对“将军饮马”问题解决的思考和拓展

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 对“将军饮马” 问题解决的思考和拓展 【摘要】本文认为将军饮马的问 题就是利用轴对称变换改变线段的位置， 从而达到利用“ 两点之间线段最短 ”来求 最小值的问题，接下来作者又介绍了利 用平移、旋转、相似变换移动线段用类 似方法求最小值的例子，特别是利用相 似变换求最小值的例子是本文的亮点.最 后，本文还将文中例子升华，找到了一 类最小值问题和光的反射、折射路线的 关系. 中国论文网 /9/view-13002733.htm 一、 “将军饮马 ”问题解决的本质 是轴对称变换的应用 “将军饮马 ”的故事大家都非常熟 悉，它可以转化为下面的数学模型. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 问题 1 如图所示，A，B 表示直 线 l 外两个定点，P 为直线 l 上的任意 一点，连接 AP，BP ，问 P 在什么位置， 能使（AP+BP）最小？ 这个问题的解决主要分两步： 第一步用轴对称变换转移线段 AP 到 CP，把 AP+BP 最小的问题转化 为 CP+BP 最小. 第二步用“C，B 两点间线段最短” 解决问题.类似的题目教材上还有一个， 见问题 2. 问题 1 图 问题 2 图 问题 2 如图，村庄 A，B 在小河 （假定河宽处处相等）的两边，现在两 个村庄间修一条公路，河上要架桥，桥 和河岸垂直.请你设计修路方案，使得公 路的总长度最短？ 本题的解决也分两步，第一步平 移 AM 到 CN，因为河宽处处相等，问 题就转化为 CN+BN 最小的问题，第二 步用“C，B 两点间线段最短”解决问题. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 上面两个问题来自教材，从图形 变换的思路来研究问题，不仅使思路简 捷，更为我们解决类似问题提供了方法. 二、利用相似变换解决一类求最 值的例子 问题 3 如图所示，小明在河岸上 A 处发现河中 B 处有一个人在喊救命， 小明先沿河岸跑一段到 C，然后径直游 到 B 处 .已知 BPAP，BP=5 米， AP=10 米，如果救人者在岸上跑步的速 度为 5 米/秒，在水中的速度为 1 米/秒， 想要最快到 B 处，求最短时间？ 分析本题实际上求 AC5+BC 的最 小值，不是简单的两条线段的和，表面 上只能用代数方法了，但是也有类似的 解答： 如图所示，作 FAC=arcsin15，CD AF 于 D，则 CD=AC5.移动 C 点，由相似或者三角函 数的知识始终有 CD=AC5，这样 AC5+BC=BC+CD，因为 CDAF，所 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 以当 B，C ， D 三点共线时，同时有 BDAF ，根据垂线段最短，可以说明 此时 AC5+BC 最小. 本题如果选用代数方法，会相当 复杂，这里巧妙应用相似变换使问题解 决的相当精彩，当然这一思路的形成来 自于前面两个问题的反思，也许大家会 想到中学还有个旋转变换，关于这方面 的例子请大家参考费马点，这里不再赘 述，因为我在进行这方面思考时有了新 的发现. 三、科学中光的反射、折射路线 和这类最小值问题的关系 问题 4 如图所示，DP 表示河岸， 小明在河边的广场上 A 处发现河中 B 处有一个人在喊救命，小明先在广场上 跑一段到河边 C 点，然后跳进河里游到 B 处.已知 B 到河边的距离 BP=5 米，A 到河边的距离 AD=4 米，DP=10 米，如 果救人者在陆地上的速度为 5 米/秒，在 水中的速度为 1 米/秒，要最快到 B 处， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 求最短时间？ 分析本题就是问题 3 的拓展，更 有实际意x ，而实际上“将军饮马”问 题中，如果饮马前后的速度不一样，也 是一样的问题.读到这里大家一定希望看 到类似的简捷解法，但是笔者能力有限， 要让您失望了，我决定用代数方法先找 到答案. 解设 CP=x，则 CD=（10-x）.所 花时间用 y 表示. y=42+（10-x ）25+x2+52，求其 导函数： y=x-10542+（10-x）2+xx2+25. 令 y=0，得 x-10542+（10-x ） 2+xx2+25=0， 即 10-x542+（10-x ）2=xx2+25. 这个方程可以解，但是意义不大， 我发现这其实就是：CD5AC=CPBC， 再清楚点作 EFCP 于点 C，得到 sinACEsinBCF=51，也就是说满足 这个条件时，所花的时间最少.这是什么 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 结论？我们先看物理中光的折射定律： 入射角和折射角的正弦值之比等于光在 两种介质中的速度比. 看来，应该走光的折射路线啊！ 这使我一下子想到了问题 1，问题 1 的 解决不正是光的反射路线图吗？只不过 问题 1 中，速度一样，相当于光