2008-2009学年度南昌市高三第一轮复习训练题数学(15)(直线、平面、简单几何体1)

G M D 1 C1B1 A1 N D CB A 20082009 学年度南昌市高三第一轮复习训练题 数学（十五） （直线、平面、简单几何体 1） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. 正四棱柱 中， ，则异面直线 所成角的余弦值为1DCBAAB2111ADB与 A B C D51525354 2在空间四边形 中， 、 、 、 上分别取 、 、 、 四点，如果 、EFGHG 交于一点 ，则EFP A 一定在直线 上 B 一定在直线 上DPA C 在直线 或 上 D 既不在直线 上，也不在 上BDC 3平面 外有两条直线 和 ，如果 和 在平面 内的射影分别是 和 ，给出下列四mnn1mn 个命题： ； ；1n1 与 相交 与 相交或重合； 与 平行 与 平行或重合；n1nn 其中正确的命题个数是 A.0 B. 1 C. 2 D. 3 4平面 平面 的一个充分条件是（ ） A存在一条直线 B存在一条直线a， ， a， ， C存在两条平行直线 bab， ， ， ， ， D存在两条异面直线 ， ， ， ， 5若 、 为空间两条不同的直线， 、 为空间两个不同的平面，则 的一个充分条件aba 是 A 且 B 且 C 且/ab D 且/ba/ 6如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 、 N、 G 分别是 A1A，D 1C，AD 的中点则求 MN 与平面 所成的角为1BG A B C D2346 7对于直线 m、n 和平面 ，下面命题 中的真命题是a A如果 ， 共面，那么 m ,n、 n B如果 与 相交，那么 是面直线、 C如果 是异面直线，那么 、,a D如果 m , , 共面，那么 man、 8PA、PB、PC 是从点 P 引出的三条射线，每两条射线的夹角均为 60，则直线 PC 与平面 APB 所成角的余弦值是 A B C D1263332 9设直线 和平面 ，则下列命题中正确的是 mn、 、 A若 则 B若 则/， ， ， /mn， ， ， C若 则 D若 则， ， ， ， ， ， 10如图，正方体 AC1的棱长为 1，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂足 为点 H则以下命题中，错误的命题是 A直线 AH 和 BB1所成角为 45 BAH 垂直平面 CB1D1 C点 H 是A 1BD 的垂心 DAH 的延长线经过点 C1 11对于平面 和共面的直线 、 下列命题中真命题是m,n A若 则 B若 则, m ,nm n C若 则 D若 、 与 所成的角相等，则 m n 12如图所示，b、c 在平面 内，ac=B，bc=A，且 ab，ac ， bc，若 Ca，Db，E 在线段 AB 上（C ，D，E 均异于 A，B ） ，则 CDE 是 A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中的横线上。 13已知ABC是水平放置的边长为 a 的正三角形ABC 的斜二测平面直观图，那么 蓝天家教网 伴你快乐成长 ABC 的面积为 14正四棱锥中，侧面等腰三角形的顶角的取值范围为 。 15已知点 O 在二面角 的棱上，点 P 在 内，且 。若对于 内异于AB45OB O 的任意一点 Q，都有 ，则二面角 的大小是_。 45PA 16给出以下四个命题： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交 线平行， 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行， 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的是 。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分） 17.如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACB=90， M，N 分别为 A1B，B 1C1 的中点 （1）求证 BC平面 MNB1； （2）求证平面 A1CB平面 ACC1A1 18.，正三棱柱 ABCA 1B1C1 的各棱长都等于 2，D 在 AC1 上，F 为 BB1 中点，且 FDAC 1。 （1）试求 的值；1D （2）求二面角 FAC 1C 的大小； （3）求点 C1 到平面 AFC 的距离. 19.四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC底面 ABCD。已知ABC45，AB2，BC=22 ，SASB 3。 (1)证明：SABC； (2)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小； 20 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，SABCDAB 侧棱 底面 分别为 的中点SD EF， ， S， （1）证明 平面 ；F （2）设 ，求二面角 的大小2ABCDF1A1B1C A E B C F S D A B C M N A1 B1 C1 21.如图，在三棱锥 中， 底面 ，VABC ABC ， 是 的中点，且 ，ACB Da V02 （1）求证：平面 ； （2）当解 变化时，求直线 与平面 所成的角的取值范BCVA 围 22. 如图，平面 PAD平面 ABCD，ABCD 为正方形， PAD 是直角三角形，且 PA=AD=2，E、F、G 分别是 线段 PA、PD、CD 的中点. （1）求证：EFG平面 PAB； （2）求异面直线 EG 与 BD 所成的角； （3）求点 A 到平面 EFG 的距离. 20082009 学年度南昌市高三第一轮复习训练题 数学（十五） （直线、平面、简单几何体 1）参考答案 一、选择题 1D 2.B 3A 4D 5D 6A 7A 8C 9B 10A 11C 12C 二、填空题 13 14 15 16. 。16 2a2,090 三、解答题 17 （1）因 BCB 1C1， 且 B1C1 平面 MNB1， BC 平面 MNB1， 故 BC平面 MNB1 （2）因 BCAC，且 ABC-A1B1C1 为直三棱柱， 1,3,5 B V A D C 蓝天家教网 伴你快乐成长 故 BC平面 ACC1A1 因 BC 平面 A1CB， 故平面 A1CB平面 ACC1A1 18 一（1）连 AF，FC 1，因为三棱柱 ABCA 1B1C1 是正三棱柱且各棱长都等于 2，又 F 为 BB1 中点， Rt ABFRtC 1B1F，AFFC 1. 又在AFC 1 中，FDAC 1， 所以 D 为 AC1 的中点，即 . 1D （2）取 AC 的中点 E，连接 BE 及 DE，易得 DE 与 FB 平行且相等，所以四边形 DEBF 是 平行四边形，所以 FD 与 BE 平行。 因为三棱柱 ABCA 1B1C1 是正三棱柱， 所以ABC 是正三角形，BE AC，FDAC，又FDAC 1，FD平面 ACC1， 所以二面角 FAC 1C 的大小为 . 90 （3）运用等积法求解：AC2，AFCF ，可求 ，52ACFS ，32311 ACBAFV ，得 . hSACFF11 解法二取 BC 的中点 O，建立如图所示的空间直角坐标系。 由已知得 0,1,2,01,0,301FCBB （1）设 ， 则 ，1DC23,1,3,21AF011A 即 032 解得 ，即 . （4 分）11DCA （2）设平面 FAC1 的一个法向量为 11,nxy ，由 得 ，3,AFAF03 又由 ，得 ，1nC21yx11,33,2.xny 同上可得平面 ACC1 的一个法向量为 . 23,01 .12 1230,nn 故二面角 FAC 1C 的大小为 .9 （3）设平面 AFC 的一个法向量为 ，,xy 由 得 ，nA 3,01;03Ayx又 由 得 .C 解得 ,3,2123.xny 所以 C1 到平面 AFC 的距离为 1 ACdn . 31322 19 解：解法一： （1）作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得 底面SOBC AOSBC ADSO ABD 因为 ，所以 ， 蓝天家教网 伴你快乐成长 又 ，故 为等腰直角三角形， ，45ABC AOB AOB 由三垂线定理，得 S （2）由（1）知 ，依题设 ， DC 故 ，由 ， ， ，得SD 23S2 ， O1 的面积 SAB 2211ABS 连结 ，得 的面积D 2sin35AD 设 到平面 的距离为 ，由于 ，得ShSBV ，解得 123hOA 设 与平面 所成角为 ，则 SDB2sin1hSD 所以，直线 与平面 所成的我为 SCarci 解法二： （1）作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得 