数。 1.2 力学模型 三自由度系统 假设： 不计缓冲材料的质量，并视为粘 性和阻尼的弹性体。 m1,m2： 易损件和产品质量； m3： 外包装箱的质量（外包装箱很重时 ）； k1， c1： 易损件与产品间的弹性系数和 粘性阻尼系数； k2， c2： 产品主体与外包装箱间的缓冲 材料的弹性系数和粘性阻尼系数。 1.2 力学模型 多自由度系统 1.2 力学模型 多自由度系统 假设：产品叠放在同一包装箱中或同一产品 有多个关键零部件 不计缓冲材料的质量，并视为粘性和 阻尼的弹性体。 m1,m2 mn： 质量； k1， k2 kn： 弹性系数； c1， c2 cn： 粘性阻尼系数。 1.3 机械振动的分类 （ 1）按自由度分：单自由度系统，二自由度系统，三自由度 系统，多自由度系统，连续介质系统； （ 2）按系统运动的微分方程分： 线性振动 （运动方程为线性微分方程）； 非线性振动（运动方程为非线性微分方程）； （ 3）按系统输入类型分： 自由振动：系统只受初干扰或外界激励取消后，系统仅 在弹性恢复力的作用下产生振动。 强迫振动：系统在外界激励下产生的振动； 自激振动：系统在输入和输出之间有反馈特性，并有能 量补充而产生的诊断。 （ 4）按系统输出规律分： 周期振动 随机振动 2 单自由度线性系统的振动 2.1 单自由度线性系统的自由振动 自由振动 振体在受到初干扰（初位移或 初速度）后，仅在系统恢复力的作用下在平 衡位置附近作往复运动称为自由振动。 2.1.1 无阻尼系统的自由振动 (a) (b) (c) 平衡位置 （ 1）无阻尼系统自由振动的微分方程及求解 图（ b） W=F=k （ 2-1） 图（ c） F= - k( ) 负号表示力的方向 根据牛顿第 2定律 F=ma 得振动体的运动微分 方程： W- k( )=m 由（ 2-1）得 m = - k （ 作用在振动方向的常力只影响振动中心的位 置，而不影响振动规律） （ 1）无阻尼系统自由振动的微分方程及求解 设 系统的固有特性，固有频率） 得 （二阶常系数线性齐次微分方程） 解： C， D待定系数 代入初始条件： 所以 ,得方程的解 （ 1）无阻尼系统自由振动的微分方程及求解 令 A振幅：振体偏离振动中心的最大距离 相位角， A， 由运动的初始条件定。 （ 2）周期、频率和圆频率 周期： 物体作一次完全振动（来回一次）所需的时间称为振动周 期，用 T表示，则物体在任一时刻 t的运动状态（位置和 速度）应该与物体在 t+T的运动状态（位置和速度）相同 运动状态具有周期性 由于正弦函数的数值每经过 2 重复一次，故 频率： 周期的倒数称为频率。它表示单位时间内（每秒）物体所 作的完全振动的次数，单位为赫兹（ Hz）。 圆频率 ：表示振动体在 2 秒内的振动次数。 （弧度 /秒） （ 2）周期、频率和圆频率之间的关系 说明：周期、频率或固有频率都是由振动系统本 身的性质所决定的量；这种由系统本身性 质所决定的周期、频率或圆频率往往称为 固有周期 、 固有频率 或 固有圆频率 。 例：求质量 弹簧系统的周期、频率或圆频率 。 结论：质量 弹簧系统的周期、频率和圆频率与重力 作用下的静变形有关。 代入 （ 3）计算固有频率的能量法 根据能量守恒定理，系统的机械能守恒： T+V=常数 T： 动能， V： 势能 具体研究质量 弹簧系统：振动体在任意位置 且有速度 ，则 （ 3）计算固有频率的能量法 平衡位置： 极限位置： 在上述系统中： ，即 代入 （ 4）串联弹簧和并联弹簧的等效刚度 串联弹簧 （ 4）串联弹簧和并联弹簧的等效刚度 并联弹簧： 推广到 N个并 联弹 簧： 2.1.2 阻尼对自由振动的影响 衰减振动 (1)阻尼振动 ：振幅随时间而减小的振动称为阻尼振动。 (2)粘滞阻尼的大小 :当振体以不大的速度在流体介质（ 空气、油类等）中运动时，介质给振体的阻尼的大小 与振体速度成正比，即 粘滞阻尼系数，取决于振体的形状、大小和介 质的性质，单位为牛顿 秒 /米。 振体速度，米 /秒。 牛顿。 -号表示阻尼的方向与振体速度的方向相反。 （ 3）单自由度有阻尼系统的受力分析 取平衡位置为坐标原点 ， 该系统的运动微分方程为 方程的解可设为 代入微分方程 得 该系统的特征方程 （二阶常系数线性齐次微分方程） 特征方程的解 产生重根的情况在物理上具有特殊意义，将对应的阻尼 系数称为 临界阻尼系数 。 设 系统中实际存在的阻尼与该系统临界阻尼 系数之比，称为 阻尼比 。 (A) 小阻尼系统的自由振动（ 1） 强阻尼系统 特征方程有两个负实根 ： 振体运动的微分方程的解为两个衰减指数函数的和： 取决于初始条件 例题 1 ： 缓冲衬垫的排列如图所示，其中缓冲衬垫的弹簧刚度 为 ， ， ， 求等效弹簧刚度。 解： 例题 2： 已知单自由度小阻尼系统在 时的第三个振幅比 的 第二个振幅降低了 20%，求此系统的阻尼系数和固有频率。 解： （ 1）求阻尼系数 小阻尼系统对数衰减率： （ 2）求固有频率 振动周期 ，阻尼系统的固有频率为： 2.2 单自由度系统的受迫振动 受迫振动：振动系统在长时间或瞬间的激励作用下发生的振动。 2.2.1 运动微分方程及求解 以静平衡位置为坐标原点， 坐标向下为正。 F（ t） 简谐扰力 （二阶常系统非齐次微分方程） 2.2.1 运动微分方程及求解 方程的解为： 其中： 为对应的齐次方程的通解，设 ，则 是一个衰减运动，瞬态解，通常不考虑； 为特解（稳态解）： 为强迫振动的振幅， 为相位角。 将 代入非齐次微分方程中，可得 强迫振动的振幅和相位角只决定于系统本身的特性和干扰 力的性质，与运动的初始条件无关。 (1)频率比 ： 稳态解为： (2) 静力偏移 ： 力幅作用下系统的偏移 (3) 动力放大系数 ： 表示干扰力对振动系统动力作用的效果，取决于 和 。 (4) 曲线（以 为参变量） (4) 曲线（以 为参变量） A 1， 即 （低频段）， 接近 1， 接近 缓慢交 变的干扰力的动力作用接近其静力的作用。 B 1， 即 （高频段）， 接近 0， 干扰力交变极其 迅速时，振体由于惯性几乎来不及振动。 C 对 的各条曲线，当 增大时，对于确定的 和 ， 都有相应的最大值 共振 解决问题！ 求出共振时 和 ， 求极值的问题。 当 值较小（实际中往往如此），认为 ，即 干扰力频率接近于系统的固有频率时发生共振， 。 当 ，无共振现象。 D.当 =0，无阻尼自由振动。从图上可以看出，小阻尼系统和 无阻尼系统的响应没有区别。因此，在 和 时可以按无阻尼系统来计算 值。 例题 3 ： 在如图所示的振动系统中，已知弹簧常数 ，物块 质量 ，粘滞阻尼系数 ，干扰力的 力幅 ，干扰力频率 ，试求振体的受迫 振动。 解：分析 求 和 求 和 （ 1）求系统的固有频率 （注意单位 ） （ 2）求频率比 （ 3）求阻尼比 （ 4）求 和 2.2.2 支座激励与隔振 强迫振动 外界的激励力，位移干扰。 （ 1）系统运动微分方程及求解 运动微分方程为 将 方程的稳态解为 ： （ 2）传递率 :（振体振幅与支座振动的振幅的比值） （ 3） 曲线 （ 为参变量） A 1， 1， ， 隔振体的固有频率远 大于激励频率时， 1 ，没有隔振效果。 B 区域内， ，振体振幅会被放大，当 ，发生共振。 放大区。运输包装工具在起 制动过程中可能会经过放大区，因此隔振体（缓冲结 构）应有适当的阻尼。 