把握本质,借“题”发挥,提高实效

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 把握本质,借“题” 发挥,提高实效 高中数学的教与学离不开解题， 但题不在多，而在于让学生“学一题， 触一类，通一片” ；“ 一个专心的、认真 备课的教师能够拿出一个有意义但又不 太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的 各个方面，使得通过这道题，就好像一 道门，把学生引入到一个完整的理论区 域”（数学家波利亚） .教师在解题教学 中，理应科学、合理地设计一系列问题， 形成一个螺旋式上升的“ 问题串 ”，从本 质上去引领学生探究、解决问题，培养 学生的思维能力.本文笔者结合自己的一 次教学实践，通过对出现在函数题中含 全称、存在量词的一系列问题（问题串） 的分析、探究，以期提高学生的探究思 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 维能力和课堂的教学实效，不妥之处敬 请方家指教. 中国论文网 /9/view-13002764.htm 一、问题的引入 问题 1 已知函数 f（x）=x- lnx，g（x）=x2-2ax ，aR，命题 “x1，e，f（x）g（x）成立”是真 命题，则实数 a 的取值范围是 . 分析x1，e ，f（x） g（x）恒成立，对 f（x）g（x）实 行“分离变量 ”，转化为利用导数求新函 数的最值问题. 解x1，e ，f（x）g（x） 恒成立，x1，e r，x-lnx+2ax- x20，即 ax2+lnx-x2x恒成立，设 h（x）=x2+lnx-x2x （x 1，e ） ，则 h（x）=x2+1-lnx2x2，设 k（x）=x2+1- lnx，由 k（x）=2x2-1x 得：当 x1， e时，k（x）0 恒成立， k（x）在1，e 上是增函数，而 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 k（1）=10，h（x）0（x1 ，e ） ， h（x）在1，e 上也是增函数； hmin（x）=h（1）=1，a1. 评注 1.对于含参数 a 的不等式 f（x） g（x） （或 f（x）g（x） ）恒成 立问题，可以实施“ 分离变量 ”转化为 ah（x ） （或 ah（x） ）恒成立，进而使 ahmin（x） （或 ahmax（x） ）即可； 也可以转化为 f（x）-g （x）0（或 f（x） -g（x） 0）恒成立，进而使 f（x）-g（x）max0 （或 f（x）- g（x）min0）即可. 2.为了更好地培养学生的探究思 维，由此题的分析和解决，笔者就以 “问题 1”为引例， “借”题发挥，设计了一 系列问题，让学生“ 学一题，触一类， 通一片”，努力使得本次课成为一次生 动的习题探究课. 二、总结与反思 笔者设计的 7 个问题以问题 1 为 源头借“题”发挥，进行引申与拓展，给 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 出了函数题中含全称、存在量词的命题 的常见类型及其转化方法，将复杂的问 题简洁有效地解决.探究的这些问题及其 解法并不是孤立的，而是相互联系和渗 透的，这一“ 串” 问题及其探究过程不仅 是引领学生们去联想、探索、探究出某 类问题的内在规律，也是帮助学生掌握 数学知识、培养数学能力、提升思维水 平、形成数学品质的重要途径和提高数 学课堂效益的主要手段. （一）善于借“ 题”发挥，自觉积 累数学解题经验 解题也是一种创新，作为数学的 学习，积累一定的解题经验和把握其中 的方法和规律对以后解题的帮助是很大 的，而善于借“ 题” 发挥，编题变式训练 是解题经验自觉积累的有效途径.如在上 述问题的探究后我们可以将其中的条件 或结论适当变化，编设出一些新题，进 而巩固方法，辨析异同，提升能力. 波利亚曾形象地说“好问题同某 些蘑菇有些相似，它们大都成堆地成长， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 找到一个以后，你应当在周围找一找， 很可能就有几个”. 通过学生的编题变式 训练进行模仿求解，使其思维得到强化， 理解更加深入，这是我们教学中应当倡 导的. （二）数学的方法和思维必须亲 历方晓曲折和乐趣 在数学学习中，学生普遍存在 “一学就懂、一考就懵 ”、 “懂而不会”的现 象，课上听得懂，课后自己解“还是不 会”；知道某类题可以这样操作，但具 体解决时错误百出，等等.因此，作为数 学教学更需要充分发挥学生的主体作用， 让学生亲历解决或运算过程，增强运算 的基本功和探究中的可行性分析和预判 能力；更需要指导学生“ 明算理、优算 法、重突破” ；如上面的问题 3 和问题 7，分类讨论的思想学生都能想到，但 为了优化问题的解决，可以引导学生采 用“正难则反 ”的思想，其实也就是 “求 简变通”的思想，并留时间让学生亲自 操作，提高实效. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 解题教学强调讲题要讲透，但 “透”并非仅仅是分析到位、展示详尽， 更要让学生们能达到“ 会一题、通一类 ” 的效果，透过现象、抓住实质、把握规 律，提升理性思维能力，这应该是高中 数学教学的指导思想和根本目标. （三）思考和反思能让学生的学 习更加投入和深入 所谓的解题反思实际上就是在一 个问题解决后再进行如下的探索：本题 的命题意图是什么？本题考查了那些知 识和能力？解题过程是否正确、合理？ 本题还有没有其他的解法或者更优的解 法？能否推广本题的解法或结论，得到 更具一般性的结论？这些反思有助于学 生在原有基础上的提高，进一步建构更 高层次的认知.因此，在数学学习中要经 常对所学知识和方法进行归纳总结，探 寻突破口和规律；对比较典型的问题 （如上面的问题）要留足时间让学生认 真审题，理解问题的本质；在问题探究 中应尽可能地引领学生多方法、多角度 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 地思考和发现问题.通过对典型问题的 “一题多解、一题多变、多题同解” 地训 练，既能促进学生深入理解知识，又能 培养学生的思维能力，从中学到“等价 转化、数形结合” 等基本的数学思