平面SOB AOSBC ADSO ABCD 因为 ，所以 又 ， 为等腰直角三角形， 45 如图，以 为坐标原点， 为 轴正向，建立直角坐标系 ，Axxyz ， ， ， ， ，(20)A， ， (20)B， ， (20)C， ， (1)S， ， (201)A， ， ， ，所以 C， ， SB （2）取 中点 ， ，E02， ， D BC A SOEGyx z O D BC A S 连结 ，取 中点 ，连结 ， SEGO214， ， ， ， 214O， ， SE， ， (20)AB， ， ， ， 与平面 内两条相交直线 ， 垂直0SEA0BASSEAB 所以 平面 ， 与 的夹角记为 ， 与平面 所成的角记为 ，则 与GDD 互余 ， ， ，(20)D， ， (21)S， ， 2cos1OGSA2sin1 所以，直线 与平面 所成的角为 AB2arsin 20解法一： （1）作 交 于点 ，则 为 的中点FGDC SGSD 连结 ，又 ，12 ， 故 为平行四边形AE ， ，又 平面 平面 SAEF， SA 所以 平面 F D （2）不妨设 ，则 为等腰直角三2C42GD， ， 角形 取 中点 ，连结 ，则 AGHH 又 平面 ，所以 ，而 ，B SAB A 所以 面 D EF 取 中点 ，连结 ，则 MEF 连结 ，则 故 为二面角 的平面角 DMD 2tan1H 所以二面角 的大小为 AEFarctn 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系 DxyzA E B CFSDH G M A A E B C F S D G M y z x 蓝天家教网 伴你快乐成长 设 ，则(0)()AaSb， ， ， ， ， (0)()BaCa， ， ， ， ， ， ， 22EF， ， ， ， ， 2bE， ， 取 的中点 ，则 SD0bG， ， 0Aa， ， 平面 平面 ，EFA， ， SDEF， SA 所以 平面 （2）不妨设 ，则 (10)， ， 1(10)()(02)012BCF， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中点EF()22MDEFMDEEA， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ，10A， ， 0EAF， 所以向量 和 的夹角等于二面角 的平面角 EF 3cosMDA， 所以二面角 的大小为 AEFarcos3 21 解法 1：（1） ， 是等腰三角形，又 是 的中点，CB CB DAB ，又 底面 于是 平面 CD VVA VC 又 平面 ， 平面 平面 B D （2） 过点 在平面 内作 于 ，H 则由（1）知 平面 A 连接 ，于是 就是直线 与平面 所成的H 角 在 中， ；CDRt 2sina 设 ，在 中， ，BBHCt siA D BC HV ， ， 2sin 02 0sin1 20sin 又 ， 0 4 即直线 与平面 所成角的取值范围为 BCVA04 解法 2：（1）以 所在的直线分别为 轴、C x 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则yz ，(0)(0)()CAaBa 2tn2DV 于是， ， ， taa 02aCD (0)ABa 从而 ，即 1(0)2ABCD CD 同理 ，21()tan0aV a 即 又 ， 平面 ABCAB VCD 又 平面 平面 平面 VD （2）设直线 与平面 所成的角为 ，平面 的一个法向量为 ，()xyz n 则由 0AB n 得 可取 ，又 ，2tan0 axyz (12cot) (0)BCa 于是 ，2sinsincotBC A D B C V x y z 蓝天家教网 伴你快乐成长 ， ， 02 0sin1 20sin 又 ， 4 即直线 与平面 所成角的取值范围为 BCVA04 22 解法一 （1）证明：ABCD 为正方形，PAD 是直角三角形，且 PA=AD=2， ADAB，ADPA 又 ABPA=A， AD面 PAB. E 、F 分别是线段 PA、PD 的中点， EF/AD，EF面 PAB. 又 EF 面 EFG，面 EFG面 PAB. （2）解：取 BC 的中点 M，连结 GM、AM、EM，则 GM/BD， EGM（或其补角）就是异面直线 EG 与 BD 所成的角. 在 RtMAE 中， ，同理 ，622AE6EG 又 ，21BDG 在MGE 中， 632cos22 G