C ， ， 有隔振效果，称为隔振区。在实际 应用中取 。 （ 4）传递率曲线分析 例 4 ： 包装件内装产品在静平衡时压缩缓冲衬垫引起的静变形为 5.08cm ， 如果此包装放在运输车上，支座扰频为 ，支座扰 力幅值 ，求产品最大位移和最大加速度。 解：分析，求 在本题中不考虑阻尼，故 （ 1）求系统固有频率 （注意单位） （ 2）求传递率 （ 3）求 2.2.3 任意周期激励力引起的强迫振动 （ 1）非简谐周期激振力引起的受迫振动 系统的运动微分方程为 应用谐波分析法，可将 按富里埃级数展开成一系列不同 频率的简谐激振力，即 为 常力，取静平衡位置为坐标原点，方程中不出现该项。 当系统阻尼较小时， 可忽略不计， ，方程的解为 ： 为第 j阶谐波 响应的相位差 为第 j阶频率比 （ 2）非简谐的周期性支承运动引起的受迫振动 单自由度系统在支承运动 作用下的稳态响应为： 根据叠加原理，得非简谐周期性支承运动作用下系统的稳态响应： 若忽略阻尼 =0，则 ，方程的解可简化为： 2.2.4 任意激励力引起的强迫振动 系统的运动微分方程为： 任意激励力，非周期，无法直接求解 解决方法：任意激励力 分解成无数多个脉冲宽度（脉冲作用 时间）为无限小的脉冲，在 的间隔 内，系统质量受到一 个微冲量 的作用 阴影面积表示 求出单独脉冲作用 下系统的响应 叠加 系统的总响应。 它包括了任意激励力作用下的瞬态振动 和激励停止后的自由振动。 若忽略阻尼，则 =0， ，方程 的解可简化为： Duhamel积分法 例 5：试求有阻尼单自由度系统对图 2-15（ a） 所示的阶跃函数激 励的响应。 解：单位阶跃函数可表示为 ：阶跃函数可表示为 , 系统运动微分方程为： 利用 Duhamel积分法，在 t0, ,则响应为： 对无阻尼系统， =0， ，系统响应为： 当 时，响应达到最大，即 ，为静变形的 2倍， 其响应曲线见图（ b） . 例 6：求半周期正弦脉冲激励对单自由度无阻尼系统的响应 。 解：时间间隔为 的半周期正弦脉冲波形如图 a 所示，可表示成： 式中 ： 利用 Duhamel积分法，半周期正弦脉冲在 的响应为： 当 ，激振力为 0，响应只取决于 时的状态，有： 当 的值不同时，响应曲线不同，（ c） 半周期正弦脉冲的 冲击响应谱。 2.3 多自由度线性系统的振动 2.3.1 两自由度线性系统的振动 （ 1）系统的运动微分方程 整理得 ： 耦合方程 引入矩阵和向量： 矩阵方程 （ 2）无阻尼系统的自由振动 方程的解为 ： 为任意常数（由初始条件确定） 为 在频率 时的振幅。 基波 ：较低的频率项为基波；如果 ， 为基波。 谐波 ：其他的项称为谐波。 其中为常数 主振型 ： 系统按给定的一个固有频率作自由振动为主振动，系统 作主振动的任何瞬间的各点位移之间所具有的一定比值，即整个 系统具有确定的振动形态，成为主振型。 若 =0，则产生第一主振型。 或 振型矢量 若 =0，则产生第二主振型 。 或 整个方程的解 振型矩阵 （ 3）有阻尼系统的强迫振动 为任意的力或位移，无法直接求解； 考虑 和 具有相同频率的谐波激励 （复数域的问题 ） 稳态响应为 ： 为复数常数 2.3.2 多自由度线性系统的振动 其运动微分方程为： 有限单元法求解 2.4 随机振动的基础理论在包装中的应用 如图所示的包装箱受到白噪声功率谱密度常值为 ，阻尼比 ，质量为 的产品与刚度为 的弹簧构成单 自由度系统，具有 的固有频率。试求产品与箱壁之 间的允许间隙。 解 ： 产品位移的均方根值为： 按照 “3 ” 准则，把可靠度取 为 99.74%,产品与箱壁之间的间隙 应大于 思考题和计算题 1结